中学生でも解ける東大大学院入試問題（２１６）〔つづき１〕

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１０年度東大大学院理学系研究科物理学専攻の入試問題の続きです。

問題は、
「Ａ、Ｂの２人があるゲームを繰り返し行う。Ａが２回続けて勝つまでゲームを続ける。各々のゲームでＡが勝つ確率は２/３とする。

（ａ） Ｎ回のゲームでも終了しない確率を
　
とする。
　
を
　
で表せ。

（ｂ）
　
をＮの関数として求めよ。

（ｃ） 行なわれるゲームの回数の期待値を求めよ。」
で、今回は（ｂ）です。

前回求めた（ａ）の答えの３項間漸化式

の特性方程式

の解は、

から

なので、

とすると、これは（６）を満たします。（計算は省略します）

ここで（７）の係数ｐ、ｑを求めるために

の値を計算します。

・ Ｎ＝２のときにゲームが終了しない

は、Ａの勝ちと負け（引き分けを含む）をそれぞれ○および×とした場合、○×、×○、××なので、

です。

・ Ｎ＝３のときにゲームが終了しない

は、○×○、○××、×○×、××○、×××なので、

です。

これらと（７）から

が成り立ち、この連立方程式を解くと、

です。

これらを（７）に代入して整理すると、

で、これが（ｂ）の答えです。


（ｃ）は次回です。