songzhaoのボケ封じ数学講座第５７講

　教材のほうを先行させてしまいましたが、手の内を先に明かせば、案外この程度のものかと理解して頂けたのではないでしょうか。
　統計だの確率など、コンピュータのプログラムでも活用しなければ、眠気だけを誘ってしまうかったるい学習科目に違いありません。それに『統計の学習』と『プログラム』は良く馴染みます。
　ここで使用しているのはベーシック言語ですが、もしもあなたが若者で野心家なら『Ｃ言語』を学んで世界から遅れを取らないようにしていただきたいと思います。

　
　平均値の推定：

　ある母集団（平均値ｍ、標準偏差δ）があって、無作為にｎ個のサンプルを取り出しては、平均を求めていくとという作業を限りなく繰り返していくと、各々の平均値の平均は母集団の平均値ｍに近づいていく。

　各々の作業のｎの平均値の平均は母集団の平均ｍに等しい。
　平均値の標準偏差は母集団の標準偏差δの１／ＳＱＲｎに等しい。

　ｎが十分に大きければ、母集団がどのような分布であってもｎ個の平均ｘの分布は、平均ｍ、標準偏差δ／ＳＱＲｎの正規分布に近づくことが知られている。
　この事実は１８２１年ラプラスによって述べられ、１９０１年になって厳密に証明された。これを中心極限定理という。
　実用上は、ｎが２５以上ならば、ｘの分布は正規分布によって相当によく近似できる。

　例えば、平均１５０、標準偏差８の母集団から、大きさ２５の無作為標本を抽出したとすれば、標本平均ｘの分布は、平均１５０、標準偏差８／ＳＱＲ２５＝１．６の正規分布で近似できる。（学研エリア教科辞典１３数学より引用）

　恐ろしく簡単で精巧な手品のような理論だと思います。

　ここで、５５講で比率ｐの範囲を求めた使い慣れた不等式の登場です。

　（ｎの平均ｘ）－（信頼区間Ｚ）＊δ／ＳＱＲｎ＜平均値ｍ＜（ｎの平均ｘ）＋（信頼区間Ｚ）＊δ／ＳＱＲｎ　・・・・数式（１）

　この不等式を解くべく組んだのが５６講のプログラムです。

　（信頼区間Ｚ）＊δ／ＳＱＲｎを誤差とみなし、ｅとおいてｎを求めたのも５５講と考え方はまったく同じです。また、母集団Ｎとサンプル抽出数が近いときの補正量ＳＱＲ（（Ｎ－ｎ）／（Ｎ－１））の使い方も比率ｐを求めたのと同様のものとなります。

　一連のプログラムでは、信頼区間も任意に設定できるようにしてありますので、９０％信頼区間、９９％信頼区間でのｍの範囲を求め、この数式の特性を理解してください。

　また、母集団数Ｎとサンプル抽出数ｎとの関係などＮとｎにいろいろな値を入力して試してみてください。

　
　教科書の次第によれば、小標本を考察する手段に『ｔ分布』というものがあります。このノーハウはイギリス人ゴセットという人によってなされたということです。

　数式（１）の（信頼区間Ｚ）を『変数ｔ』に置き換えたものです。・・・この変数ｔについては、「ｔ分布表」というものが用意されており、ｎと信頼区間から、代入すべきｔの数値を得て、数式に代入して答を得る仕組みになっています。

　例えば、ｎ＝１０、ｘの平均＝１５８、そのサンプルの標準偏差＝４．６とすれば、母集団平均ｍの９５％信頼区間（これを分布表では、自由度１０－１＝９、危険率１００％－９５％＝０．０５という表現をする）のｔの値はｔ＝２．２６だから、１５８－２．２６＊４．６／ＳＱＲ１０＜ｍ＜１５８＋２．２６＊４．６／ＳＱＲ１０　すなわち１５４．７＜ｍ＜１６１．３となります。

　これを、大標本として計算すると、１５５．１５＜ｍ＜１６０．８５となります。
　また、このとき、母集団数Ｎが２５として、補正計算すると、１５６．２２＜ｍ＜１５９．７８ということになります。・・・・この誤差が大きいと判断するか小さいと判断するか人それぞれだと思います。

　もう一つ、『ボアソン分布』というというものが、あります。これは二項分布において、ｐが極めて小さい場合、ｎを相当大きくしなければ正規分布で近似することは困難である。したがって、この場合は次のような確率分布で近似するのが良い。
　二項分布で、平均値ｎ＊ｐ＝ｍを一定にし、ｎをだんだんに大きくしていくと次のような分布に近づく。

　Ｐ（ｘ）＝ｍ＾ｘ＊ｅ＾－ｍ／ＦＡＣＴｘ

　この分布を『ポアソン分布』といいます。

　（以上、学研のエリア教科辞典を教科書とさせてもらいました。この書籍は１９７６年４月に初版が発行され、私が持っているのは第１０刷です。３１年前の詰め込み教育酣の頃の書籍です。矢野健太郎氏が監修だなんて時代を感じますね）