こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
小５の塾生が取り組んでいる公立中高一貫校対策問題集にある分銅の問題を取り上げます。
問題は、
「次の南野さんと北村さんの会話を読んで、あとの問いに答えましょう。
南野：「北村さん、何しているの？」
北村：「この２つのおもりを使って、上皿てんびんで何ｇのものが量れるか調べているの。」
南野：「１ｇと３ｇのおもりだけで？ 量れるのは１ｇと３ｇだけでしょう？」
北村：「そんなことはないわよ。例えば左の皿に２ｇのものと１ｇのおもりをのせて、右の皿に３ｇのおもりをのせたら、ほら、つり合うでしょう？（下の図）」
南野：「そうか・・・。じゃあ、結局１ｇと３ｇだけで何ｇまで量れるの？」
北村：この２つだけなら４ｇまでかな。１ｇごとに１０ｇまで量れるようにするのに、あと１個だけおもりをたそうと思うんだけど、何ｇのおもりをたしたらいいかな？」
南野：えーっと、そうだね・・・。」
（１）１ｇから１０ｇまで１０通りの重さが量れるようにするには、あと何ｇのおもりをたせばいいですか。考えられるものをすべて答えましょう。ただし、おもりの重さは整数とします。
（２）１ｇ、３ｇ、６ｇの３個のおもりを使って、８ｇのものを量るにはどうすればよいですか。のせ方を、「左の皿に２ｇのものと１ｇのおもりをのせ、右の皿に３ｇのおもりをのせる。」というように答えましょう。 」
です。
早速（１）から取り掛かりましょう。
１ｇと３ｇのおもりで１ｇ、２ｇ、３ｇ、４ｇを量ることができるので、加えるおもりの重さをｘｇとすると、３つのおもりで量ることができる重さは、重複するものを含めて、
１ｇ、２ｇ、３ｇ、４ｇ、ｘ－４（ｇ）、ｘ－３（ｇ）、ｘ－２（ｇ）、ｘ－１（ｇ）、ｘ（ｇ）、ｘ＋１（ｇ）、ｘ＋２（ｇ）、ｘ＋３（ｇ）、ｘ＋４（ｇ）
になり、これらが１ｇから１０ｇまで１０通りの重さをカバーするのは、
ｘ－４≦５ → ｘ≦９
ｘ＋４≧１０ → ｘ≧６
の場合で、これらをまとめると、
６≦ｘ≦９
になります。
したがって、条件を満たすおもりの重さは ６ｇ、７ｇ、８ｇ、９ｇ で、これが答えです。
続いて（２）です。
左の皿に８ｇのものをのせることにします。
このとき、
Ｘ＝Ａ×６＋Ｂ×３＋Ｃ×１
を考え、Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ６ｇ、３ｇ、１ｇのおもりを左の皿にのせるとき－１、どちらの皿にものせないとき０、右の皿にのせるとき１として、Ｘ＝８となるＡ、Ｂ、Ｃの組合せを見つければＯＫです。
ここで、Ａ＝１、Ｂ＝１、Ｃ＝－１のときだけ、Ｘ＝８になるので、答えは、
「左の皿に８ｇのものと１ｇのおもりをのせ、右の皿に６ｇと３ｇのおもりをのせる。」
になります。
以前に分銅の問題（中学生でも解ける東大大学院入試問題（７９））を取り上げているので、興味のある人は覗いてみてください。
小５の塾生が取り組んでいる公立中高一貫校対策問題集にある分銅の問題を取り上げます。
問題は、
「次の南野さんと北村さんの会話を読んで、あとの問いに答えましょう。
南野：「北村さん、何しているの？」
北村：「この２つのおもりを使って、上皿てんびんで何ｇのものが量れるか調べているの。」
南野：「１ｇと３ｇのおもりだけで？ 量れるのは１ｇと３ｇだけでしょう？」
北村：「そんなことはないわよ。例えば左の皿に２ｇのものと１ｇのおもりをのせて、右の皿に３ｇのおもりをのせたら、ほら、つり合うでしょう？（下の図）」
南野：「そうか・・・。じゃあ、結局１ｇと３ｇだけで何ｇまで量れるの？」
北村：この２つだけなら４ｇまでかな。１ｇごとに１０ｇまで量れるようにするのに、あと１個だけおもりをたそうと思うんだけど、何ｇのおもりをたしたらいいかな？」
南野：えーっと、そうだね・・・。」
（１）１ｇから１０ｇまで１０通りの重さが量れるようにするには、あと何ｇのおもりをたせばいいですか。考えられるものをすべて答えましょう。ただし、おもりの重さは整数とします。
（２）１ｇ、３ｇ、６ｇの３個のおもりを使って、８ｇのものを量るにはどうすればよいですか。のせ方を、「左の皿に２ｇのものと１ｇのおもりをのせ、右の皿に３ｇのおもりをのせる。」というように答えましょう。 」
です。
早速（１）から取り掛かりましょう。
１ｇと３ｇのおもりで１ｇ、２ｇ、３ｇ、４ｇを量ることができるので、加えるおもりの重さをｘｇとすると、３つのおもりで量ることができる重さは、重複するものを含めて、
１ｇ、２ｇ、３ｇ、４ｇ、ｘ－４（ｇ）、ｘ－３（ｇ）、ｘ－２（ｇ）、ｘ－１（ｇ）、ｘ（ｇ）、ｘ＋１（ｇ）、ｘ＋２（ｇ）、ｘ＋３（ｇ）、ｘ＋４（ｇ）
になり、これらが１ｇから１０ｇまで１０通りの重さをカバーするのは、
ｘ－４≦５ → ｘ≦９
ｘ＋４≧１０ → ｘ≧６
の場合で、これらをまとめると、
６≦ｘ≦９
になります。
したがって、条件を満たすおもりの重さは ６ｇ、７ｇ、８ｇ、９ｇ で、これが答えです。
続いて（２）です。
左の皿に８ｇのものをのせることにします。
このとき、
Ｘ＝Ａ×６＋Ｂ×３＋Ｃ×１
を考え、Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ６ｇ、３ｇ、１ｇのおもりを左の皿にのせるとき－１、どちらの皿にものせないとき０、右の皿にのせるとき１として、Ｘ＝８となるＡ、Ｂ、Ｃの組合せを見つければＯＫです。
ここで、Ａ＝１、Ｂ＝１、Ｃ＝－１のときだけ、Ｘ＝８になるので、答えは、
「左の皿に８ｇのものと１ｇのおもりをのせ、右の皿に６ｇと３ｇのおもりをのせる。」
になります。
以前に分銅の問題（中学生でも解ける東大大学院入試問題（７９））を取り上げているので、興味のある人は覗いてみてください。