中学生でも解ける京大大学院入試問題（４）（つづき１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度京大大学院理学研究科生物科学選考入試問題のつづきです。

問題は、
「漸化式 ａn+2＝ａn+1＋ａn と、初めの２項 ａ0＝０、ａ1＝１ で定義される数列｛ａn｝を考える。
このとき、以下の設問（１）～（３）のすべてに解答せよ。

（１） ａn を第１０項まで（ｎ＝２，・・・，１０）示せ。

（２） 隣り合う２項の比 ａn+1/ａn が ｎ→∞ において一定値λに収束すると仮定し、その値 λ を求めよ。

（３） 以下の形式を用いて、数列｛ａn｝ の一般項を求めよ。
　　　　　　　
　　　　　　　ａn+2－αａn+1＝β（ａn+1－αａn）
　　　　　　　ａn+2－βａn+1＝α（ａn+1－βａn）　　」
です。

今回は（２）です。

ａn+1＞０ なので、与えられた漸化式の両辺を ａn+1 で割ると、

になり、これを

と変形します。

ここで、ｎ→∞ のとき、

なので、（１）から

が成り立ち、これから、

です。

そこで（２）の２次方程式を解くと、

になり、ａn＞０（ｎ≧１）から λ＞０なので、

で、これが答えです。


次回は（３）です。