（01）
① 犯人は、甲か乙である。
② 犯人が、甲でないならば、乙が犯人である。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「当然」である。
然るに、
（02）
1 一階述語論理の完全性
トートロジーは証明可能である。これが、一階述語論理の完全性定理とよばれる有名な定理です。
ゲーデルによって証明されましたので、ゲーデルの完全性定理ともよばれています（1 一階述語論理の完全性）。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ（犯人ｘ→ 甲ｘ∨乙ｘ）
② ∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが犯人であるならば、ｘは甲であるか、ｘは乙である）。
② すべてのｘについて（ｘが犯人であって、ｘが甲でないならば、ｘは乙であって、ｘは犯人である）。
に於いて、
① ならば、② である。
② ならば、① である。
といふことは、「証明可能」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（犯人ｘ→甲ｘ∨乙ｘ） Ａ
１ （２） 犯人ａ→甲ａ∨乙ａ １ＵＥ
３ （３） 犯人ａ Ａ
１３ （４） 甲ａ∨ 乙ａ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～甲ａ＆～乙ａ Ａ
６ （６） 甲ａ Ａ
５ （７） ～甲ａ ５＆Ｅ
５６ （８） 甲ａ＆～甲ａ ６７＆Ｉ
６ （９） ～（～甲ａ＆～乙ａ） ５８ＲＡＡ
ア （ア） 乙ａ Ａ
５ （イ） ～乙ａ ５＆Ｅ
５ ア （ウ） 乙ａ＆～乙ａ アイ＆Ｉ
ア （エ） ～（～甲ａ＆～乙ａ） ５ウＲＡＡ
１３ （オ） ～（～甲ａ＆～乙ａ） ４６９アエ∨Ｅ
カ （カ） ～甲ａ Ａ
キ （キ） ～乙ａ Ａ
カキ （ク） ～甲ａ＆～乙ア カキ＆Ｉ
１３ カキ （ケ） ～（～甲ａ＆～乙ａ）＆
（～甲ａ＆～乙ａ） オク＆Ｉ
１３ カ （コ） ～～乙ａ キケＲＡＡ
１３ カ （サ） 乙ａ コＤＮ
１３ （シ） ～甲ａ→乙ａ カサＣＰ
１ （ス） 犯人ａ→（～甲ａ→乙ａ） ３シＣＰ
セ（セ） 犯人ａ＆ ～甲ａ Ａ
セ（ソ） 犯人ａ セ＆Ｅ
セ（タ） ～甲ａ セ＆Ｅ
１ セ（チ） ～甲ａ→乙ａ スソＭＰＰ
１ セ（ツ） 乙ａ タチＭＰＰ
１ セ（テ） 乙ａ＆犯人ａ ソツ＆Ｉ
１ （ト） 犯人ａ＆～甲ａ→乙ａ＆犯人ａ セテＣＰ
１ （ナ）∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ） トＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ） Ａ
１ （２） 犯人ａ＆～甲ａ→乙ａ＆犯人ａ １ＵＥ
３ （３） 犯人ａ Ａ
４ （４） ～甲ａ Ａ
３４ （５） 犯人ａ＆～甲ａ ３４＆Ｉ
１３４ （６） 乙ａ＆犯人ａ ２５ＭＰＰ
１３４ （７） 乙ａ ６＆Ｅ
１３ （８） ～甲ａ→乙ａ ４７ＣＰ
１ （９） 犯人ａ→（～甲ａ→乙ａ） ３８ＣＰ
ア （ア） 犯人ａ Ａ
１ ア （イ） ～甲ａ→乙ａ ９アＭＰＰ
１ ア （ウ） 甲ａ∨乙ａ イ含意の定義
１ （エ） 犯人ａ→甲ａ∨乙ａ アウＣＰ
１ （オ） ∀ｘ（犯人ｘ→甲ｘ∨乙ｘ） エＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
果たして、
① ∀ｘ（犯人ｘ→ 甲ｘ∨乙ｘ）
② ∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
① 犯人は、甲か乙である。従って、
② 犯人が、甲（乙以外）でないならば、乙が犯人である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
① ∀ｘ（犯人ｘ→ 甲ｘ∨乙ｘ）
② ∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ）
といふ「論理式」に於ける、
② 乙ｘ＆犯人ｘ
といふ「論理式」自体は、
② ｘは乙であって、ｘは犯人である。
といふ「意味」であるため、
① 乙は犯人である。
② 乙が犯人である。
に於いて、
① であっても、「良い」ことになる。
ｃｆ.
① 乙 is a 犯人。
② 乙 is the 犯人。
然るに、
（08）
① 甲でないならば、乙は犯人である。
② 甲でないならば、乙が犯人である。
に於いて、「普通」は、
① ではなく、
② である。
然るに、
（09）
① 乙は犯人である＝乙は犯人である。
② 乙が犯人である＝乙以外は犯人ではない。
とするならば、
① 甲でないならば、乙は犯人である（乙は犯人である）。
② 甲でないならば、乙が犯人である（乙以外は犯人ではない）。
に於いて、
① であるよりも、
② である方が、「自然」である。
といふ、ことになる。
（09）により、
（10）
① 甲でないならば、乙は犯人である（乙は犯人である）。
② 甲でないならば、乙が犯人である（乙以外は犯人ではない）。
に於いて、
① であるよりも、
② である方が、「自然」である。
といふ「理由」は、
① 乙は犯人である＝乙は犯人である。
② 乙が犯人である＝乙以外は犯人ではない。
であるからである。
といふ風に、考へることが、「可能」である。
（01）
① 象は動物であるが、
① 机は動物ではない。
従って、
（02）
①｛象、机｝であれば、
① 象が動物である。
然るに、
（03）
①｛象、机｝であれば、
② 動物は象である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
①｛象、机｝であれば、
① 象が動物であり、
② 動物は象である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１）動物であるならば、象である。 仮定
２ （２） 象でない。 仮定
３（３）動物である。 仮定
１ ３（４） 象である。 １３肯定肯定式
１２３（５） 象でないが、象である。 ２４連言導入
１２ （６）動物でない。 ３５背理法
１ （７）象でないならば、動物ではない。 ２６条件法
（ⅲ）
１ （１）象でないならば、動物ではない。 仮定
２ （２） 動物である。 仮定
３（３）象でない。 仮定
１ ３（４） 動物でない。 １３肯定肯定式
１２３（５） 動物であるが、動物でない。 ２４連言導入
１２ （６）象でない、ではない。 ３５背理法
１２ （７）象である。 ６二重否定
１ （８）動物であるならば、象である。 ２７条件法
従って、
（05）により、
（06）
② 動物であるならば、象である。
③ 象でないならば、動物でない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（06）により、
（07）
② 動物は、象である。
③ 象以外は、動物でない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
①｛象、机｝であれば、
① 象が動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は、動物でない。
といふ「命題」は、「３つ」とも、「真（本当）」である。
然るに、
（09）
①｛象、机｝ではなく、
④｛象、□｝であれば、
④ □の「正体」は、「不明」である。
従って、
（09）により、
（10）
④｛象、□｝であれば、
④（□はともかく、少なくとも）象は動物である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① 象が動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は、動物でない。
④ 象は動物である。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
①と④ は、「矛盾」しない。
然るに、
（12）
① 象が動物である。
ならば、
④ 象は動物ではない。
といふことは、有り得ない。
従って、
（12）により、
（13）
① 象が動物である。
ならば、
④ 象は動物である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、動物は象である。
③ 象は動物であり、象以外は動物でない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（14）により、
（15）
① 鼻が長い。
② 鼻は長く、長いのは鼻である。
③ 鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（15）により、
（16）
① 象は、鼻が長い。
② 象は、鼻は長く、長いのは鼻である。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（17）
沢田『現代論理学入門』ニ九ぺから―
さらに、日常の言語は人間同士のコミュニケーションということを最大の目的としている以上、できるだけ短い時間の中で多くの情報を伝えることが一つの大切な目標とされる。そこでたとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえばいいかもしれない。しかし日常言語によるコミュニケーションでは、たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである（三上章、日本語の論理、1963年、２５・２６頁）。
従って、
（17）により、
（18）
① 象は鼻＿長い。
に関して、
① 象は鼻＿長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長い｝⇔
① すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（16）（18）により、
（19）
① 象は、鼻が長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（20）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３（６） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１３（７） ～鼻ｃａ→～長ｃ １ＵＥ
１３（８） 鼻ｃａ∨～長ｃ ７含意の定義
１３（９） ～（～鼻ｃａ＆長ｃ） ８ド・モルガンの法則
１３（ア） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆長ｚ） ９ＵＩ
１３（イ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ア量化子の関係
１３（ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ５イ＆Ｉ
１ （エ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３ウＣＰ
１ （オ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ エＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３（６） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４＆Ｅ
１３（７） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆長ｚ） ６量化子の関係
１３（８） ～（～鼻ｃａ＆長ｃ） ７ＵＩ
１３（９） 鼻ｃａ∨～長ｃ ８ド・モルガンの法則
１３（ア） ～鼻ｃａ→～長ｃ ９含意の定義
１３（イ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） アＵＩ
１３（ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５イ＆Ｉ
１ （エ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３ウＣＰ
１ （オ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ エＵＩ
従って、
（21）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（21）により、
（22）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（22）により、
（23）
「二重否定律」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（24）
② 象は、鼻＿長い。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、あるｚは（ｘの鼻ではないが、長い）｝。
とするならば、すなはち、
② 象は、鼻は長く、鼻以外も長い。
とするならば、
② 象は、鼻も長い。
でなければ、ならない。
従って、
（18）（19）（24）により、
（25）
① 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② 象は、鼻も長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（25）により、
（26）
③ 象は、鼻＿長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
であるならば、
① 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
ではないし、
② 象は、鼻も長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝。
でもない。
従って、
（26）により、
（27）
③ 象は、鼻＿長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
の場合は、
③ 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
でなければ、ならない。
従って、
（23）（26）（27）により、
（28）
「番号」を付け直すと、
① 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
② 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ 象は、鼻も長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」が、成立する。