（883）「犯人が甲でないならば、乙が犯人である。」の「述語論理」。

（01）
① 犯人は、甲か乙である。
② 犯人が、甲でないならば、乙が犯人である。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「当然」である。
然るに、
（02）
1 一階述語論理の完全性
トートロジーは証明可能である。これが、一階述語論理の完全性定理とよばれる有名な定理です。
ゲーデルによって証明されましたので、ゲーデルの完全性定理ともよばれています（1 一階述語論理の完全性）。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ（犯人ｘ→　甲ｘ∨乙ｘ）
② ∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが犯人であるならば、ｘは甲であるか、ｘは乙である）。
② すべてのｘについて（ｘが犯人であって、ｘが甲でないならば、ｘは乙であって、ｘは犯人である）。
に於いて、
① ならば、② である。
② ならば、① である。
といふことは、「証明可能」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　　　　　　（１）　∀ｘ（犯人ｘ→甲ｘ∨乙ｘ）　　　　　Ａ
１　　　　　　　（２）　　　　犯人ａ→甲ａ∨乙ａ　　　　　　１ＵＥ
　３　　　　　　（３）　　　　犯人ａ　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　　　　（４）　　　　　　　　甲ａ∨　乙ａ　　　　　２３ＭＰＰ
　　５　　　　　（５）　　　　　　　～甲ａ＆～乙ａ　　　　　Ａ
　　　６　　　　（６）　　　　　　　　甲ａ　　　　　　　　　Ａ
　　５　　　　　（７）　　　　　　　～甲ａ　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　５６　　　　（８）　　　　　　　　甲ａ＆～甲ａ　　　　　６７＆Ｉ
　　　６　　　　（９）　　　　　～（～甲ａ＆～乙ａ）　　　　５８ＲＡＡ
　　　　ア　　　（ア）　　　　　　　　　　　　乙ａ　　　　　Ａ
　　５　　　　　（イ）　　　　　　　　　　　～乙ａ　　　　　５＆Ｅ
　　５　ア　　　（ウ）　　　　　　　　乙ａ＆～乙ａ　　　　　アイ＆Ｉ
　　　　ア　　　（エ）　　　　　～（～甲ａ＆～乙ａ）　　　　５ウＲＡＡ
１３　　　　　　（オ）　　　　　～（～甲ａ＆～乙ａ）　　　　４６９アエ∨Ｅ
　　　　　カ　　（カ）　　　　　　　～甲ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　キ　（キ）　　　　　　　　　　　～乙ａ　　　　　Ａ
　　　　　カキ　（ク）　　　　　　　～甲ａ＆～乙ア　　　　　カキ＆Ｉ
１３　　　カキ　（ケ）　　　　　～（～甲ａ＆～乙ａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　（～甲ａ＆～乙ａ）　　　　オク＆Ｉ
１３　　　カ　　（コ）　　　　　　　　　　～～乙ａ　　　　　キケＲＡＡ
１３　　　カ　　（サ）　　　　　　　　　　　　乙ａ　　　　　コＤＮ
１３　　　　　　（シ）　　　　　　　　～甲ａ→乙ａ　　　　　カサＣＰ
１　　　　　　　（ス）　　　犯人ａ→（～甲ａ→乙ａ）　　　　３シＣＰ
　　　　　　　セ（セ）　　　犯人ａ＆　～甲ａ　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　セ（ソ）　　　犯人ａ　　　　　　　　　　　　　セ＆Ｅ
　　　　　　　セ（タ）　　　　　　　　～甲ａ　　　　　　　　セ＆Ｅ
１　　　　　　セ（チ）　　　　　　　　～甲ａ→乙ａ　　　　　スソＭＰＰ
１　　　　　　セ（ツ）　　　　　　　　　　　　乙ａ　　　　　タチＭＰＰ
１　　　　　　セ（テ）　　　　　　　　乙ａ＆犯人ａ　　　　　ソツ＆Ｉ
１　　　　　　　（ト）　　　犯人ａ＆～甲ａ→乙ａ＆犯人ａ　　セテＣＰ
１　　　　　　　（ナ）∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ）　トＵＩ
（ⅱ）
１　　　　　　　（１）∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ）　Ａ
１　　　　　　　（２）　　　犯人ａ＆～甲ａ→乙ａ＆犯人ａ　　１ＵＥ
　３　　　　　　（３）　　　犯人ａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　　　（４）　　　　　　　～甲ａ　　　　　　　　　Ａ
　３４　　　　　（５）　　　犯人ａ＆～甲ａ　　　　　　　　　３４＆Ｉ
１３４　　　　　（６）　　　　　　　　　　　乙ａ＆犯人ａ　　２５ＭＰＰ
１３４　　　　　（７）　　　　　　　　　　　乙ａ　　　　　　６＆Ｅ
１３　　　　　　（８）　　　　　　　～甲ａ→乙ａ　　　　　　４７ＣＰ
１　　　　　　　（９）　　犯人ａ→（～甲ａ→乙ａ）　　　　　３８ＣＰ
　　　ア　　　　（ア）　　犯人ａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　ア　　　　（イ）　　　　　　　～甲ａ→乙ａ　　　　　　９アＭＰＰ
１　　ア　　　　（ウ）　　　　　　　　甲ａ∨乙ａ　　　　　　イ含意の定義
１　　　　　　　（エ）　　　　犯人ａ→甲ａ∨乙ａ　　　　　　アウＣＰ
１　　　　　　　（オ）　∀ｘ（犯人ｘ→甲ｘ∨乙ｘ）　　　　　エＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
果たして、
① ∀ｘ（犯人ｘ→　甲ｘ∨乙ｘ）
② ∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
① 犯人は、甲か乙である。従って、
② 犯人が、甲（乙以外）でないならば、乙が犯人である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
① ∀ｘ（犯人ｘ→　甲ｘ∨乙ｘ）
② ∀ｘ（犯人ｘ＆～甲ｘ→乙ｘ＆犯人ｘ）
といふ「論理式」に於ける、
② 乙ｘ＆犯人ｘ
といふ「論理式」自体は、
② ｘは乙であって、ｘは犯人である。
といふ「意味」であるため、
① 乙は犯人である。
② 乙が犯人である。
に於いて、
① であっても、「良い」ことになる。
ｃｆ.
① 乙 is a 犯人。
② 乙 is the 犯人。
然るに、
（08）
① 甲でないならば、乙は犯人である。
② 甲でないならば、乙が犯人である。
に於いて、「普通」は、
① ではなく、
② である。
然るに、
（09）
① 乙は犯人である＝乙は犯人である。
② 乙が犯人である＝乙以外は犯人ではない。
とするならば、
① 甲でないならば、乙は犯人である（乙は犯人である）。
② 甲でないならば、乙が犯人である（乙以外は犯人ではない）。
に於いて、
① であるよりも、
② である方が、「自然」である。
といふ、ことになる。
（09）により、
（10）
① 甲でないならば、乙は犯人である（乙は犯人である）。
② 甲でないならば、乙が犯人である（乙以外は犯人ではない）。
に於いて、
① であるよりも、
② である方が、「自然」である。
といふ「理由」は、
① 乙は犯人である＝乙は犯人である。
② 乙が犯人である＝乙以外は犯人ではない。
であるからである。
といふ風に、考へることが、「可能」である。