日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(933)「ド・モルガンの法則」の「定義」について(重要!)。

2021-06-22 11:52:43 | 論理

(01)
①    P ≡ Pである。
② (~P)≡(Pでない)。
に於いて、
①&② は、「矛盾」である。
従って、
(01)により、
(02)
①     P ≡ Pである。
② ~(~P)≡(Pでない)ではない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
③   P& Q ≡ Pであって、その上、Qである。
④ (~P∨~Q)≡(Pでないか、または、Qでないか、または、その両方である)。
に於いて、
③&④ は、「矛盾」である。
従って、
(03)により、
(04)
③    P& Q ≡ Pであって、その上、Qである。
④ ~(~P∨~Q)≡(Pでないか、または、Qでないか、または、その両方である)ではない。
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(05)
(ⅴ)
1     (1)  P&  Q& R   A
 2    (2) ~P∨ ~Q∨~R   A
 2    (3) ~P∨(~Q∨~R)  2結合法則
  4   (4) ~P          A
1     (5)  P          1&E
1 4   (6) ~P&P        45&I
  4   (7)~( P& Q& R)  16RAA
   8  (8)    (~Q∨~R)  A
    9 (9)     ~Q      A
1     (ア)      Q      1&E
1   9 (イ)     ~Q&Q    9ア&I
    9 (ウ)~( P& Q &R)  19RAA
     エ(エ)        ~R   A
1     (オ)         R   1&E
1    エ(カ)      ~R&R   エオ&I
     エ(キ)~( P& Q& R)  1カRAA
   8  (ク)~( P& Q& R)  89ウエキ∨E
 2    (ケ)~( P& Q& R)  3478ク∨E
12    (コ) ( P& Q& R)&
         ~( P& Q& R)  1ケ&I
1     (サ)~(~P∨~Q∨~R)  2コRAA
(ⅵ)
1    (1) ~(~P∨~Q∨~R)  A
  2  (2)   ~P         A
  2  (3)   ~P∨~Q      2∨I
  2  (4)   ~P∨~Q∨~R   3∨I
1 2  (5) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  14&I
1    (6)  ~~P         25RAA
1    (7)    P         6DN
   8 (8)      ~Q      A
   8 (9)   ~P∨~Q      7∨I
   8 (ア)   ~P∨~Q∨~R   8∨I
1  8 (イ) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  1ア&I
1    (ウ)     ~~Q      8RAA
1    (エ)       Q      ウDN
    オ(オ)         ~R   A
    オ(カ)      ~Q∨~R   オ∨I
    オ(キ)   ~P∨~Q∨~R   カ∨I
1   オ(ク) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  1オ&I
1    (ケ)        ~~R   オケRAA
1    (コ)          R   ケDN
1    (サ)    P& Q      7エ&I
1    (シ)    P& Q& R   コサ&I
従って、
(05)により、
(06)
⑤    P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
に於いて、
⑤=⑥ である。
然るに、
(07)
(ⅶ)
1     (1)    P∨( Q& R)  A
 2    (2)   ~P&(~Q∨~R)  A
  3   (3)    P          A(代表的選言項)
 2    (4)   ~P          2&E
 23   (5)    P&~P       34&I
  3   (6) ~{~P&(~Q∨~R)} 25RAA
   7  (7)        Q& R   A(代表的選言項)
 2    (8)       ~Q∨~R   2&E
   7  (9)        Q      7&E
    ア (ア)       ~Q      A(代表的選言項)
   7ア (イ)        Q&~Q   9ア&I
    ア (ウ)      ~(Q& R)  7イRAA
   7  (エ)           R   2&E
     オ(オ)          ~R   A(代表的選言項)
   7 オ(カ)        R&~R   エオ&I
     オ(キ)      ~(Q& R)  7カRAA
 2    (ク)      ~(Q& R)  8アウオキ∨E
 2 7  (ケ)(Q&R)&~(Q& R)  7ク&I
   7  (コ) ~{~P&(~Q∨~R)} 2ケRAA
1     (サ) ~{~P&(~Q∨~R)} 1367コ∨E
(ⅷ)
1     (1) ~{~P&(~Q∨~R)}  1367コ∨E
 2    (2)  ~{P∨( Q& R)}  A
  3   (3)    P           A
  3   (4)    P∨( Q& R)   3∨I
 23   (5)  ~{P∨( Q& R)}&
            {P∨( Q& R)}  24&I
 2    (6)   ~P           3RAA
   7  (7)      (~Q∨~R)   A(for背理法)
 2 7  (8)   ~P&(~Q∨~R)   67&I
12 7  (9) ~{~P&(~Q∨~R)}&
           {~P&(~Q∨~R)}  18&I
12    (ア)     ~(~Q∨~R)   79RAA
    イ (イ)       ~Q       A(for背理法)
    イ (ウ)       ~Q∨~R    イ∨I
12  イ (エ)     ~(~Q∨~R)&
               (~Q∨~R)   アウ&I
12    (オ)      ~~Q       イエRAA
12    (カ)        Q       オDN
     キ(キ)          ~R    A(for背理法)
     キ(ク)       ~Q∨~R    キ∨I
12   キ(ケ)     ~(~Q∨~R)&
               (~Q∨~R)   アク&I
12    (コ)         ~~R    キケRAA
12    (サ)           R    コDN
12    (シ)        Q& R    カサ&I
12    (ス)    P∨( Q& R)   シ∨I
12    (セ)  ~{P∨( Q& R)}&
            {P∨( Q& R)}  2ス&I
1     (ソ) ~~{P∨( Q& R)}  2RAA
1     (タ)    P∨( Q& R)   ソDN
従って、
(07)により、
(08)
⑦    P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
に於いて、
⑦=⑧ である。
従って、
(02)(04)(06)(08)により、
(09)
①    P 
② ~(~P)
③    P& Q
④ ~(~P∨~Q)
⑤    P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
⑦    P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
に於いて、
①=② であって、
③=④ であって、
⑤=⑥ であって、
⑦=⑧ である。
然るに、
(10)
(ⅰ)αとβが「矛盾」するならば、
(ⅱ)βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
 α=~β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
 α=~β
といふ「等式」を、「(定義による)ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
従って、
(09)(10)により、
(11)
①    P 
② ~(~P)
③    P& Q
④ ~(~P∨~Q)
⑤    P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
⑦    P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
に於ける、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(12)
⑦    P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
に加へて、( )の位置が、
⑦     (P∨ Q)& R
⑧ ~{(~P&~Q)∨~R}
であったとしも、
⑦&⑧ は、「矛盾」する。
従って、
(12)により、
(13)
⑦    P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
であれば、「矛盾」し、
⑦     (P∨ Q)& R
⑧ ~{(~P&~Q)∨~R}
であったとしも、「矛盾」するため、
⑦       P∨ Q& R
⑧ ~(~P&~Q∨~R)
は、いづれにせよ、「矛盾」する。
従って、
(10)(11)(12)(13)により、
(14)
①    P 
② ~(~P)
③    P& Q
④ ~(~P∨~Q)
⑤    P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
⑦    P∨ Q& R
⑧ ~(~P&~Q∨~R)
に於いて、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(14)により、
(15)
①     P 
② ~(~P)
③    P& Q
④ ~(~P∨~Q)
⑤    P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
⑦    P∨ Q& R
⑧ ~(~P&~Q∨~R)
に於いて、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
が故に、
①    ~P 
② ~~(~P)
③    ~(P& Q)
④ ~~(~P∨~Q)
⑤   ~(P& Q& R)
⑥ ~~(~P∨~Q∨~R)
⑦   ~(P∨ Q& R)
⑧ ~~(~P&~Q∨~R)
に於いて、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
従って、
(15)により、
(16)
「二重否定律」により、
①  ~P 
② (~P)
③ ~(P& Q)
④ (~P∨~Q)
⑤ ~(P& Q& R)
⑥ (~P∨~Q∨~R)
⑦ ~(P∨ Q& R)
⑧ (~P&~Q∨~R)
に於いて、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
従って、
(14)(15)(16)により、
(17)
①  ~P
②  ~P
③ ~(P& Q)
④  ~P∨~Q
⑤ ~(P& Q& R)
⑥  ~P∨~Q∨~R
⑦ ~(P∨ Q& R)
⑧  ~P&~Q∨~R
に於ける、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(18)
①  ~P
②  ~P
③ ~(P& Q)
④  ~P∨~Q
⑤ ~(P& Q& R)
⑥  ~P∨~Q∨~R
⑦ ~(P∨ Q& R)
⑧  ~P&~Q∨~R
に於いて、例へば、
Q=~Q
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
①  ~P
②  ~P
③ ~(P& ~Q)
④  ~P∨~~Q
⑤ ~(P& ~Q& R)
⑥  ~P∨~~Q∨~R
⑦ ~(P∨ ~Q& R)
⑧  ~P&~~Q∨~R
に於ける、
①=②
③=④
⑤=⑥
⑦=⑧
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
従って、
(18)により、
(19)
「二重否定律」により、
①  ~P
②  ~P
③ ~(P&~Q)
④  ~P∨ Q
⑤ ~(P&~Q& R)
⑥  ~P∨ Q∨~R
⑦ ~(P∨~Q& R)
⑧  ~P& Q∨~R
に於ける、
①=②
③=④
⑤=⑥
⑦=⑧
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
従って、
(19)により、
(20)
⑦ ~(P∨~Q& R)
⑧  ~P& Q∨~R
がそうであるやうに、
⑦   P∨~Q& R
を「否定」すると、「(定義による)ド・モルガンの法則」により、
⑧  P は、~P となり、
⑧  ∨ は、 & となり、
⑧ ~Q は、 Q となり、
⑧   & は、 ∨ となり、
⑧   R は、~R となる。