話は今度は物質項Ωｍの働きに移ります。
しかしその前に前回のド・ジッター宇宙でΩΛが
０＜ΩΛ＜１の例を見ていなかったので、それを確かめておきましょう。
現在の宇宙はΩΛが0.7程度であると言われています。
従って初期条件は
初期条件
H0＝＋１、Ωm＝0、ΩΛ＝0.7、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1-0.7）=0.3
それで解くべき式は
x’＝（(1-0.7)+0.7x^2)^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（(1-0.7)+0.7x^2)^0.5,x(0)=1を-3から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
スケール因子はマイナス領域まで伸びています。
前回記述した様に、これはこのエリアでもフリードマン方程式が成立していると解釈できます。
さてそれで、スケール因子aがゼロの時の時間ｔと
ｔ＝1.5の時のスケール因子aの値をグラフから読み取っておきましょう。
↓
a=0の時、t=-1.4
t=1.5の時、a=3.8
次はアインシュタイン-ド・ジッター宇宙です。
『一様等方な膨張宇宙のモデルの1つ。
空間の曲率はゼロで、ユークリッド幾何学が成り立つ。
宇宙のエネルギー密度は、非相対論的物質で占められており、その大きさは宇宙膨張が将来収縮に転じるか否かの臨界点である臨界密度=3*H^2/(8*Pi*G) に等しい。』
以上より初期条件は
初期条件
H0＝＋１、Ωm＝1、ΩΛ＝0、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1-1）=0
それで解くべき式は
x’＝（1/x+(1-1))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（1/x+(1-1))^0.5,x(0)=1を-3から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
ビッグバンから始まる、物質項１００％のフラットな宇宙です。
そしてグラフから
a=0の時、t=-0.67
t=1.5の時、a=2.2
次は宇宙の種族としては「アインシュタイン-ド・ジッター宇宙」に属することになりますが、
Ωm＝0.3の宇宙を確認します。
それはΩm＝0.3が現在の宇宙の物質項という事になっているからです。
それでΩｍを1ー＞0.3と変更してグラフを確認しておきます。
そして
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1-0.3）=0.7
解くべき式は
x’＝（0.3/x+(1-0.3))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（0.3/x+(1-0.3))^0.5,x(0)=1を-3から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
ビッグバンから始まる、物質項30％のマイナス曲率をもつ宇宙です。
そしてグラフから
a=0の時、t=-0.82
t=1.5の時、a=2.4
Ωm＝1のアインシュタイン-ド・ジッター宇宙よりは宇宙年齢が0.15伸び、そうして
ｔ=1.5で到達する宇宙のサイズは0.2増えていることが分かります。
これが宇宙の中での物質項の働きであり物質項が大きくなると宇宙年齢は短くなり、宇宙の広がり方も遅くなると、これは物質が持つ重力の作用を考えますれば「当然そうなるであろう」という予想と一致する結果になります。
さてそれで、我々が暮らす実際の宇宙は例えば
H0＝＋１、Ωm＝0.3、ΩΛ＝0.7、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1-0.3-0.7）=0
であろうと言われています。
（実はΩmは0.32～0.25のどこか、但しΩｋ≒0というのが現状です。）
それで解くべき式は
x’＝（0.3/x+(1-0.3-0.7)+0.7x^2)^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（0.3/x+(1-0.3-0.7)+0.7x^2)^0.5,x(0)=1を-1から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
そしてグラフから
a=0の時、t=-0.97
t=1.5の時、a=3.74
宇宙の年齢はさらに伸びますが、ΩΛが0.7のド・ジッター宇宙の
ｔ=-1.4には届きません。
そうしてまた宇宙の大きさも伸びますがこれもド・ジッター宇宙
(ΩΛ=0.7)のa=3.8にはわずかに届きません。
ちなみにこの宇宙は種族からいいますと「アインシュタイン宇宙に属する」という事が出来ます。
さてこうやって見てきましたように、これらの４つの宇宙は物質による重力の作用、そうして宇宙項による斥力の作用から予想できる結果と整合していることが分かるのであります。
２、現在の宇宙はいつから加速膨張になったのか？
それについては上記記述より求めるべき解は
x’＝（0.3/x+(1-0.3-0.7)+0.7x^2)^0.5
という式が極小値となった時間という事になります。
そうであれば入力文は
『（0.3/x+(1-0.3-0.7)+0.7x^2)^0.5の極小値』
となり
実行アドレス
から
x=0.5984
で宇宙の膨張速度は0.8672の極小値となる事が分かります。
それでx=0.5984の時のｔの値をグラフから読み取りますと
t=-0.44
となります。
但し読み取るグラフは
実行アドレス
↑
こちらになりますのでご注意下さい。
さてこの宇宙の年齢はt=-0.97でそれは138億年に相当します。
そうするとt=-0.44は62.6億年となり、
約63億年前に我々の宇宙は減速膨張から加速膨張に変わった、
という事が分かるのです。
確認
Gaccoシリーズ「Week3」の３９ページによればそのタイミングは
「６０億年前」と示されています。
そういう訳で、こうして大抵はそれなりの解が得られるのでありました。
３、マイナス質量（あるいはマイナスエネルギー）に満たされた宇宙の挙動
それは「アインシュタイン-ド・ジッター宇宙」のΩｍの符号を反転させれば良いという事になりますね。
初期条件
H0＝＋１、Ωm＝-1、ΩΛ＝0、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1+1）=2
それで解くべき式は
x’＝（-1/x+(1+1))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（-1/x+(1+1))^0.5,x(0)=1を-3から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
この宇宙は収縮からスケール因子0.5でボトムに達し、そこで反転して膨張する事が分かります。
（収縮宇宙はH0＝-１としてご確認ください。）
ですから、ビッグバン宇宙にはなりません。
そうしてｔ=0.5あたりまでは「指数関数的な膨張」に似ていますが、それ以降は一定速度での膨張となる様です。
そのことは
x’＝（-1/x+(1+1))^0.5
という式でxーー＞無限大としたときに
x’＝（-1/x+(1+1))^0.5=sqrt(2)
となる事からも分かります。
さてそういう訳で、マイナス質量で充満した宇宙は確かに膨張し始めるのですが、膨張の最初だけは「指数関数的な膨張」をして、あとはほぼ等速膨張となる事が分かります。
そうでありますから、ダークエネルギーによる宇宙の膨張がこの先も「指数関数的な膨張」をするのか、それとも「等速膨張」となるのかで、ダークエネルギーの正体に対してはそれなりの推測が可能となる訳であります。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/6HTUf
しかしその前に前回のド・ジッター宇宙でΩΛが
０＜ΩΛ＜１の例を見ていなかったので、それを確かめておきましょう。
現在の宇宙はΩΛが0.7程度であると言われています。
従って初期条件は
初期条件
H0＝＋１、Ωm＝0、ΩΛ＝0.7、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1-0.7）=0.3
それで解くべき式は
x’＝（(1-0.7)+0.7x^2)^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（(1-0.7)+0.7x^2)^0.5,x(0)=1を-3から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
スケール因子はマイナス領域まで伸びています。
前回記述した様に、これはこのエリアでもフリードマン方程式が成立していると解釈できます。
さてそれで、スケール因子aがゼロの時の時間ｔと
ｔ＝1.5の時のスケール因子aの値をグラフから読み取っておきましょう。
↓
a=0の時、t=-1.4
t=1.5の時、a=3.8
次はアインシュタイン-ド・ジッター宇宙です。
『一様等方な膨張宇宙のモデルの1つ。
空間の曲率はゼロで、ユークリッド幾何学が成り立つ。
宇宙のエネルギー密度は、非相対論的物質で占められており、その大きさは宇宙膨張が将来収縮に転じるか否かの臨界点である臨界密度=3*H^2/(8*Pi*G) に等しい。』
以上より初期条件は
初期条件
H0＝＋１、Ωm＝1、ΩΛ＝0、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1-1）=0
それで解くべき式は
x’＝（1/x+(1-1))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（1/x+(1-1))^0.5,x(0)=1を-3から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
ビッグバンから始まる、物質項１００％のフラットな宇宙です。
そしてグラフから
a=0の時、t=-0.67
t=1.5の時、a=2.2
次は宇宙の種族としては「アインシュタイン-ド・ジッター宇宙」に属することになりますが、
Ωm＝0.3の宇宙を確認します。
それはΩm＝0.3が現在の宇宙の物質項という事になっているからです。
それでΩｍを1ー＞0.3と変更してグラフを確認しておきます。
そして
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1-0.3）=0.7
解くべき式は
x’＝（0.3/x+(1-0.3))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（0.3/x+(1-0.3))^0.5,x(0)=1を-3から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
ビッグバンから始まる、物質項30％のマイナス曲率をもつ宇宙です。
そしてグラフから
a=0の時、t=-0.82
t=1.5の時、a=2.4
Ωm＝1のアインシュタイン-ド・ジッター宇宙よりは宇宙年齢が0.15伸び、そうして
ｔ=1.5で到達する宇宙のサイズは0.2増えていることが分かります。
これが宇宙の中での物質項の働きであり物質項が大きくなると宇宙年齢は短くなり、宇宙の広がり方も遅くなると、これは物質が持つ重力の作用を考えますれば「当然そうなるであろう」という予想と一致する結果になります。
さてそれで、我々が暮らす実際の宇宙は例えば
H0＝＋１、Ωm＝0.3、ΩΛ＝0.7、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1-0.3-0.7）=0
であろうと言われています。
（実はΩmは0.32～0.25のどこか、但しΩｋ≒0というのが現状です。）
それで解くべき式は
x’＝（0.3/x+(1-0.3-0.7)+0.7x^2)^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（0.3/x+(1-0.3-0.7)+0.7x^2)^0.5,x(0)=1を-1から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
そしてグラフから
a=0の時、t=-0.97
t=1.5の時、a=3.74
宇宙の年齢はさらに伸びますが、ΩΛが0.7のド・ジッター宇宙の
ｔ=-1.4には届きません。
そうしてまた宇宙の大きさも伸びますがこれもド・ジッター宇宙
(ΩΛ=0.7)のa=3.8にはわずかに届きません。
ちなみにこの宇宙は種族からいいますと「アインシュタイン宇宙に属する」という事が出来ます。
さてこうやって見てきましたように、これらの４つの宇宙は物質による重力の作用、そうして宇宙項による斥力の作用から予想できる結果と整合していることが分かるのであります。
２、現在の宇宙はいつから加速膨張になったのか？
それについては上記記述より求めるべき解は
x’＝（0.3/x+(1-0.3-0.7)+0.7x^2)^0.5
という式が極小値となった時間という事になります。
そうであれば入力文は
『（0.3/x+(1-0.3-0.7)+0.7x^2)^0.5の極小値』
となり
実行アドレス
から
x=0.5984
で宇宙の膨張速度は0.8672の極小値となる事が分かります。
それでx=0.5984の時のｔの値をグラフから読み取りますと
t=-0.44
となります。
但し読み取るグラフは
実行アドレス
↑
こちらになりますのでご注意下さい。
さてこの宇宙の年齢はt=-0.97でそれは138億年に相当します。
そうするとt=-0.44は62.6億年となり、
約63億年前に我々の宇宙は減速膨張から加速膨張に変わった、
という事が分かるのです。
確認
Gaccoシリーズ「Week3」の３９ページによればそのタイミングは
「６０億年前」と示されています。
そういう訳で、こうして大抵はそれなりの解が得られるのでありました。
３、マイナス質量（あるいはマイナスエネルギー）に満たされた宇宙の挙動
それは「アインシュタイン-ド・ジッター宇宙」のΩｍの符号を反転させれば良いという事になりますね。
初期条件
H0＝＋１、Ωm＝-1、ΩΛ＝0、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（1+1）=2
それで解くべき式は
x’＝（-1/x+(1+1))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（-1/x+(1+1))^0.5,x(0)=1を-3から1.5まで解く, h = .005』
実行アドレス
この宇宙は収縮からスケール因子0.5でボトムに達し、そこで反転して膨張する事が分かります。
（収縮宇宙はH0＝-１としてご確認ください。）
ですから、ビッグバン宇宙にはなりません。
そうしてｔ=0.5あたりまでは「指数関数的な膨張」に似ていますが、それ以降は一定速度での膨張となる様です。
そのことは
x’＝（-1/x+(1+1))^0.5
という式でxーー＞無限大としたときに
x’＝（-1/x+(1+1))^0.5=sqrt(2)
となる事からも分かります。
さてそういう訳で、マイナス質量で充満した宇宙は確かに膨張し始めるのですが、膨張の最初だけは「指数関数的な膨張」をして、あとはほぼ等速膨張となる事が分かります。
そうでありますから、ダークエネルギーによる宇宙の膨張がこの先も「指数関数的な膨張」をするのか、それとも「等速膨張」となるのかで、ダークエネルギーの正体に対してはそれなりの推測が可能となる訳であります。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
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