（842）∃ｘ（～偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）

（01）
１１２　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　６ＵＥ
　　６（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ
１　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５６９∨Ｅ
　― 中略、―
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）は妥当ではない。
　― 中略、―、例へば、
「すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である」が、 「すべての正の整数が偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である」というわけではない。
この場合には、
この連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を証明しようとする自然な試みをさしとめるのは、ＵＩに対する制限である。
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａを（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。しかし（３）は ａ を含む故、ここで、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる。この段階が許されるとするならば、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を ∨Ｉ によって結論し、つぎに Ｇａ からも同じことを結論することができるであろう。
　 　　　　　そして ∨Ｅ によって不当な連式が作り出されるであろう。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５・１５６頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（02）により、
（03）
「二重否定律」により、
① ～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～～Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（03）により、
（04）
「含意の定義」により、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（04）により、
（05）
「量化子の関係」により、
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１含意の定義
　３　（３）～∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　（４）∀ｘ～（～Ｆｘ）　　　　　　　　３量化子の関係
　３　（５）　　　～～Ｆａ　　　　　　　　　４ＵＥ
　３　（６）　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
　３　（７）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　６含意の定義
　３　（８）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　７ＵＩ
　　９（９）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　９（ア）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　９ＵＥ
　　９（イ）　　　　　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　ア∨Ｉ
　　９（ウ）　　　　　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　イ含意の定義
　　９（エ）　　　　　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　ウＵＩ
１　　（オ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　２３８９エ∨Ｅ
従って、
（06）により、
（07）
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、果たして、
① ならば、② である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　２含意の定義
　４　（４）　　　～～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）∀ｘ（～～Ｆｘ）　　　　　　　　４ＵＩ（はマチガイである。）
　４　（６）～∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　５量化子の関係
　４　（７）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　８（９）　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　　　　　８ＵＩ（はマチガイである。）
　　８（ア）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　９∨Ｉ
１　　（イ）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１４７８ア∨Ｅ
１　　（ウ）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　イ含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、果たして、
② ならば、① ではない。
従って、
（05）（07）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
果たして、
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）
（ｂ）∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての正の整数は偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である。
（ｂ）∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある正の数が偶数でないならば、　　　　　すべての正の整数は奇数である。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） であって、尚且つ、
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である。
（ｂ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数でないならば、　　奇数である。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
然るに、
（13）
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である。
（ｂ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数でないならば、　　奇数である。
といふ「命題」は、「真（本当）」であるが、言ふ迄もなく、
（ａ）∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての正の整数は偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である。
（ｂ）∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある正の数が偶数でないならば、　　　　　すべての正の整数は奇数である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」である。