（927）「ラッセルの確定記述」と「は・が」。

（01）
　（21）イリアスの著者はオデュッセイアを書いた。故にある人はイリアスとオデュッセイアの両方を書いた。
　（21）The author of the Iliad wrote the odyssey; therefore someone wrote both Iliad and the odyssey.
　― 中略 ―、
　（22）∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］
ある人はイリアスを書いた。そしてオデュッセイアを書いた、そしてさらにその人はイリアスを書いた唯一の人である。
someone wrote the Iliad, and wrote the odyssey, and further that person is unique in having written the Iliad;
　― 中略 ―、
The treatment of definite description in（22）is of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
　（22）における確定記述の取り扱いは、論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１３・２１４頁改）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］
といふ「論理式」は、
① イリアスの著者以外に、オデュッセイアの著者はゐない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。
従って、
（04）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１　　（１）理事長であるならば、私である。　　仮定
　２　（２）　　　　　　　　　　私でない。　　仮定
　　３（３）理事長である。　　　　　　　　　　仮定
１　３（４）　　　　　　　　　　私である。　　１３肯定肯定式
１２３（５）私でないが、私である。　　　　　　２４連言導入
１２　（６）理事長でない。　　　　　　　　　　３５背理法
１　　（７）私でないならば、理事長ではない。　２６条件法
（ⅲ）
１　　（１）私でないならば、理事長ではない。　仮定
　２　（２）　　　　　　　　理事長である。　　仮定
　　３（３）私でない。　　　　　　　　　　　　仮定
１　３（４）　　　　　　　　理事長でない。　　１３肯定肯定式
１２３（５）理事長であるが、理事長でない。　　２４連言導入
１２　（６）私でない、ではない。　　　　　　　３５背理法
１２　（７）私である。　　　　　　　　　　　　６二重否定
１　　（８）理事長であるならば、私である。　　２７条件法
従って、
（05）により、
（06）
② 理事長であるならば、私である。
③ 私でないならば、理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（06）により、
（07）
② 理事長は私である。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① 私が理事長です。
② 理事長は私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
① イリアスの著者がオデュッセイアの著者です。
② オデュッセイアの著者はイリアスの著者です。
③ イリアスの著者以外はオデュッセイアの著者ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（09）により、
（10）
「番号」を付け直すと、
① ∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］
② イリアスの著者がオデュッセイアの著者です。
③ オデュッセイアの著者はイリアスの著者です。
④イリアスの著者以外はオデュッセイアの著者ではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙ＆∀ｚ（理事長ｚ→ｙ＝ｚ）］
② 私が理事長です。
③ 理事長は私です。
④ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（01）（10）（11）により、
（12）
① ∃ｙ［Iｙ＆Ｏｙ＆∀ｚ（Ｉｚ→ｙ＝ｚ）］≡イリアスの著者がオデュッセイアの著者です。
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙ＆∀ｚ（理事長ｚ→ｙ＝ｚ）］≡私が理事長です。
といふ「述語論理式（と日本語）」は、
論理分析において無視できぬ重要さをもつ。それはラッセルに由来するものなので、ラッセルの確定記述の理論として知られるに到っている。
are of considerable importance in logical analysis; due to Russell, it has come to be known as Russell's theory of definite description.
然るに、
（13）
然るに、
（11）
（ⅰ）私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
然るに、
（14）
１　　　　　（１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　Ｔ会の会員ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　　（４）　　　　　　　　　　∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　２３ＭＰＰ
　　５　　　（５）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　Ａ
　　５　　　（６）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　５　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　５＆Ｅ
　　５　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　理事長ｃａ→ｂ＝ｃ　　　　７ＵＥ
　　　９　　（９）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（ア）　　　　　　　　小倉ｃ＆～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（イ）　　　　　　　　小倉ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　 　　 ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　アエ（オ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＝Ｅ
　　５　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　５　アエ（キ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ＆私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＆Ｉ
　　５　ア　（ク）　　　　　　　　　　　　　　ｂ≠ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エキＲＡＡ
　　５　ア　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～理事長ｃａ　　　　　　　　８クＭＴＴ
　　５　ア　（コ）　　　　　　　　小倉ｃ＆～理事長ｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イケ＆Ｉ
　　５　ア　（サ）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
　　５９　　（シ）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９アサＥＥ
１３　９　　（ス）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５シＥＥ
１　　９　　（セ）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　３スＣＰ
１　　９　　（ソ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
１　　９　　（〃）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。　　　　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（15）により、
（16）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］｝。
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない）。
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）｝。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① タゴール記念会は、私は理事長であり、私以外は理事長ではない。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（12）（17）により、
（18）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
に於ける、
① 私が理事長です。⇔
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］。
といふ「日本語（命題関数）」は、「ラッセルの確定記述（Russell's theory of definite description）」に、相当する。
（19）
簡単に言うと、「論理式（well-formed formula）」かそのはじめにある量記号を除去した結果えられる式は「命題関数（Propositional function）」である。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１８２頁改）
従って、
（19）により、
（20）
① ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］
② ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙ  ＆∀ｚ（理事長ｚ  →ｙ＝ｚ）］
③ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
① は、「（ｘに関する）命題関数」であって、
② は、「論理式」であって、
③ も、「論理式」である。