（01）
誤謬の最も直接的な形は、次の「証明」に見られる。
１（１） Ｆａ Ａ
１（２）∀ｘＦｘ １ＵＩ
たとえば、Ｆ を奇数であると解釈し、数の世界において、任意に奇数、たとえば３を選ぶとしよう。その結果は Ｆａ は真となる。しかしここから、すべての数は奇数であるということ―これは偽であるが―明らかに帰結しない。（１）から（２）への進みは、制限によってはばまれる。なぜなら、（１）はそれ自身に依存し、そしてそのなかには「ａ」が現われるからである。
（E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１４０頁）
然るに、
（02）
Ｆ＝奇数
｛すべての数｝＝｛１，２，３｝
であるとして、
① ∀ｘＦｘ
②｛Ｆ１＆Ｆ２＆Ｆ３｝
③｛すべての整数は、奇数である。｝
④｛１は奇数であって、２は奇数であって、３は奇数である。｝
に於いて、
①＝②＝③＝④である。
然るに、
（03）
④｛１は奇数であって、２は奇数であって、３は奇数である。｝
⑤｛１は奇数であるが、２は偶数であって、３は奇数である。｝
に於いて、
④ は「偽（ウソ）」であって、
⑤ は「真（本当）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
１（１） Ｆａ Ａ
１（２）∀ｘＦｘ １ＵＩ
といふ「計算」は、確かに、「誤謬（fallacy）」である。
然るに、
（05）
１ （１） ～（Ｆａ∨～Ｆａ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ∨～Ｆａ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
（Ｆａ∨～Ｆａ） １２＆Ｉ
１ （５） ～Ｆａ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｆａ∨～Ｆａ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
（Ｆａ∨～Ｆａ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｆａ∨～Ｆａ） １７ＲＡＡ
（９） （Ｆａ∨～Ｆａ） ８ＤＮ
（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ） ９ＵＩ
然るに、
（06）
Ｆ＝奇数
｛すべての数｝＝｛１，２，３｝
であるとして、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）
②｛すべての整数は、奇数か、偶数である。｝
③｛（Ｆ１∨～Ｆ１）＆（Ｆ２∨～Ｆ２）＆（Ｆ３∨～Ｆ３）｝
④｛（１は奇数か、偶数であり）、（２は奇数か、偶数であり）、（３は奇数か、偶数である）。｝
に於いて、
①＝②＝③＝④である。
然るに、
（07）
③（１は奇数か、または、偶数である。）は「真（本当）」であって、
③（２は奇数か、または、偶数である。）は「真（本当）」であって、
③（３は奇数か、または、偶数である。）は「真（本当）」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
１ （１） ～（Ｆａ∨～Ｆａ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ∨～Ｆａ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
（Ｆａ∨～Ｆａ） １２＆Ｉ
１ （５） ～Ｆａ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｆａ∨～Ｆａ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
（Ｆａ∨～Ｆａ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｆａ∨～Ｆａ） １７ＲＡＡ
（９） （Ｆａ∨～Ｆａ） ８ＤＮ
（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ） ９ＵＩ
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（09）
１（１） Ｆａ Ａ
１（２）∀ｘＦｘ １ＵＩ
の場合は、
（１）の「左」には、１があり、（１）には、Ｆａがあるため、（１）にはａがある。
（２）の「左」には、１があり、（１）には、Ｆａがあるため、（１）にはａがある。
ものの、これに対して、
（９） （Ｆａ∨～Ｆａ） ８ＤＮ
（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ） ９ＵＩ
の場合は、
（９）の「左」には、「何も無い」し、
（ア）の「左」にも、「何も無い」。
従って、
（01）（09）により、
（10）
１（１） Ｆａ Ａ
１（２）∀ｘＦｘ １ＵＩ
は「反則」であるが、
（９） （Ｆａ∨～Ｆａ） ８ＤＮ
（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ） ９ＵＩ
は「反則」ではない。
然るに、
（11）
因みに言ふと、
（ⅰ）
１（１） Ｆａ Ａ
１（２）∃ｘＦｘ １ＥＩ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
（ⅲ）
１（１）∃ｘＦｘ Ａ
１（２） Ｆａ Ａ
（ⅳ）
１ （１） Ｆａ Ａ
２ （２） ∃ｘＧｘ Ａ
３（３） Ｇａ Ａ
１ ３（４） Ｆａ＆Ｇａ １３＆Ｉ
１ ３（５）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ３ＥＩ
１２ （６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ２３５ＥＥ
に於いて、
（ⅰ）は「正しい」。
（ⅱ）も「正しい」。
（ⅲ）は「正しくない」。
（ⅳ）も「正しくない」。
（01）
（ⅰ）
１ （１） 偶ａ＆（ａ＝ｂ） Ａ
１ （２） 偶ａ １＆Ｅ
１ （３） ａ＝ｂ １＆Ｅ
１ （４） 偶ｂ ２３＝Ｅ
（５） 偶ａ＆（ａ＝ｂ）→偶ｂ １４ＣＰ
６ （６） ～偶ｂ Ａ
６ （７） ～［偶ａ＆（ａ＝ｂ）］ ５６ＭＴＴ
６ （８） ～偶ａ∨（ａ≠ｂ） ７ド・モルガンの法則
６ （９） 偶ａ→（ａ≠ｂ） ８含意の定義
（ア）～偶ｂ→［偶ａ→（ａ≠ｂ）］ ６９ＣＰ
イ（イ） 偶ａ＆～偶ｂ Ａ
イ（ウ）～偶ｂ イ＆Ｅ
イ（エ） ［偶ａ→（ａ≠ｂ）］ アウＭＰＰ
イ（オ） 偶ａ イ＆Ｅ
イ（カ） （ａ≠ｂ） エオＭＰＰ
（キ） 偶ａ＆～偶ｂ→（ａ≠ｂ） イカＣＰ
（ク） ∀ｙ｛偶ａ＆～偶ｙ→（ａ≠ｙ）｝ キＵＩ
（ケ）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝ クＵＩ
（ⅱ）
（１）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝ ＴＩ（定理導入の規則）
（２） ∀ｙ｛偶ａ＆～偶ｙ→（ａ≠ｙ）｝ １ＵＥ
（３） 偶ａ＆～偶ｂ→（ａ≠ｂ） ２ＵＥ
４ （４） ａ＝ｂ Ａ
４ （５） ～（ａ≠ｂ） ４ＤＮ
４ （６） ～（偶ａ＆～偶ｂ） ３５ＭＴＴ
４ （７） ～偶ａ∨ 偶ｂ ６ド・モルガンの法則
４ （８） 偶ａ→ 偶ｂ ７含意の定義
（９） （ａ＝ｂ）→（偶ａ→偶ｂ） ４８ＣＰ
ア（ア） 偶ａ＆（ａ＝ｂ） Ａ
ア（イ） （ａ＝ｂ） ア＆Ｅ
ア（ウ） 偶ａ→偶ｂ ９イＭＰＰ
ア（エ） 偶ａ ア＆Ｅ
ア（オ） 偶ｂ ウエＭＰＰ
（カ） 偶ａ＆（ａ＝ｂ）→偶ｂ アオＣＰ
（キ） ∀ｙ｛偶ａ＆（ａ＝ｙ）→偶ｙ｝ カＵＩ
（ク）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆（ｘ＝ｙ）→偶ｙ｝ キＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝
② ∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆（ｘ＝ｙ）→ 偶ｙ｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとｙについて｛ｘが偶数であって、ｙが偶数でないならば、ｘとｙは「同じ数」ではない｝。
② すべてのｘとｙについて｛ｘが偶数であって、ｘとｙが「同じ数」であるならば、ｙも偶数である｝。
といふ「述語論理式」は、「恒真（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ｘが偶数であって、ｙが偶数でないならば、ｘとｙは「異なる数」である。
② ｘが偶数であって、ｘとｙが「同じ数」であるならば、ｙも偶数である。
といふ「常識」は、「述語論理式」としても、「正しい」。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛偶ａ＆～偶ｙ→（ａ≠ｙ）｝ １ＵＥ
１ （３） 偶ａ＆～偶ｂ→（ａ≠ｂ） １ＵＥ
４（４） 偶ａ＆（ａ＝ｂ） Ａ
４（５） 偶ａ ４＆Ｅ
４（５） （ａ＝ｂ） ４＆Ｅ
４（６） ～（ａ≠ｂ） ５ＤＮ
１４（７） ～（偶ａ＆～偶ｂ） ３６ＭＴＴ
１４（８） ～偶ａ∨ 偶ｂ ７ド・モルガンの法則
１４（９） 偶ａ→ 偶ｂ ８含意の定義
１４（ア） 偶ｂ ５９ＭＰＰ
１ （イ） 偶ａ＆（ａ＝ｂ）→偶ｂ ４アＣＰ
１ （ウ） ∀ｙ｛偶ａ＆（ａ＝ｙ）→偶ｙ｝ イＵＩ
１ （エ）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆（ｘ＝ｙ）→偶ｙ｝ ウＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆（ｘ＝ｙ）→偶ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛偶ａ＆（ａ＝ｙ）→偶ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） 偶ａ＆（ａ＝ｂ）→偶ｂ １ＵＥ
４（４） 偶ａ＆～偶ｂ Ａ
４（５） ～偶ｂ ４＆Ｅ
１４（６） ～｛偶ａ＆（ａ＝ｂ）｝ ３５ＭＴＴ
１４（７） ～偶ａ∨（ａ≠ｂ） ６ド・モルガンの法則
１４（８） 偶ａ→（ａ≠ｂ） ７含意の定義
４（９） 偶ａ ４＆Ｅ
１４（ア） （ａ≠ｂ） ８６ＭＰＰ
１ （イ） 偶ａ＆～偶ｂ→（ａ≠ｂ） ４アＣＰ
１ （ウ） ∀ｙ｛偶ａ＆～偶ｙ→（ａ≠ｙ）｝ イＵＩ
１ （エ）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝ ウＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝
② ∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆（ｘ＝ｙ）→ 偶ｙ｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝
② ∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆（ｘ＝ｙ）→ 偶ｙ｝
といふ「命題」、すなはち、
① ｘが偶数であって、ｙが偶数でないならば、ｘとｙは「異なる数」である。
② ｘが偶数であって、ｘとｙが「同じ数」であるならば、ｙも偶数である。
といふ「命題」は、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（07）
ゴットロープ・フレーゲ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
フレーゲは、古代ギリシア（ギリシア哲学）のアリストテレス以来の最大の論理学者といわれる。革命的な『概念記法』(Begriffsschrift) は1879年に出版され、アリストテレス以来2,000年変わらずに続いていた伝統論理学を一掃して論理学の新時代を切り開いた。今日の数学で定着している∀（任意の）や∃（存在する）のような量化はこのフレーゲの業績に基づいている。フレーゲは命題論理と述語論理の公理化を最初に行った人物であり、特に述語論理はそれ自体がフレーゲの発明である（実際には概念記法は高階論理の体系であり、ラムダ計算の祖ともいえる極めて先駆的なものである）。
従って、
（01）（04）（07）により、
（08）
① ｘが偶数であって、ｙが偶数でないならば、ｘとｙは「異なる数」である。
② ｘが偶数であって、ｘとｙが「同じ数」であるならば、ｙも偶数である。
といふ「命題」は、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② であるものの、このことは、「概念記法（1879）」が書かれる以前には、「論理学的」には、「証明不能」であった。
といふことになる。
（09）
（ⅰ）
ｘが偶数であって、ｙが偶数でないならば、
ｘ＝２ａ（偶数）
ｙ＝２ｂ－１（奇数）
に於いて、ａは整数、ｂも整数。
従って、
（ⅰ）により、
（ⅱ）
ｘ＝ｙ ならば、そのときに限って、
２ａ＝２ｂ－１
然るに、
（ⅲ）
２ａ＝２ｂ－１
２ａ－２ｂ＝－１
２（ａ－ｂ）＝－１
２（ａ－ｂ）＝偶数＝－１
然るに、
（ⅳ）
－１ は、偶数ではない。
従って、
（ⅰ）～（ⅳ）により、
（ⅴ）
「背理法（ＲＡＡ）」により、
ｘ＝２ａ（偶数）
ｙ＝２ｂ－１（偶数でない）
に於いて、
ｘ＝ｙ ではない。
従って、
（ⅰ）（ⅴ）により、
（ⅵ）
ｘが偶数であって、ｙが偶数でないならば、
ｘ＝ｙ ではない。
然るに、
（01）～（09）により、
（10）
「（ⅰ）～（ⅵ）」に於ける「証明」と、
１ （１） 偶ａ＆（ａ＝ｂ） Ａ
１ （２） 偶ａ １＆Ｅ
１ （３） ａ＝ｂ １＆Ｅ
１ （４） 偶ｂ ２３＝Ｅ
（５） 偶ａ＆（ａ＝ｂ）→偶ｂ １４ＣＰ
６ （６） ～偶ｂ Ａ
６ （７） ～［偶ａ＆（ａ＝ｂ）］ ５６ＭＴＴ
６ （８） ～偶ａ∨（ａ≠ｂ） ７ド・モルガンの法則
６ （９） 偶ａ→（ａ≠ｂ） ８含意の定義
（ア）～偶ｂ→［偶ａ→（ａ≠ｂ）］ ６９ＣＰ
イ（イ） 偶ａ＆～偶ｂ Ａ
イ（ウ）～偶ｂ イ＆Ｅ
イ（エ） ［偶ａ→（ａ≠ｂ）］ アウＭＰＰ
イ（オ） 偶ａ イ＆Ｅ
イ（カ） （ａ≠ｂ） エオＭＰＰ
（キ） 偶ａ＆～偶ｂ→（ａ≠ｂ） イカＣＰ
（ク） ∀ｙ｛偶ａ＆～偶ｙ→（ａ≠ｙ）｝ キＵＩ
（ケ）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝ クＵＩ
於ける「証明」は、「全く、似てゐない」。
従って、
（07）（10）により、
（11）
「記号論理学」を始めたのは、数学者であったとしても、「数学の証明」と、「論理学の証明」は、「殆ど、似てゐない」。
然るに、
（12）
その一方で、
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある（ウィキペディア）。
との、ことである。