中学生でも解ける京大大学院入試問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度京大大学院理学研究科生物科学選考の入試問題です。

問題は、
「漸化式 ａn+2＝ａn+1＋ａn と、初めの２項 ａ0＝０、ａ1＝１ で定義される数列｛ａn｝を考える。
このとき、以下の設問（１）～（３）のすべてに解答せよ。

（１） ａn を第１０項まで（ｎ＝２，・・・，１０）示せ。

（２） 隣り合う２項の比 ａn+1/ａn が ｎ→∞ において一定値λに収束すると仮定し、その値 λ を求めよ。

（３） 以下の形式を用いて、数列｛ａn｝ の一般項を求めよ。
　　　　　　　
　　　　　　　ａn+2－αａn+1＝β（ａn+1－αａn）
　　　　　　　ａn+2－βａn+1＝α（ａn+1－βａn）　　」
です。

ａ0＝０、ａ1＝１ から
ａ2＝ａ1＋ａ0＝１＋０＝１
で、これを繰り返すと、
ａ3 ＝ａ2＋ａ1＝１＋１　　＝　２
ａ4 ＝ａ3＋ａ2＝２＋１　　＝　３
ａ5 ＝ａ4＋ａ3＝３＋２　　＝　５
ａ6 ＝ａ5＋ａ4＝５＋３　　＝　８
ａ7 ＝ａ6＋ａ5＝８＋５　　＝１３
ａ8 ＝ａ7＋ａ6＝１３＋８　＝２１
ａ9 ＝ａ8＋ａ7＝２１＋１３＝３４
ａ10＝ａ9＋ａ8＝３４＋２１＝５５
です。

以上から
ａ2 ＝　１
ａ3 ＝　２
ａ4 ＝　３
ａ5 ＝　５
ａ6 ＝　８
ａ7 ＝１３
ａ8 ＝２１
ａ9 ＝３４
ａ10＝５５
で、これが（１）の答えです。


次回は（２）です。