簡単な図形問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は簡単な図形問題を取り上げます。

問題は、
「下図のように、△ＡＢＣの外接円の弧ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの中点をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとし、弦ＡＥと弦ＤＦの交点をＸとするとき、∠ＡＸＤの角度を求めなさい」

▲問題図

です。

３組の長さの等しい弧があるので、円周角の定理が活躍しそうです。そこで図１のように、ＡとＤ、ＡとＦを直線で結ぶと、
弧ＡＤ＝弧ＤＢ ⇒ ∠ＡＦＤ＝∠ＤＡＢ　　　（１）
弧ＡＦ＝弧ＦＣ ⇒ ∠ＡＤＦ＝∠ＦＡＣ　　　（２）
弧ＢＥ＝弧ＥＣ ⇒ ∠ＢＡＥ＝∠ＥＡＣ　　　（３）
が成り立ちます。

▲図１．∠ＡＦＤ＝∠ＤＡＢ、∠ＡＤＦ＝∠ＦＡＣ、∠ＢＡＥ＝∠ＥＡＣです

次に図２のように、弦ＤＦと辺ＡＢ、ＡＣとの交点をそれぞれＹ、Ｚとすると、
∠ＡＹＺ＝∠ＤＡＹ＋∠ＡＤＹ　［三角形の外角＝それと隣合わない内角の和］
　　　 ＝∠ＤＡＢ＋∠ＡＤＦ　
　　　 ＝∠ＡＦＤ＋∠ＦＡＣ　　［（１）と（２）］
　　　 ＝∠ＡＦＺ＋∠ＦＡＺ
　　　 ＝∠ＡＺＹ　　　　　　　［三角形の外角＝それと隣合わない内角の和］　
になり、△ＡＹＺは二等辺三角形です。

▲図２．∠ＡＹＺ＝∠ＡＺＹで、△ＡＹＺは二等辺三角形です

さらに、（３）から
∠ＹＡＸ＝∠ＸＡＺ
なので、直線ＡＸは∠ＹＡＺの二等分線になり、二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺に垂直に交わるので、
∠ＡＸＹ＝９０°
です。

したがって、∠ＡＸＤ＝ ９０° で、これが答えです。


中３生がこれから勉強する円周角の定理は、都立高校入試に頻出なので、しっかりマスターしましょう。