―「先程の記事（令和０２年０７月０６日）の記事」を書き直します。―
（01）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね（@gyu-don 2019年12月11日に更新）。
然るに、
（02）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ３６ＲＡＡ
１ （８） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２７ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウ （カ） ～～Ｑ エオＲＡＡ
１ ウ （キ） Ｑ カＤＮ
１ （ク） Ｐ→ Ｑ ウキＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② であって、「この等式」を、「含意の定義」といふ。
（04）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（ Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
① ～（Ｐ∨ Ｑ）
② ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、「この等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
（06）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ∨Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１４ （６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ５∨Ｉ
７（７） Ｒ Ａ
１ ７（８） Ｐ＆Ｒ ２７＆Ｉ
１ ７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） Ａ
２ （２）（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
２ （６） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ３５＆Ｉ
７（７） （Ｐ＆Ｒ） Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） Ｒ ７＆Ｅ
７（ア） Ｑ∨Ｒ ９∨Ｉ
７（イ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） １２６７イＶＥ
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、「この等式」を、「分配法則」といふ。
（08）
（ⅰ）
１（１）Ｐ＆Ｐ １
１（２） Ｐ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｐ→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ １
１（２）Ｐ＆Ｐ １１＆Ｉ
１（３）Ｐ→Ｐ＆Ｐ １２ＣＰ
（ⅲ）
１ （１）Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １２２３３∨Ｅ
（５）Ｐ∨Ｐ→Ｐ １４ＣＰ
（ⅳ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
（３）Ｐ→Ｐ∨Ｐ １２ＣＰ
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ＆Ｐ→Ｐ
② Ｐ→Ｐ＆Ｐ
③ Ｐ∨Ｐ→Ｐ
④ Ｐ→Ｐ∨Ｐ
に於いて、
①＝② であり、
③＝④ であり、「これらの等式」を、「冪等律」といふ。
然るに、
（10）
「結合法則」と、
「交換法則」は、
「命題論理」に於いても、「正しい」。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） （（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １含意の定義
１ （３） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ２含意の定義
１ （４）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ ３含意の定義
５ （５）～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ） Ａ
５ （６）～～（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ ５ド・モルガンの法則
５ （７） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ ６ＤＮ
５ （８） ～Ｐ＆（～Ｐ∨Ｑ） ７交換法則
５ （９）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ８分配法則
５ （ア） ～Ｐ ∨（～Ｐ∨Ｑ） ９冪等律
５ （イ） （～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ ア∨Ｉ
ウ（エ） Ｐ Ａ
ウ（オ） （～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
１ （カ） （～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ ４５イウオ∨Ｅ
１ （キ） Ｐ∨（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）） カ交換法則
１ （ク） Ｐ∨（～Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ １結合法則
１ （ケ） Ｐ∨（～Ｐ）∨Ｑ ク冪等律
１ （コ）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ケ結合法則
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ Ａ
１ （２） Ｐ∨（～Ｐ）∨Ｑ １結合法則
１ （３） Ｐ∨（～Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ２冪等律
１ （４）（Ｐ∨～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
１ （５） Ｐ∨（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ）） １結合法則
１ （６）（～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ））∨Ｐ ２交換法則
７ （７） ～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
８ （８） ～Ｐ Ａ
８ （９） ～Ｐ＆～Ｐ ８冪等律
８ （ア）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ９∨Ｉ
イ （イ） （～Ｐ∨Ｑ） Ａ
イ （ウ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） イ∨Ｉ
７ （エ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ∨Ｑ） ７８アイウ∨Ｅ
７ （オ） ～Ｐ＆（～Ｐ∨Ｑ） エ分配法則
７ （カ） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ オ交換法則
７ （キ） ～～（～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ カＤＮ
７ （ク） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨～～Ｐ） キ、ド・モルガンの法則
７ （ケ） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ） クＤＮ
７ （コ） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ ケ∨Ｉ
サ（サ） Ｐ Ａ
サ（シ） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ サ∨Ｉ
１ （ス） ～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨Ｐ ６７コサシ∨Ｅ
１ （セ） （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ ス含意の定義
１ （ソ） （（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ）→Ｐ セ含意の定義
１ （タ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ソ含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
②（Ｐ∨～Ｐ）
は、「排中律」である。
従って、
（01）（12）により、
（14）
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（15）
１ （１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２） ～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
３ （３） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
４ （５） Ｐ∨～Ｐ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｐ ４６ＲＡＡ
８（８） ～Ｐ Ａ
８（９） Ｐ∨～Ｐ ８∨Ｉ
３ ８（ア） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） ３９＆Ｉ
３ （イ） ～～Ｐ ８アＲＡＡ
３ （ウ） Ｐ イＤＮ
３ （オ） Ｐ＆～Ｐ ７ウ＆Ｉ
３ （カ） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） ２オ＆Ｉ
（キ）～～（Ｐ∨～Ｐ） ３カＲＡＡ
（ク） （Ｐ∨～Ｐ） キＤＮ
従って、
（15）により、
（16）
① ～（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾律」であって、「恒真式（トートロジー）」である。
② （Ｐ∨～Ｐ）は「排中律」であって、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（17）
②（恒真式）∨Ｑ
は、「全体としても、恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）（14）（17）により、
（18）
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、すなはち、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、「両辺」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（19）
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「パースの法則は、（排中律）を含んでゐる。」といふことに、他ならない。
然るに、
（20）
②（排中律）∨Ｑ
は、「Ｑの真偽」に拘らず、「恒真式（トートロジー）」であるからこそ、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（21）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→～Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（21）により、
（22）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「命題」、すなはち、
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「命題」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（23）
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「命題」の、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと）Ｐなので）Ｐである。
といふことに、他ならない。
従って、
（18）（20）（23）により、
（24）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと）Ｐなので）Ｐである。
といふ「当り前」のことを、述べてゐるに過ぎない。
然るに、
（25）
②（排中律）∨Ｑ
③（排中律）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（18）（25）により、
（26）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ
③（Ｐ∨～Ｐ）
に於いて、すなはち、
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ
③（排中律）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（27）
（ⅲ）
１（１）Ｐ∨～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １交換法則
１（３） Ｐ→Ｐ ２含意の定義
（ⅳ）
１（１） Ｐ→Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｐ １含意の定義
従って、
（27）により、
（28）
③ Ｐ∨～Ｐ
④ Ｐ→ Ｐ
に於いて、すなはち、
③ 排中律
④ 同一律
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（26）（27）（28）により、
（29）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ
③（Ｐ∨～Ｐ）
④（Ｐ→ Ｐ）
に於いて、すなはち、
① パースの法則
②（排中律）∨Ｑ
③（排中律）
④（同一律）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（01）（24）（29）により、
（30）
排中律と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
といふのであれば、
同一律と等価な命題のひとつで、変ではないものとして、パースの法則があります。
といふ、ことになる。