然るに、
(01)
(ⅰ)
1 (1) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} A
2(2) Fa&∀y(Fy→a=y) A
2(3) Fa 2&E
2(4) ∀y(Fy→a=y) 2&E
2(5) Fb→a=b 4UE
2(6) ~Fb∨a=b 5含意の定義
2(7) a=b&~Fb 6交換法則
2(8) ~(a≠b&Fb) 7ド・モルガンの法則
2(9) ∀y~(a≠y&Fy) 8UI
2(ア) ~∃y(a≠y&Fy) 9量化子の関係
2(イ) Fa&~∃y(a≠y&Fy) 3ア&I
2(ウ)∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)} イEI
1 (エ)∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)} 12ウEE
(ⅱ)
1 (1)∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)} A
2(2) Fa&~∃y(a≠y&Fy) A
2(3) Fa 2&E
2(4) ~∃y(a≠y&Fy) 2&E
2(5) ∀y~(a≠y&Fy) 4量化子の関係
2(6) ~(a≠b&Fb) 5UE
2(7) a=b∨~Fb 6ド・モルガンの法則
2(8) ~Fb∨a=b 7交換法則
2(9) Fb→a=b 8含意の定義
2(ア) ∀y(Fy→a=y) 9UI
2(イ) Fa&∀y(Fy→a=y) 3ア&I
2(ウ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} イEI
1 (エ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} 12ウEE
従って、
(01)により、
(02)
① ∃x{Fx& ∀y(Fy→x=y)}
② ∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)}
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
① あるxについて{xはFであり、すべてのyについて(yがFならば、xはyに等しい)}。
② あるxについて{xはFであり、(x以外に、Fであるy)は存在しない}。
に於いて、
①=② である。
従って、
(03)により、
(04)
F=偶数の素数である。
とするならば、
① あるxについて{xは偶素数であり、すべてのyについて(yが偶素数ならば、xはyに等しい)}。
② あるxについて{xは偶素数であり、(x以外に、偶素数であるy)は存在しない}。
に於いて、
①=② である。
従って、
(04)により、
(05)
① ある数2について{2は偶素数であり、すべてのyについて(yが偶素数ならば、2はyに等しい)}。
② ある数2について{2は偶素数であり、(2以外に、偶素数であるy)は存在しない}。
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① ∃x{Fx& ∀y(Fy→x=y)}
② ∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)}
といふ「述語論理式」は、両方とも、
① ある、唯一のxは、Fであり、x以外にFは、存在しない。
② ある、唯一のxは、Fであり、x以外にFは、存在しない。
といふ「意味」になる。
従って、
(06)により、
(07)
① ∃x{Ix&Ox& ∀y(Iy→x=y)}
② ∃x{Ix&Ox&~∃y(x≠y&Iy)}
といふ「述語論理式」は、両方とも、
① ある、唯一のxは、Iであり、Oであり、x以外にIは、存在しない。
② ある、唯一のxは、Iであり、Oであり、x以外にIは、存在しない。
といふ「意味」になる。
然るに、
(08)
(21)イリアスの著者はオデュッセイアを書いた。故にある人はイリアスとオデュッセイアの両方を書いた。
(21)The author of the Iliad wrote the odyssey; therefore someone wrote both Iliad and the odyssey.
― 中略 ―、
(22)∃x{Ix&Ox&∀y(Iy→x=y)}
ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。
someone wrote the Iliad, and wrote the odyssey, and further that person is unique in having written the Iliad;
― 中略 ―、
The treatment of definite description in(22)is of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
(22)における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、213・214頁改)
従って、
(07)(08)
(09)
① ∃x{Ix&Ox& ∀y(Iy→x=y)}
② ∃x{Ix&Ox&~∃y(x≠y&Iy)}
における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
然るに、
(10)
問題5.
ラッセルの確定記述の理論を用いて、つぎの論証の健全性を確立せよ。
(a)マイン・カンプの著者は1945年に死んだ。ヒトラーがマイン・カンプを書いた。故にヒトラーは1945年に死んだ。
(a)The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp. Hitler therefore died in 1945.
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、215頁改)
〔私による解答〕
1 (1)∃x(我が闘争x&45年死x) A
2 (2) 我が闘争a&45年死a A
3 (3)∃y{ヒトラーy&我が闘争y&∀x(我が闘争x→x=y)} A
4(4) ヒトラーb&我が闘争b&∀x(我が闘争x→x=b) A
4(5) ∀x(我が闘争x→x=b) 4&E
4(6) 我が闘争a→a=b 5UE
2 (7) 我が闘争a 2&E
2 4(8) a=b 67MPP
4(9) ヒトラーb 4&E
2 4(ア) ヒトラーa 89=E
2 (イ) 45年死a 2&E
2 4(ウ) ヒトラーa&45年死a アイ&I
2 4(エ)∃x(ヒトラーx&45年死x) ウEI
23 (オ)∃x(ヒトラーx&45年死x) 34エEE
1 3 (カ)∃x(ヒトラーx&45年死x) 12オEE
1 3 (〃)あるxはヒトラーであって1945年に死んだ。 12オEE
然るに、
(11)
定冠詞(the)は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。確かに、しかじかのひと(So-and-so)がいく人かの息子をもっている場合でさえ、the son of So-and-so という表現を使用するが、本当はその場合には、a son of So-and-so という方がより正しいといえよう。それゆえわれわれの目的のためには、the は一意性を内含しているものと考えていく(頸草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、53頁)。
従って、
(10)(11)により、
(12)
(a)The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp.
といふことは、
(a)マイン・カンプの唯一の著者が、マイン・カンプを書いたことになる。
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