１次関数とグラフの問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日、中２の塾生がやっていた１次関数とグラフの問題を取り上げます。

問題は、
「下の図の直線 ｌ は、関数 ｙ＝－ｘ＋８ のグラフで、Ａ、Ｂはそれぞれ直線 ｌ とｘ軸、ｙ軸との交点である。ｘ軸上に点Ｃ（－６，０）を、線分ＡＢ上に点Ｐをとり、線分ＣＰとｙ軸との交点をＱとする。△ＢＰＱの面積と△ＣＯＱの面積が等しくなるとき、点Ｐの座標を求めなさい。」

▲問題図

です。

図１のように、問題図に与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

図１に示したように、点Ｐの座標を（ｐ，－ｐ＋８）とおいたり、または、点Ｑの座標を（０，ｑ）とおいたりして、△ＢＰＱと△ＣＯＱの面積を ｐ または ｑ で表し、２つの三角形の面積が等しいことから ｐ または ｑ の方程式を作る方針でもＯＫですが、ここでは次のように進めるのが簡単でしょう。

図２のように、
（△ＯＡＢの面積）＝（四角形ＯＡＰＱの面積）＋（△ＢＰＱの面積）
（△ＡＰＣの面積）＝（四角形ＯＡＰＱの面積）＋（△ＣＯＱの面積）
で、条件から、
（△ＢＰＱの面積）＝（△ＣＯＱの面積）
なので、
（△ＯＡＢの面積）＝（△ＡＰＣの面積）　　　（★）
が成り立ちます。

▲図２．△ＯＡＢと△ＡＰＣの面積が等しくなります

このとき、
（線分ＯＡの長さ）＝（線分ＯＢの長さ）＝８
なので、
（△ＯＡＢの面積）＝８×８×１/２＝３２
です。

一方、点Ｐからｘ軸に下ろした垂線の足をＨ、線分ＰＨの長さを ｈ とすると、
（線分ＣＡの長さ）＝６＋８＝１４
なので、
（△ＡＰＣの面積）＝１４×ｈ×１/２＝７ｈ
です。

そして、（★） から、
７ｈ＝３２
ｈ＝３２/７になります。

こので、ｈは点Ｐのｙ座標で、点Ｐが直線 ｌ 上にあることから、
３２/７＝－ｘ＋８
ｘ＝２４/７
です。

したがって、点Ｐの座標は （２４/７，３２/７） で、これが答えです。


興味のある人は、点Ｐを（ｐ，－ｐ＋８）とおいたり、点Ｑを（０，ｑ）とおいたりして計算してみてください。