日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(934)「ド・モルガンの法則」の「定義」について(Ⅱ)。

2021-06-24 13:03:18 | 論理

 ―「昨日(令和03年06月03日)の記事」を補足します。―
(01)
(ⅰ)αとβが「矛盾」するならば、
(ⅱ)  βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
 α=~β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
 α=~β
といふ「等式」を、「(定義による)ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
然るに、
(02)
(ⅰ)
1 (1)   P  A
 2(2)  ~P  A
12(3)P&~P  12&I(矛盾
1 (4)~(~P) 2RAA(背理法
(ⅱ)
1 (1)~(~P) A
1 (2)   P  1DN
∴ P┤├ ~(~P)
従って、
(01)(02)により、
(03)
①    P
② ~(~P)
に於いて、
①=② は、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
cf.
「Pの補集合」の「補集合」は、「P」に「等しい」。
然るに、
(04)
(ⅲ)
1 (1)  P→ Q  A
 2(2)  P&~Q  A
 2(3)  P     2&E
12(4)     Q  13MPP
 2(5)    ~Q  2&E
12(6)  Q&~Q  45&I(矛盾
1 (7)~(P&~Q) 26RAA(背理法
(ⅳ)
1  (1)~(P&~Q)  A
 2 (2)  P      A
  3(3)    ~Q   A
 23(4)  P&~Q   23&I
123(5)~(P&~Q)&
       (P&~Q)  14&I(矛盾
12 (6)   ~~Q   35RAA(背理法
12 (7)     Q   6DN
1  (8)   P→Q   27CP
∴ P→Q┤├ ~(P&~Q)
(05)
(ⅴ)
1   (1) ~P∨ Q  A
 2  (2)  P&~Q  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P& P  34&I(矛盾
 2  (6)~(P&~Q) 35RAA(背理法
   7(7)     Q  A
 2  (8)    ~Q  2&E
 2 7(9)  Q&~Q  78&I(矛盾
   7(ア)~(P&~Q) 29RAA(背理法
1   (イ)~(P&~Q) 1267ア∨E
(ⅵ)
1   (1) ~( P&~Q)  A
 2  (2) ~(~P∨ Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨ Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨ Q)&
         (~P∨ Q)  24&I(矛盾
 2  (6)  ~~P      35RAA(背理法
 2  (7)    P      6DN
   8(8)       Q   A
   8(9)   ~P∨ Q   8∨I
 2 8(ア) ~(~P∨ Q)&
         (~P∨ Q)  29&I
 2  (イ)      ~Q   8RAA
 2  (ウ)    P&~Q   7イ&I
12  (エ) ~( P&~Q)&
         ( P&~Q)  1ウ&I(矛盾
1   (オ)~~(~P∨ Q)  2エRAA(背理法
1   (カ)   ~P∨ Q   オDN
∴ ~P∨Q┤├ ~(P&~Q)
(06)
(ⅶ)
1     (1)  P&  Q& R   A
 2    (2) ~P∨ ~Q∨~R   A
 2    (3) ~P∨(~Q∨~R)  2結合法則
  4   (4) ~P          A
1     (5)  P          1&E
1 4   (6) ~P&P        45&I(矛盾
  4   (7)~( P& Q& R)  16RAA(背理法
   8  (8)    (~Q∨~R)  A
    9 (9)     ~Q      A
1     (ア)      Q      1&E
1   9 (イ)     ~Q&Q    9ア&I(矛盾
    9 (ウ)~( P& Q &R)  19RAA(背理法
     エ(エ)        ~R   A
1     (オ)         R   1&E
1    エ(カ)      ~R&R   エオ&I(矛盾
     エ(キ)~( P& Q& R)  1カRAA(背理法
   8  (ク)~( P& Q& R)  89ウエキ∨E
 2    (ケ)~( P& Q& R)  3478ク∨E
12    (コ) ( P& Q& R)&
         ~( P& Q& R)  1ケ&I(矛盾
1     (サ)~(~P∨~Q∨~R)  2コRAA(背理法
(ⅷ)
1    (1) ~(~P∨~Q∨~R)  A
  2  (2)   ~P         A
  2  (3)   ~P∨~Q      2∨I
  2  (4)   ~P∨~Q∨~R   3∨I
1 2  (5) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  14&I(矛盾
1    (6)  ~~P         25RAA(背理法
1    (7)    P         6DN
   8 (8)      ~Q      A
   8 (9)   ~P∨~Q      7∨I
   8 (ア)   ~P∨~Q∨~R   8∨I
1  8 (イ) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  1ア&I(矛盾
1    (ウ)     ~~Q      8RAA(背理法
1    (エ)       Q      ウDN
    オ(オ)         ~R   A
    オ(カ)      ~Q∨~R   オ∨I
    オ(キ)   ~P∨~Q∨~R   カ∨I
1   オ(ク) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  1オ&I(矛盾
1    (ケ)        ~~R   オケRAA(背理法
1    (コ)          R   ケDN
1    (サ)    P& Q      7エ&I
1    (シ)    P& Q& R   コサ&I
∴ P&Q&R ┤├ ~(~P∨~Q∨~R)
(07)
(ⅸ)
1      (1)  (P∨ Q)& R  A
 2     (2) (~P&~Q)∨~R  A
1      (3)   P∨ Q      1&E
  4    (4)  ~P&~Q      A
   5   (5)   P         A
  4    (6)  ~P         4&E
  45   (7)   P&~P      56&I
   5   (8)~(~P&~Q)     47RAA
    9  (9)      Q      A
  4    (ア)     ~Q      4&E
  4 9  (イ)   Q&~Q      9ア&I
    9  (ウ)~(~P&~Q)     4イRAA
1      (エ)~(~P&~Q)     3589ウ∨E
     オ (オ) (~P&~Q)      A
1    オ (カ)~(~P&~Q)&
           (~P&~Q)      エオ&I
     オ (キ)~{(P∨ Q)& R}  1カRAA
1      (ク)          R   1&E
      ケ(ケ)         ~R   A
1     ケ(コ)       R&~R   クケ&I
      ケ(サ)~{(P∨ Q)& R}  1コRAA
 2     (シ)~{(P∨ Q)& R}  2オキケサ∨E
12     (ス) {(P∨ Q)& R}&
          ~{(P∨ Q)& R}  1シ&I(矛盾
1      (セ)~{(~P&~Q)∨~R} 2スRAA(背理法
(ⅹ)
1        (1)~{(~P&~Q)∨~R}  A
 2       (2) ~{(P∨ Q)& R}  A
  3      (3)   (P∨ Q)      A
   4     (4)           R   A
  34     (5)   (P∨ Q)& R   34&I
 234     (6) ~{(P∨ Q)& R}&
              {(P∨ Q)& R   25&I
 23      (7)          ~R   4RAA
 2       (8)   (P∨ Q)→~R   37CP
    9    (9)           R   A
    9    (ア)         ~~R   9DN
 2  9    (イ)  ~(P∨ Q)      8アMTT
     ウ   (ウ) ~(~P&~Q)      A
      エ  (エ)    P          A
      エ  (オ)    P∨ Q       エ∨I
 2  9 エ  (カ)  ~(P∨ Q)&
               (P∨ Q)      イオ&I
 2  9    (キ)   ~P          エカRAA
       ク (ク)       Q       A
       ク (ケ)    P∨ Q       クカ∨I
 2  9  ク (コ)  ~(P∨ Q)&
               (P∨ Q)      イケ&I
 2  9    (サ)      ~Q       クコRAA
 2  9    (シ)   ~P&~Q       キサ&I
 2  9ウ   (セ) ~(~P&~Q)&
              (~P&~Q)      ウシ&I
 2  9    (ソ)~~(~P&~Q)      ウセRAA
 2  9    (タ)   ~P&~Q       ソDN
 2       (チ)   R→(~P&~Q)   9タCP
        ツ(ツ)  ~R           A
        ツ(テ)  (~P&~Q)∨~R   ツ∨I
1       ツ(ト)~{(~P&~Q)∨~R}&
             {(~P&~Q)∨~R}  1テ&I
1        (ナ) ~~R           ツトRAA
1        (ニ)   R           ナDN
12       (ヌ)     (~P&~Q)   チニMPP
12       (ネ)  (~P&~Q)∨~R   ヌ∨I
12       (ノ)~{(~P&~Q)∨~R}&
             {(~P&~Q)∨~R}  1ネ&I(矛盾
1        (ハ)~~{(P∨ Q)& R}  2ノRAA(背理法
1        (ヒ)   (P∨ Q)& R   ハDN
∴ (P∨Q)&R ┤├ ~{(~P&~Q)∨~R}
(08)
(ⅰ)
1     (1)    P∨( Q& R)  A
 2    (2)   ~P&(~Q∨~R)  A
  3   (3)    P          A
 2    (4)   ~P          2&E
 23   (5)    P&~P       34&I
  3   (6) ~{~P&(~Q∨~R)} 25RAA
   7  (7)        Q& R   A
 2    (8)       ~Q∨~R   2&E
   7  (9)        Q      7&E
    ア (ア)       ~Q      A
   7ア (イ)        Q&~Q   9ア&I
    ア (ウ)      ~(Q& R)  7イRAA
   7  (エ)           R   2&E
     オ(オ)          ~R   A
   7 オ(カ)        R&~R   エオ&I
     オ(キ)      ~(Q& R)  7カRAA
 2    (ク)      ~(Q& R)  8アウオキ∨E
 2 7  (ケ)(Q&R)&~(Q& R)  7ク&I(矛盾
   7  (コ) ~{~P&(~Q∨~R)} 2ケRAA(背理法
1     (サ) ~{~P&(~Q∨~R)} 1367コ∨E
(ⅱ)
1     (1) ~{~P&(~Q∨~R)}  1367コ∨E
 2    (2)  ~{P∨( Q& R)}  A
  3   (3)    P           A
  3   (4)    P∨( Q& R)   3∨I
 23   (5)  ~{P∨( Q& R)}&
            {P∨( Q& R)}  24&I
 2    (6)   ~P           3RAA
   7  (7)      (~Q∨~R)   A
 2 7  (8)   ~P&(~Q∨~R)   67&I
12 7  (9) ~{~P&(~Q∨~R)}&
           {~P&(~Q∨~R)}  18&I
12    (ア)     ~(~Q∨~R)   79RAA
    イ (イ)       ~Q       A
    イ (ウ)       ~Q∨~R    イ∨I
12  イ (エ)     ~(~Q∨~R)&
               (~Q∨~R)   アウ&I
12    (オ)      ~~Q       イエRAA
12    (カ)        Q       オDN
     キ(キ)          ~R    A
     キ(ク)       ~Q∨~R    キ∨I
12   キ(ケ)     ~(~Q∨~R)&
               (~Q∨~R)   アク&I
12    (コ)         ~~R    キケRAA
12    (サ)           R    コDN
12    (シ)        Q& R    カサ&I
12    (ス)    P∨( Q& R)   シ∨I
12    (セ)  ~{P∨( Q& R)}&
            {P∨( Q& R)}  2ス&I(矛盾
1     (ソ) ~~{P∨( Q& R)}  2RAA(背理法
1     (タ)    P∨( Q& R)   ソDN
∴ P∨(Q&R)┤├ ~{~P&(~Q∨~R)}
従って、
(01)~(08)により、
(09)
①     P
② ~(~P)
③     P→Q
④   ~P∨ Q
⑤ ~(P&~Q)
⑥    P& Q& R
⑦ ~(~P∨~Q∨~R)
⑧      (P∨  Q)&  R
⑨~{(~P&~Q)∨~R}
⑩        P∨(  Q&  R)
⑪  ~{~P&(~Q∨~R)}
に於いて、
①=②
③=⑤
④=⑤
⑥=⑦
⑧=⑨
⑩=⑪
は、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(10)
④ ~P∨ Q
⑤ ~(P&~Q)
に於ける、
④=⑤ に関しては、「(普通の、)ド・モルガンの法則」である。
従って、
(01)(09)(10)により、
(11)
(ⅰ)αとβが「矛盾」するならば、
(ⅱ)  βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
 α=~β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
 α=~β
といふ「等式」を、 「(定義による)ド・モルガンの法則」と呼ぶならば、
「(普通の、) ド・モルガンの法則」は、
「(定義による)ド・モルガンの法則」である。