然るに、
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２（５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
２（６） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ５含意の定義
２（７） ａ＝ｂ＆～Ｆｂ ６交換法則
２（８） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ７ド・モルガンの法則
２（９） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ８ＵＩ
２（ア） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ９量化子の関係
２（イ） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ イＥＩ
１ （エ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ １２ウＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ２＆Ｅ
２（５） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ４量化子の関係
２（６） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ５ＵＥ
２（７） ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ６ド・モルガンの法則
２（８） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ７交換法則
２（９） Ｆｂ→ａ＝ｂ ８含意の定義
２（ア） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
２（イ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １２ウＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① あるｘについて｛ｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦならば、ｘはｙに等しい）｝。
② あるｘについて｛ｘはＦであり、（ｘ以外に、Ｆであるｙ）は存在しない｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
Ｆ＝偶数の素数である。
とするならば、
① あるｘについて｛ｘは偶素数であり、すべてのｙについて（ｙが偶素数ならば、ｘはｙに等しい）｝。
② あるｘについて｛ｘは偶素数であり、（ｘ以外に、偶素数であるｙ）は存在しない｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① ある数２について｛２は偶素数であり、すべてのｙについて（ｙが偶素数ならば、２はｙに等しい）｝。
② ある数２について｛２は偶素数であり、（２以外に、偶素数であるｙ）は存在しない｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
といふ「述語論理式」は、両方とも、
① ある、唯一のｘは、Ｆであり、ｘ以外にＦは、存在しない。
② ある、唯一のｘは、Ｆであり、ｘ以外にＦは、存在しない。
といふ「意味」になる。
従って、
（06）により、
（07）
① ∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆ ∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｉｙ）｝
といふ「述語論理式」は、両方とも、
① ある、唯一のｘは、Ｉであり、Ｏであり、ｘ以外にＩは、存在しない。
② ある、唯一のｘは、Ｉであり、Ｏであり、ｘ以外にＩは、存在しない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（08）
（21）イリアスの著者はオデュッセイアを書いた。故にある人はイリアスとオデュッセイアの両方を書いた。
（21）The author of the Iliad wrote the odyssey; therefore someone wrote both Iliad and the odyssey.
― 中略 ―、
（22）∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。
someone wrote the Iliad, and wrote the odyssey, and further that person is unique in having written the Iliad;
― 中略 ―、
The treatment of definite description in（22）is of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
（22）における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１３・２１４頁改）
従って、
（07）（08）
（09）
① ∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆ ∀ｙ（Ｉｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Iｘ＆Ｏｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｉｙ）｝
における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
然るに、
（10）
問題５.
ラッセルの確定記述の理論を用いて、つぎの論証の健全性を確立せよ。
（ａ）マイン・カンプの著者は１９４５年に死んだ。ヒトラーがマイン・カンプを書いた。故にヒトラーは１９４５年に死んだ。
（ａ）The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp. Hitler therefore died in 1945.
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１５頁改）
〔私による解答〕
１ （１）∃ｘ（我が闘争ｘ＆４５年死ｘ） Ａ
２ （２） 我が闘争ａ＆４５年死ａ Ａ
３ （３）∃ｙ｛ヒトラーｙ＆我が闘争ｙ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
４（４） ヒトラーｂ＆我が闘争ｂ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） Ａ
４（５） ∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） ４＆Ｅ
４（６） 我が闘争ａ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
２ （７） 我が闘争ａ ２＆Ｅ
２ ４（８） ａ＝ｂ ６７ＭＰＰ
４（９） ヒトラーｂ ４＆Ｅ
２ ４（ア） ヒトラーａ ８９＝Ｅ
２ （イ） ４５年死ａ ２＆Ｅ
２ ４（ウ） ヒトラーａ＆４５年死ａ アイ＆Ｉ
２ ４（エ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ウＥＩ
２３ （オ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ３４エＥＥ
１ ３ （カ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） １２オＥＥ
１ ３ （〃）あるｘはヒトラーであって１９４５年に死んだ。 １２オＥＥ
然るに、
（11）
定冠詞（the）は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。確かに、しかじかのひと（So-and-so）がいく人かの息子をもっている場合でさえ、the son of So-and-so という表現を使用するが、本当はその場合には、a son of So-and-so という方がより正しいといえよう。それゆえわれわれの目的のためには、the は一意性を内含しているものと考えていく（頸草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、５３頁）。
従って、
（10）（11）により、
（12）
（ａ）The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp.
といふことは、
（ａ）マイン・カンプの唯一の著者が、マイン・カンプを書いたことになる。
（01）
（21）イリアスの著者はオデュッセイアを書いた。故にある人はイリアスとオデュッセイアの両方を書いた。
（21）The author of the Iliad wrote the odyssey; therefore someone wrote both Iliad and the odyssey.
― 中略 ―、
（22）∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］
ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。
someone wrote the Iliad, and wrote the odyssey, and further that person is unique in having written the Iliad;
― 中略 ―、
The treatment of definite description in（22）is of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
（22）における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１３・２１４頁改）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］
といふ「論理式」は、
① イリアスの著者以外に、オデュッセイアの著者はゐない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。
従って、
（04）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１）理事長であるならば、私である。 仮定
２ （２） 私でない。 仮定
３（３）理事長である。 仮定
１ ３（４） 私である。 １３肯定肯定式
１２３（５）私でないが、私である。 ２４連言導入
１２ （６）理事長でない。 ３５背理法
１ （７）私でないならば、理事長ではない。 ２６条件法
（ⅲ）
１ （１）私でないならば、理事長ではない。 仮定
２ （２） 理事長である。 仮定
３（３）私でない。 仮定
１ ３（４） 理事長でない。 １３肯定肯定式
１２３（５）理事長であるが、理事長でない。 ２４連言導入
１２ （６）私でない、ではない。 ３５背理法
１２ （７）私である。 ６二重否定
１ （８）理事長であるならば、私である。 ２７条件法
従って、
（05）により、
（06）
② 理事長であるならば、私である。
③ 私でないならば、理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（06）により、
（07）
② 理事長は私である。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
① イリアスの著者がオデュッセイアの著者です。
② オデュッセイアの著者はイリアスの著者です。
③ イリアスの著者以外はオデュッセイアの著者ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（09）により、
（10）
「番号」を付け直すと、
① ∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］
② イリアスの著者がオデュッセイアの著者です。
③ オデュッセイアの著者はイリアスの著者です。
④イリアスの著者以外はオデュッセイアの著者ではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙ＆∀ｚ（理事長ｚ→ｙ＝ｚ）］
② 私が理事長です。
③ 理事長は私です。
④ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（01）（10）（11）により、
（12）
① ∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］≡イリアスの著者がオデュッセイアの著者です。
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙ＆∀ｚ（理事長ｚ→ｙ＝ｚ）］≡私が理事長です。
といふ「述語論理式（と日本語）」は、
論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
are of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
然るに、
（13）
然るに、
（11）
（ⅰ）私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
然るに、
（14）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
１ ９ （〃）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。 セＵＩ
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（15）により、
（16）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］｝。
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない）。
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）｝。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（12）（17）により、
（18）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
に於ける、
① 私が理事長です。⇔
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］。
といふ「日本語（命題関数）」は、「ラッセルの確定記述（Russell's theory of definite description）」に、相当する。
（19）
簡単に言うと、「論理式（well-formed formula）」かそのはじめにある量記号を除去した結果えられる式は「命題関数（Propositional function）」である。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１８２頁改）
従って、
（19）により、
（20）
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］
② ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙ ＆∀ｚ（理事長ｚ →ｙ＝ｚ）］
③ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
① は、「（ｘに関する）命題関数」であって、
② は、「論理式」であって、
③ も、「論理式」である。