日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(930)「唯一のxだけがFである(ラッセルの確定記述)」の説明。

2021-06-19 19:09:39 | 論理

(01)
{a、b、c}が{変域(すべてのx)}であるならば、
① ∃y(Fx)
② Fa∨Fb∨Fc
に於いて、
①=② である。
然るに、
(02)
② Fa∨Fb∨Fc
といふことは、
(ⅰ)Fa
(ⅱ)Fb
(ⅲ)Fc
(ⅳ)Fa&Fb
(ⅴ)Fa&Fc
(ⅵ)Fb&Fc
(ⅶ)Fa&Fb&Fc
といふ「7通りが、真である」といふことに、「等しい」。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① ∃y(Fx)
といふことは、
① 1つ以上のxが、性質Fを持つ。
といふことを、意味してゐる。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1 (1)  ∃x(Fx)    A
 2(2)     Fa     A
 2(3)     Fa&Fa  2&I
 2(4)  ∃y(Fa&Fy) 3EI
 2(5)∃x∃y(Fx&Fy) 4EI
1 (6)∃x∃y(Fx&Fy) 125EE
(ⅱ)
1  (1)∃x∃y{Fx&Fy&(x=y)} A
 2 (2)  ∃y{Fa&Fy&(a=y)  A
  3(3)     Fa&Fb&(a=b)  A
  3(4)     Fa&Fb        3&E
  3(5)            a=b   3&E
  3(6)     Fa&Fa        45=E
  3(7)     Fa           6&E
  3(8)  ∃x(Fx)          7EI
 2 (9)  ∃x(Fx)          238EE
1  (ア)  ∃x(Fx)          129EE
従って、
(04)により、
(05)
① ∃x(Fx)
② ∃x∃y(Fx&Fy) に於いて、
①=② であることは、「可能」である。
然るに、
(06)
① ∃x∃y{Fx&Fy&(x=y)}
② ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}
に於いて、
① ではなく、
② であるならば、
② 少なくとも、「相異なる、2つの個体(individuals)が、性質Fを、持ってゐる。」
然るに、
(07)
② 少なくとも、「相異なる、2つの個体(individuals)が、性質Fを、持ってゐる。」
といふことは、
②「2つ以上の個体(indivisual)が、性質Fを、持ってゐる。」
といふことに、他ならない。
従って、
(06)(07)により、
(08)
①  ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}
② ~∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}
といふ「論理式」は、
①「2つ以上の個体(indivisuals)が、性質Fを、持ってゐる。」
②「2つ以上の個体(indivisuals)が、性質Fを、持ってゐる。」といふことはない。
といふ「意味」になる。
然るに、
(09)
① ~∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}⇔
①「2つ以上の個体(indivisuals)が、性質Fを、持ってゐる。」といふことはない。
といふことは、
①「1個未満(1個か0個)の個体が、性質Fを、持ってゐる。」
といふ「意味」になる。
然るに、
(10)
(ⅰ)
1(1)~∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)} A
1(2)∀x~∃x{Fx&Fy&(x≠y)} 1量化子の関係
1(3)∀x∀y~{Fx&Fy&(x≠y)} 2量化子の関係
1(4)  ∀y~{Fa&Fy&(a≠y)} 3UI
1(5)    ~{Fa&Fb&(a≠b)} 4UI
1(6)    ~(Fa&Fb)∨a=b   5ド・モルガンの法則
1(7)      Fa&Fb→(a=b)  6含意の定義
1(8)   ∀y{Fa&Fy→(a=y)} 7UI
1(9) ∀x∀y{Fx&Fy→(x=y)} 8UI
(ⅱ)
1(1) ∀x∀y{Fx&Fy→(x=y)} A
1(2)   ∀y{Fa&Fy→(a=y)} 1UE
1(3)      Fa&Fb→(a=b)  2UE
1(4)    ~(Fa&Fb)∨a=b   3含意の定義
1(5)    ~{Fa&Fb&(a≠b)} 4ド・モルガンの法則
1(6)  ∀y~{Fa&Fy&(a≠y)} 5UI
1(7)∀x∀y~{Fx&Fy&(x≠y)} 6UI
1(8)∀x~∃x{Fx&Fy&(x≠y)} 7量化子の関係
1(9)~∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)} 8量化子の関係
従って、
(10)により、
(11)
① ~∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}
②   ∀x∀y{Fx&Fy→(x=y)}
に於いて、
①=② である。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
① ~∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}
②   ∀x∀y{Fx&Fy→(x=y)}
といふ「論理式」、すなはち、
① あるxとあるyについて{xがFであって、yもFである際に、xとyが異なる}といふことはない。
② すべてのxとyについて{xがFであって、yもFであるならば、xとyは「同一」である}。
といふ「それ」は、
①「1個未満(1個か0個)の個体が、性質Fを、持ってゐる。」
②「1個未満(1個か0個)の個体が、性質Fを、持ってゐる。」
といふ「意味」になる。
従って、
(03)(12)により、
(13)
① ∃y(Fx)
② ∀x∀y{Fx&Fy→x=y}
に於いて、
①&② である、といふことは、
① 1個以上のxが、性質Fを持ち、尚且つ、
② 1個未満のxが、性質Fを持つ。
といふことに、他ならない。
然るに、
(14)
① 1個以上のxが、性質Fを持ち、尚且つ、
② 1個未満のxが、性質Fを持つ。
といふことは、
唯一のxが、性質Fを持つ。
といふことに、他ならない。
従って、
(13)(14)により、
(15)
① ∃y(Fx)&∀x∀y{Fx&Fy→x=y}
② 唯一のxが、性質Fを持つ。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(16)
(ⅰ)
1  (1)∃xFx&∀x∀y(Fx&Fy→x=y) A
1  (2)∃xFx                 1&E
 3 (3)  Fa                 A
1  (4)     ∀x∀y(Fx&Fy→x=y) 1&E
1  (5)       ∀y(Fa&Fy→a=y) 4UE
1  (6)          Fa&Fb→a=b  5UE
  7(7)             Fb      A
 37(8)          Fa&Fb      37&I
137(9)                a=b  68MPP
13 (ア)          Fb→a=b     79CP
13 (イ)       ∀y(Fy→a=y)    アUI
13 (ウ)    Fa&∀y(Fy→a=y)    3イ&I
13 (エ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}   ウEI
1  (オ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}   23エEE
(ⅱ)
1  (1)∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}    A
 2 (2)   Fa&∀y(Fy→a=y)     A
 2 (3)      ∀y(Fy→a=y)     2&E
 2 (4)         Fb→a=b      3UE
  5(5)   Fa&Fb             A
  5(6)      Fb             5&E
 25(7)            a=b      46MPP
 2 (8)      Fa&Fb→a=b      57CP
 2 (9)   ∀y(Fa&Fy→a=y)     8UI
 2 (ア) ∀x∀y(Fx&Fy→x=y)     9UI
 2 (イ)Fa                   2&E
 2 (ウ)∃xFx                 イEI
 2 (エ)∃xFx&∀x∀y(Fx&Fy→x=y) アウ&I
1  (ウ)∃xFx&∀x∀y(Fx&Fy→x=y) 12エEE
従って、
(16)により、
(17)
① ∃y(Fx)&∀x∀y{Fx&Fy→x=y}
② ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}
に於いて、
①=② である。
然るに、
(18)
(ⅱ)
1 (1) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} A
 2(2)    Fa&∀y(Fy→a=y)  A
 2(3)    Fa             2&E
 2(4)       ∀y(Fy→a=y)  2&E
 2(5)          Fb→a=b   4UE
 2(6)         ~Fb∨a=b   5含意の定義
 2(7)         a=b&~Fb   6交換法則
 2(8)        ~(a≠b&Fb)  7ド・モルガンの法則
 2(9)      ∀y~(a≠y&Fy)  8UI
 2(ア)      ~∃y(a≠y&Fy)  9量化子の関係
 2(イ)   Fa&~∃y(a≠y&Fy)  3ア&I
 2(ウ)∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)} イEI
1 (エ)∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)} 12ウEE
(ⅲ)
1 (1)∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)} A
 2(2)   Fa&~∃y(a≠y&Fy)  A
 2(3)   Fa              2&E
 2(4)      ~∃y(a≠y&Fy)  2&E
 2(5)      ∀y~(a≠y&Fy)  4量化子の関係
 2(6)        ~(a≠b&Fb)  5UE
 2(7)         a=b∨~Fb   6ド・モルガンの法則
 2(8)         ~Fb∨a=b   7交換法則
 2(9)          Fb→a=b   8含意の定義
 2(ア)       ∀y(Fy→a=y)  9UI
 2(イ)    Fa&∀y(Fy→a=y)  3ア&I
 2(ウ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} イEI
1 (エ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} 12ウEE
従って、
(18)により、
(19)
② ∃x{Fx&  ∀y(Fy→x=y)}
③ ∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)}
に於いて、
②=③ である。
従って、
(15)~(19)により、
(20)
① ∃y(Fx)&∀x∀y{Fx&Fy→x=y}
② ∃x{Fx&  ∀y(Fy→x=y)}
③ ∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)}
④ 唯一のxが、性質Fを持つ。
に於いて、
①=②=③=④ である。
然るに、
(21)
それ故、正確に1つものがFをもつと言うことは、次のように言うことである。
① ∃y(Fx)&∀x∀y{Fx&Fy→x=y}
さて、
① は実はより短くすっきりとしたつぎの式と相互に導出可能なのである。
② ∃x{Fx& ∀y(Fy→x=y)}
②は、あるものがFをもち、そして任意のFをもつものはまさにそのものにほかならない、ということを主張する。
正確に1つのものがFをもつということの、いまひとつの言いかたである。しかるに、まだもっと明瞭であるかも知れない、第3の同値の式がある。すなわち、
③ ∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)}
― Fをもつものが存在し、そして他のいかなるものもFをもつということはない。
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、211・212頁
従って、
(20)(21)により、
(22)
① ∃y(Fx)&∀x∀y{Fx&Fy→x=y}
② ∃x{Fx&  ∀y(Fy→x=y)}
③ ∃x{Fx&~∃y(x≠y&Fy)}
唯一のxが、性質Fを持つ。
に於いて、
①=②=③=④ である。
といふ風に、E.J.レモンも、言ってゐる。
従って、
(20)(21)(22)により、
(23)
① ∃y(Ix&Ox)&∀x∀y{Ix&Ox&Iy&Oy→x=y}
② ∃x{Ix&Ox&  ∀y(Iy→x=y)}
③ ∃x{Ix&Ox&~∃y(x≠y&Iy)}
唯一のxだけが、性質Iと性質Oとを、併せ持つ
に於いて、
①=②=③=④ である。
然るに、
(24)
 (α)イリアスの著者はオデュッセイアを書いた。故にある人はイリアスとオデュッセイアの両方を書いた。
 (α)The author of the Iliad wrote the odyssey; therefore someone wrote both Iliad and the odyssey.
「イリアスの著者」を固有名詞として扱い、それをたとえば、mによって表わすならば、論証の健全性がでてくることはない。
If we treat "the author of Iliad" as a proper name, and present it by "m", say, the soundness of the argument does not emerge.
― 中略 ―、
  (β)∃x{Ix&Ox&∀y(Iy→x=y)}
 (β)ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。
 (β)someone wrote Iliad, and wrote the odyssey, and further that person is unique in having written the Iliad;
― 中略 ―、
The treatment of definite description in(β)is of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
(β)における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、213・214頁改)
従って、
(23)(24)により、
(25)
② ∃x{Ix&Ox&∀y(Iy→x=y)}⇔
② ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。⇔
② あるxについて{xは、イリアスの著者であって、オデュッセイアであって、すべてのyについて(yがイリアスの著者であるならば、xとyは「同一」である}。
における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
従って、
(01)~(25)により、
(26)
論理分析において無視できぬ重要さをもつ所の「ラッセルの確定記述の理論(Russell's theory of definite description)」を、「真に理解する」ためには、例へば、
(ⅰ)
1  (1)∃xFx&∀x∀y(Fx&Fy→x=y) A
1  (2)∃xFx                 1&E
 3 (3)  Fa                 A
1  (4)     ∀x∀y(Fx&Fy→x=y) 1&E
1  (5)       ∀y(Fa&Fy→a=y) 4UE
1  (6)          Fa&Fb→a=b  5UE
  7(7)             Fb      A
 37(8)          Fa&Fb      37&I
137(9)                a=b  68MPP
13 (ア)          Fb→a=b     79CP
13 (イ)       ∀y(Fy→a=y)    アUI
13 (ウ)    Fa&∀y(Fy→a=y)    3イ&I
13 (エ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}   ウEI
1  (オ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}   23エEE
(ⅱ)
1  (1)∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}    A
 2 (2)   Fa&∀y(Fy→a=y)     A
 2 (3)      ∀y(Fy→a=y)     2&E
 2 (4)         Fb→a=b      3UE
  5(5)   Fa&Fb             A
  5(6)      Fb             5&E
 25(7)            a=b      46MPP
 2 (8)      Fa&Fb→a=b      57CP
 2 (9)   ∀y(Fa&Fy→a=y)     8UI
 2 (ア) ∀x∀y(Fx&Fy→x=y)     9UI
 2 (イ)Fa                   2&E
 2 (ウ)∃xFx                 イEI
 2 (エ)∃xFx&∀x∀y(Fx&Fy→x=y) アウ&I
1  (ウ)∃xFx&∀x∀y(Fx&Fy→x=y) 12エEE
といふ「計算(Predicate calculus)」を、自分で、出来るように、ならなければ、ならないものの、「以上の計算の仕組み」を「理解」することは、おそらくは、それなりに、難しい。
然るに、
(27)
1919年、ウィトゲンシュタインは収容所からラッセルに書き送った手紙で『論考』の概略を伝える[注 12]。ラッセルはその重要性に気づき、収容所へ面会に行かなければならないと思ったが、そもそもラッセル自身が反戦運動により刑務所に投獄されていた。しかし、当時パリ講和会議のイギリス代表で各国政府機関に顔の利いたケインズの尽力で得た特権により、原稿はラッセルやフレーゲの元へ届けられた。そして8月21日、ウィトゲンシュタインはようやく釈放される(ウィキペディア)。
然るに、
(28)
(ウィトゲンシュタインの哲学の)前期というのは、濃厚に、「当時の記号論理学の成果」を前提にしていて、それをもとに、展開されといるので、それ自体がこう「非常に、参入障壁」というか、「その最初の、高すぎる壁」になってしまうわけですね(ユーチューブ:はじめてのウィトゲンシュタイン - 一生役立つ哲学入門)。
との、ことであるが、『述語論理』を理解しなければ、『ウィトゲンシュタイン』を理解できないか、どうかは、私は、知らない。