こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
横綱・大関の休場で少し寂しかった大相撲秋場所は、一人横綱の日馬富士が意地の優勝で幕を閉じました。ということで、今回は相撲の星取りの問題です。
問題は、
「大相撲(1日1番15日間対戦する)で、連敗のない星の取り方は何通りあるか」
です。
ここは、漸化式 を利用するのが簡単です。
n日目の相撲が終わったあとの連敗のない星の取り方を A(n)とすると、
A(1)=2 (○または●)
A(2)=3 (○○、○●または●○)
です。
続いて、n≧3のとき、A(n)をA(n-1)とA(n-2)で表しましょう。
初日○の場合、2日目は○でも●でもよいので、2日目以降のn-1回の対戦の星の取り方は、 A(n-1)通り です。
一方、初日●の場合、2日目は○でなければならず、そして3日目は○でも●でもよいので、3日目以降のn-2回の対戦の星の取り方は、 A(n-2)通り になります。
したがって、
A(n)=A(n-1)+A(n-2)
が成り立ちます。
あとは、A(1)=2、A(2)=3を使って逐次計算するだけで、
A(3)= A(2)+ A(1)=5
A(4)= A(3)+ A(2)=8
A(5)= A(4)+ A(3)=13
A(6)= A(5)+ A(4)=21
A(7)= A(6)+ A(5)=34
A(8)= A(7)+ A(6)=55
A(9)= A(8)+ A(7)=89
A(10)= A(9)+ A(8)=144
A(11)=A(10)+ A(9)=233
A(12)=A(11)+A(10)=377
A(13)=A(12)+A(11)=610
A(14)=A(13)+A(12)=987
A(15)=A(14)+A(13)=1597
から、連敗のない星の取り方は 1597通り で、これが答えです。
ちなみに、一般項は、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/30/36/cfe6706760758c3f38cba85daa5934fe.jpg)
になります。
横綱・大関の休場で少し寂しかった大相撲秋場所は、一人横綱の日馬富士が意地の優勝で幕を閉じました。ということで、今回は相撲の星取りの問題です。
問題は、
「大相撲(1日1番15日間対戦する)で、連敗のない星の取り方は何通りあるか」
です。
ここは、漸化式 を利用するのが簡単です。
n日目の相撲が終わったあとの連敗のない星の取り方を A(n)とすると、
A(1)=2 (○または●)
A(2)=3 (○○、○●または●○)
です。
続いて、n≧3のとき、A(n)をA(n-1)とA(n-2)で表しましょう。
初日○の場合、2日目は○でも●でもよいので、2日目以降のn-1回の対戦の星の取り方は、 A(n-1)通り です。
一方、初日●の場合、2日目は○でなければならず、そして3日目は○でも●でもよいので、3日目以降のn-2回の対戦の星の取り方は、 A(n-2)通り になります。
したがって、
A(n)=A(n-1)+A(n-2)
が成り立ちます。
あとは、A(1)=2、A(2)=3を使って逐次計算するだけで、
A(3)= A(2)+ A(1)=5
A(4)= A(3)+ A(2)=8
A(5)= A(4)+ A(3)=13
A(6)= A(5)+ A(4)=21
A(7)= A(6)+ A(5)=34
A(8)= A(7)+ A(6)=55
A(9)= A(8)+ A(7)=89
A(10)= A(9)+ A(8)=144
A(11)=A(10)+ A(9)=233
A(12)=A(11)+A(10)=377
A(13)=A(12)+A(11)=610
A(14)=A(13)+A(12)=987
A(15)=A(14)+A(13)=1597
から、連敗のない星の取り方は 1597通り で、これが答えです。
ちなみに、一般項は、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/30/36/cfe6706760758c3f38cba85daa5934fe.jpg)
になります。