（01）
一昨昨日にも示した通り、
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） （（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １含意の定義
１ （３） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ２含意の定義
１ （４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ ３含意の定義
５ （５）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ） Ａ
５ （６）～～（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
５ （７） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ ６ＤＮ
５ （８） ～Ｐ＆（～Ｐ∨Ｑ） ７交換法則
５ （９）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ８分配法則
５ （ア） ～Ｐ ∨（～Ｐ∨Ｑ） ９冪等律
５ （イ） （～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ ア∨Ｉ
ウ（エ） Ｐ Ａ
ウ（オ） （～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
１ （カ） （～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ ４５イウオ∨Ｅ
１ （キ） Ｐ∨（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）） カ交換法則
１ （ク） Ｐ∨（～Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ １結合法則
１ （ケ） Ｐ∨（～Ｐ）∨Ｑ ク冪等律
１ （コ）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ケ結合法則
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ Ａ
１ （２） Ｐ∨（～Ｐ）∨Ｑ １結合法則
１ （３） Ｐ∨（～Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ２冪等律
１ （４）（Ｐ∨～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
１ （５） Ｐ∨（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）） １結合法則
１ （６）（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ ２交換法則
７ （７） ～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
８ （８） ～Ｐ Ａ
８ （９） ～Ｐ＆～Ｐ ８冪等律
８ （ア）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ９∨Ｉ
イ （イ） （～Ｐ∨Ｑ） Ａ
イ （ウ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） イ∨Ｉ
７ （エ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ７８アイウ∨Ｅ
７ （オ） ～Ｐ＆（～Ｐ∨Ｑ） エ分配法則
７ （カ） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ オ交換法則
７ （キ） ～～（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ カＤＮ
７ （ク） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨～～Ｐ） キ、ド・モルガンの法則
７ （ケ） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ） クＤＮ
７ （コ） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ ケ∨Ｉ
サ（サ） Ｐ Ａ
サ（シ） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ サ∨Ｉ
１ （ス） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ ６７コサシ∨Ｅ
１ （セ） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ス含意の定義
１ （ソ） （（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→Ｐ セ含意の定義
１ （タ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ソ含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（排中律）か、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね（@gyu-don 2019年12月11日に更新）。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① パースの法則。
②（排中律）か、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） （（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １含意の定義
１ （３） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ２含意の定義
１ （４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ ３含意の定義
５ （５）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ） Ａ
５ （６）～～（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
５ （７） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ ６ＤＮ
５ （８） ～Ｐ＆（～Ｐ∨Ｑ） ７交換法則
５ （９）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ８分配法則
５ （ア） ～Ｐ ∨（～Ｐ∨Ｑ） ９冪等律
５ （イ） （～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ ア∨Ｉ
ウ（エ） Ｐ Ａ
ウ（オ） （～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
１ （カ） （～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ ４５イウオ∨Ｅ
１ （キ） Ｐ∨（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）） カ交換法則
１ （ク） Ｐ∨（～Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ １結合法則
１ （ケ） Ｐ∨（～Ｐ）∨Ｑ ク冪等律
１ （コ）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ケ結合法則
といふやうな「（分配法則を使った）計算」は、「機械的」であって、「自然演繹的」ではない。
ｃｆ.
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
自然演繹（しぜんえんえき、英: Natural deduction）は、「自然な」ものとしての論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法であり、哲学的論理学の用語である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
３ （３） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （４） ～（～Ｐ∨Ｑ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
６ （６） Ｐ Ａ
６ （７） ～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
２ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２３５６７∨Ｅ
２ （９） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ８含意の定義
２ （ア） （ Ｐ→Ｑ）→Ｐ ９含意の定義
１２ （イ） Ｐ １アＭＰＰ
１ （ウ） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ２イＣＰ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
１ エ （オ）～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） ウエＭＴＴ
１ エ （カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ オ、ド・モルガンの法則
１ エ （キ） ～（Ｐ＆～Ｑ） カ＆Ｅ
１ エ （ク） ～Ｐ∨ Ｑ キ、ド・モルガンの法則
１ （ケ）～Ｐ→（～Ｐ∨Ｑ） エクＣＰ
１ （コ） Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ） ケ含意の定義
１ （サ）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ コ結合法則
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ Ａ
１ （２） Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ） １結合法則
１ （３） ～Ｐ→（～Ｐ∨Ｑ） ２含意の定義
４ （４） ～Ｐ Ａ
１４ （５） ～Ｐ∨Ｑ ３４ＭＰＰ
１４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ５ド・モルガンの法則
１４ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） ７ド・モルガンの法則
１ （９） ～Ｐ→～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） ４８ＣＰ
ア （ア） （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） Ａ
ア （イ） ～～（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ） アＤＮ
１ ア （エ）～～Ｐ ９イＭＴＴ
１ ア （オ） Ｐ エＤＮ
１ （カ）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ アオＣＰ
キ （キ）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ Ａ
ク （ク）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
ク （ケ） （Ｐ＆～Ｑ） ク、ド・モルガンの法則
ク （コ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ケ∨Ｉ
サ （サ） Ｐ Ａ
サ （シ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ サ∨Ｉ
キ （ス） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ キクコサシ∨Ｅ
１ キ （セ） Ｐ カスＭＰＰ
１ （ソ）（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ キセＣＰ
セ（セ） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
セ（ソ） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ セ含意の定義
セ（タ） ～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ソ含意の定義
１ セ（チ） Ｐ
１ （ツ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ セチＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）（04）（08）により、
（09）
① パースの法則。
②（排中律）か、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
パースの法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｐ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２（５） Ｐ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ３６ＲＡＡ
１ （８） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆
３ （６）～（Ｐ＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｐ） ２７ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｐ） １３６７ア∨
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｐ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｐ ウエ＆Ｉ
１ ウ （カ） ～～Ｐ エオＲＡＡ
１ ウ （キ） Ｐ カＤＮ
１ （ク） Ｐ→ Ｐ ウキＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
「含意の定義」により、
① Ｐ→Ｐ は「同一律」。
② ～Ｐ∨Ｐ は「排中律」。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
「パースの法則」は、 「含意」と呼ばれるただひとつの「結合子（→）」を持つ体系における「排中律」であると考えることもできる。
といふのであれば、
「同一律」こそが、正に「含意」と呼ばれるただひとつの「結合子（→）」を持つ体系における「排中律」である。
（14）
パースの法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。
といふ「説明」は、私には、「全く、理解できない」。
（15）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→～Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
然るに、
（15）により、
（16）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、要するに、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと）Ｐなので）Ｐである。
②（（Ｐならば、Ｑでなからうと、Ｑであらうと）Ｐなので）Ｐである。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（04）（16）により、
（17）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於ける、
① だけが、「パースの法則」であると、思ってしまふが故に、
①『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
といふことになる。
従って、
（17）により、
（18）
「パースの法則」は、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」ではなく、
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「命題（のペア）」であると、「理解」すべきである。