(01)
たとえ名辞が三つに限られていても、ヴェン図形では処理できない推論がある。
たとえば、以下の推論を考えよう。
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
結合子については、われわれの推論の方法をすでに習得している。
結合子で結ばれた命題については、ヴェン図で処理できるだろう。
しかし、この二つ混ざった命題については、われわれはどう処理してよいのかまだわからないのである。
われわれは本格的な述語論理へすすまなければならない。
(昭和堂入門選書25、論理学基礎、1994年、114頁)
然るに、
(02)
「昭和堂入門選書25、論理学基礎」には、
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
に対する、「述語論理」よる「証明(解答)」が、示されてゐない。
加へて、
(03)
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とすると、私には、「証明(解答)」が書けない。
従って、
(04)
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
といふ「第一の前提」に関しては、
特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とはせずに、
全称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
としたいものの、その場合、「証明(解答)」は、次(05)の通りとなる。
すなはち、
(05)
論理=論理学の問題である。
容易=易しい。
学生=受講者である。
単位=論理学の単位がもらえる。
であるとして、
1 (1) ∀x{論理x&容易x→∀y(学生y→単位yx)} A
2 (2) ∃y(学生y&~単位ya) A
1 (3) 論理a&容易a→∀y(学生y→単位ya) 1UE
4 (4) 学生b&~単位ba A
5(5) 論理a&容易a A
1 5(6) ∀y(学生y→単位ya) 35MPP
1 5(7) 学生b→単位ba 6UE
4 (8) 学生b 4&E
1 45(9) 単位ba 78MPP
1 45(ア) ~単位ba 4&E
1 45(イ) ~単位ba&単位ba 9ア&I
1 4 (ウ) ~(論理a&容易a) 5イRAA
1 4 (エ) ~論理a∨~容易a ウ、ド・モルガンの法則
1 4 (オ) 論理a→~容易a エ含意の定義
1 4 (カ) ∀x(論理x→~容易x) オUI
12 (キ) ∀x(論理x→~容易x) 24カEE
といふ風に、書くことが出来る(はずである?)。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
もし論理学の問題がやさしければ、すべての学生は単位がもらえる。
しかし、ある学生は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
といふ「推論」は、正しい(はずである?)。
(01)
他方、ヴェン図は、三段論法の枠にはまらない推論にも使える。
たとえば、次の推論を考えてみよう。
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
(昭和堂入門選書25、論理学基礎、1994年、112頁)
然るに、
(02)
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
① すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
といふことは、
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
(05)
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
(06)
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐて、その哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
(07)
③ 嘘つきでない者がゐて、その者はエゴイストである。
といふのであれば、
② あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ、ことになる。
従って、
(01)~(07)により、
(08)
「日本語」で考へる限り、たしかに、
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(09)
1 (1) ∀x(哲学者x→ エゴイストx∨嘘つきx) A
2 (2)~∀x(哲学者x→ 嘘つきx) A
1 (3) 哲学者a→ エゴイストa∨嘘つきa 1UE
2 (4)∃x~(哲学者x→ 嘘つきx) 2量化子の関係
5(5) ~(哲学者a→ 嘘つきa) A
5(6) ~(~哲学者a∨ 嘘つきa) 5含意の定義
5(7) 哲学者a&~嘘つきa 6ド・モルガンの法則
5(8) 哲学者a 7&E
5(9) ~嘘つきa 7&E
1 5(ア) エゴイストa∨嘘つきa 38MPP
1 5(イ) 嘘つきa∨エゴイストa ア交換法則
1 5(ウ) ~~嘘つきa∨エゴイストa イDN
1 5(エ) ~嘘つきa→エゴイストa ウ含意の定義
1 5(オ) エゴイストa 9エMPP
1 5(カ) エゴイストa&~嘘つきa 9オ&I
1 5(キ) ∃x(エゴイストx&~嘘つきx) カEI
12 (ク) ∃x(エゴイストx&~嘘つきx) 45キEE
従って、
(09)により、
(10)
(ⅰ) ∀x(哲学者x→ エゴイストx∨嘘つきx)。然るに、
(ⅱ)~∀x(哲学者x→ 嘘つきx)。 従って、
(ⅲ) ∃x(エゴイストx&~嘘つきx)。
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ)すべてのxについて(xが哲学者であるならば、xはエゴイストであるか、または、xは嘘つきである)。然るに、
(ⅱ)すべてのxについて(xが哲学者であるならば、xは嘘つきである)といふわけではない。従って、
(ⅲ) あるxについて(xはエゴイストであるが、xは嘘つきではない)。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「日本語」で考へても、「述語論理」で「計算」しても、「妥当」である。
然るに、
(12)
法律家、つまり弁護士とか裁判官とか検事などは、
自分たちが論理を得意とすると思っているようです。
(横浜の弁護士のブログ)
従って、
(11)(12)により、
(13)
「弁護士とか裁判官とか検事」などは、
原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来ることが「期待」される。
然るに、
(14)
でも、他分野の学問にそれなりに触れた人にとっては、
法律家が論理を理解しているようには思えないと思います。
むしろ、法律学というのは極めて非論理的なものという印象を抱くのではないでしょうか。
然るに、
(15)
短答式試験の試験科目は、民法、憲法、刑法の計3科目です。
論文式試験の試験科目は、憲法、行政法、民法、商法、民事訴訟法、刑法、刑事訴訟法、選択科目の系8科目です。
といふ風に、「司法試験の試験科目」に「論理学」は無い。
従って、
(13)(14)(15)により、
(16)
大変、「由々しきこと」ではあるものの、恐らくは、ある裁判官は、
原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来るとは、限らない(!?)。
―「昨日(令和6年2月17日)」の「続き」を書きます。―
然るに、
(27)
(ⅰ)
1 (1)(~P∨P)&Q A
1 (2) ~P∨P 1&E
1 (3) Q 1&E
4 (4) ~P A
14 (5) ~P&Q 34&I
14 (6)(~P&Q)∨(P&Q) 5∨I
7(7) P A
7(8) P&Q 37&I
1 7(9)(~P&Q)∨(P&Q) 8∨I
1 (ア)(~P&Q)∨(P&Q) 24679∨E
(ⅱ)
1 (1)(~P&Q)∨(P&Q) A
2 (2) ~P&Q A
2 (3) ~P 2&E
2 (4) Q 2&E
2 (5) ~P∨P 3∨I
2 (6)(~P∨P)&Q 45&I
7(7) P&Q A
7(8) P 7&E
7(9) Q 7&E
7(ア) ~P∨P 8∨I
7(イ) (~P∨P)&Q 9ア&I
1 (ウ)(~P∨P)&Q 1267イ∨E
従って、
(27)により、
(28)
①(~P∨P)&Q
②(~P&Q)∨(P&Q)
に於いて、
①=② である(分配法則)。
然るに、
(29)
①(~P∨P)&Q
②(~P&Q)∨(P&Q)
が「真」であるならば、
① Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
② Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
然るに、
(30)
① Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
② Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
といふことは、要するに、
① Qである。
② Qである。
といふことに、「他ならない」。
従って、
(29)(30)により、
(31)
①(~P∨P)&Q
②(~P&Q)∨(P&Q)
といふ「論理式」は、
① Q
② Q
といふ「命題変数」に「等しい」が、言ふまでもなく、
① Q
② Q
といふ「命題変数」は「恒真式(トートロジー)」ではない。
従って、
(18)(31)により、
(32)
①(~P∨P)∨Q
②(~P∨P)&Q
に於いて、
① は「恒真式(トートロジー)」であるが、
② は「恒真式(トートロジー)」ではない。
(01)
(ⅰ)
1 (1) ~P∨ P A
2 (2) P&~P A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P& P 34&I
3 (6)~(P&~P) 25RAA
7(7) P A
2 (8) ~P 2&E
2 7(9) P&~P 78&I
7(ア)~(P&~P) 29RAA
1 (イ)~(P&~P) 1367ア∨E
(ⅱ)
1 (1) ~(P&~P) A
2 (2) ~(~P∨P) A
3 (3) ~P A
3 (4) ~P∨P 3∨I
23 (5) ~(~P∨P)&
(~P∨P) 24&I
2 (6) ~~P 35RAA
2 (7) P 6DN
8(8) P A
8(9) ~P∨P 8∨I
2 8(ア) ~(~P∨P)&
(~P∨P) 28&I
2 (イ) ~P 8アRAA
2 (ウ) P&~P 7イ&I
12 (エ) ~(P&~P)&
(P&~P) 1ウ&I
1 (オ)~~(~P∨P) 2エRAA
1 (カ) ~P∨P オDN
従って、
(01)により、
(02)
① ~P∨ P
② ~(P&~P)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(03)
(ⅱ)
1 (1) ~(P&~P) A
2 (2) P A
3(3) ~P A
23(4) P&~P 23&I
123(5) ~(P&~P)&
(P&~P) 15&I
12 (6) P 35RAA
12 (7) P 6DN
1 (8) (P→ P) 27CP
(ⅲ)
1 (1) (P→ P) A
2 (2) P&~P A
2 (3) P A
12 (4) P 13MPP
2 (5) ~P 2&E
12 (6) P&~P 45&I
1 (7) ~(P&~P) 26RAA
従って、
(03)により、
(04)
② ~(P&~P)
③ P→ P
に於いて、
②=③ である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
① (~P∨P)は「排中律」。
② ~(P&~P)は「矛盾律」。
③ (P→ P)は「同一律」。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(06)
(ⅰ)
1(1) P A
1(2)~P∨P 1∨I
(ⅱ)
1(1)~P A
1(2)~P∨P 1∨I
従って、
(06)により、
(07)
① P├ ~P∨P
② ~P├ ~P∨P
従って、
(05)(06)(07)により、
(08)
① (~P∨P)は「排中律」であって、「命題変数Pの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
② ~(P&~P)は「矛盾律」であって、「命題変数Pの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
③ (P→ P)は「同一律」であって、「命題変数Pの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
然るに、
(09)
(ⅰ)
1(1) P& Q A
1(2) P 1&E
1(3) ~P∨P 2∨I
1(4)(~P∨P)∨Q 3∨I
(ⅱ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3) ~P∨P 2∨I
1(4)(~P∨P)∨Q 3∨I
(ⅲ)
1(1) ~P& Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) ~P∨P 2∨I
1(4)(~P∨P)∨Q 3∨I
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) ~P∨P 2∨I
1(4)(~P∨P)∨Q 3∨I
従って、
(09)により、
(10)
① P& Q├(~P∨P)∨Q
② P&~Q├(~P∨P)∨Q
③ ~P& Q├(~P∨P)∨Q
④ ~P&~Q├(~P∨P)∨Q
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
① (~P∨P)∨Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
② ~(P&~P)∨Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
③ (P→ P)∨Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
然るに、
(12)
(ⅰ)
1(1)(~P∨P)∨Q A
1(2) ~P∨(P∨Q) 1結合法則
1(3) P→(P∨Q) 2含意の定義
(ⅳ)
1(1) P→(P∨Q) A
1(2) ~P∨(P∨Q) 1含意の定義
1(3)(~P∨P)∨Q 2結合法則
従って、
(12)により、
(13)
①(~P∨P)∨Q
② P→(P∨Q)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(14)
(ⅲ)
1(1)(~P∨P)∨~Q A
1(2) ~P∨P ∨~Q 1結合法則
1(3) ~P∨~Q∨ P 2交換法則
1(4)(~P∨~Q)∨P 3結合法則
1(5)~(P&Q)∨ P 4ド・モルガンの法則
1(6) (P&Q)→ P 5含意の定義
(ⅳ)
1(1) (P&Q)→ P A
1(2)~(P&Q)∨ P 1含意の定義
1(3) ~P∨~Q∨ P 2ド・モルガンの法則
1(4) ~P∨P ∨~Q 3交換法則
1(5)(~P∨P)∨~Q 結合法則
従って、
(14)により、
(15)
③(~P∨P)∨~Q
④ (P&Q)→ P
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(16)
(ⅰ)
1(1) P& Q A
1(2) P 1&E
1(3) ~P∨P 2∨I
1(4)(~P∨P)∨~Q 3∨I
(ⅱ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3) ~P∨P 2∨I
1(4)(~P∨P)∨~Q 3∨I
(ⅲ)
1(1) ~P& Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) ~P∨P 2∨I
1(4)(~P∨P)∨~Q 3∨I
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) ~P∨P 2∨I
1(4)(~P∨P)∨~Q 3∨I
従って、
(16)により、
(17)
① P& Q├(~P∨P)∨~Q
② P&~Q├(~P∨P)∨~Q
③ ~P& Q├(~P∨P)∨~Q
④ ~P&~Q├(~P∨P)∨~Q
従って、
(10)(11)(13)(15)(17)により、
(18)
①(~P∨P)∨ Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
② P→(P∨ Q)は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
③(~P∨P)∨~Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
④ (P&Q)→ P は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
といふ「意味」では、
①=②=③=④ である。
然るに、
(18)により、
(19)
①(~P∨P)∨ Q
③(~P∨P)∨~Q
に於いて、
① は、「 Q」であるが、
③ は、「~Q」であるため、
①=③ ではない。
従って、
(13)(15)(19)により、
(20)
②「選言導入(∨I)」である所の、 P→(P∨Q)は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」であって、
④「連言除去(&E)」である所の、(P&Q)→P も、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」であるものの、
②=④ ではない。
然るに、
(21)
(ⅰ)
1(1) P& Q A
1(2) P 1&E
1(3) Q 1&E
1(4) ~P∨P 3∨I
1(5)(~P∨P)&Q 34&I
といふ「推論」は「妥当」である。
(ⅱ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3) ~Q 1&E
1(4) ~P∨P 3∨I
1(5)(~P∨P)&Q 34&I
といふ「推論」は「妥当」ではない。
(ⅲ)
1(1) ~P& Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) Q 1&E
1(4) ~P∨P 3∨I
1(5)(~P∨P)&Q 34&I
といふ「推論」は「妥当」である。
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) ~Q 1&E
1(4) ~P∨P 3∨I
1(5)(~P∨P)&Q 34&I
といふ「推論」は「妥当」ではない。
従って、
(21)により、
(22)
① P& Q├(~P∨P)&Q
② P&~Q├(~P∨P)&Q
③ ~P& Q├(~P∨P)&Q
④ ~P&~Q├(~P∨P)&Q
に於いて、
①と③ は「妥当」であるが、
②と④ は「妥当」ではなく、それ故、
①(~P∨P)&Q は、「恒に真(トートロジー)」ではない。
従って、
(18)(22)により、
(23)
①(~P∨P)∨Q は、「恒に、真(トートロジー)」であるが、
②(~P∨P)&Q は、「恒には真(トートロジー)」ではない。
従って、
(23)により、
(24)
「結合法則・含意の定義」として、
①(~P∨P)∨Q ≡~P∨(P∨Q)≡P→(P∨Q)。
②(~P∨P)&Q ≡~P∨(P&Q)≡P→(P&Q)。
であるものの、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
従って、
(24)により、
(25)
① Pであるならば(Pであるか、または、Qである)。
② Pであるならば(Pであって、尚且つ、Qである)。
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
(26)
仮に、
②(~P∨P)&Q ≡~P∨(P&Q)≡P→(P&Q)。
であるならば、すなはち、
② Pであるならば(Pであって、尚且つ、Qである)。
とするならば、
②「任意の命題」が「真」であるならば、「全ての命題」は「真」である。
といふことになるものの、
②「そのやうなこと」は、「有っては、ならない」。
(01)
① A,B├ C
② A├ B→C
③ ├ A→(B→C)
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
(01)により、
(02)
① Aが真で、Bも真、なので、Cは真である。
② Aが真、なので、Bが真ならば、Cは真である。
③ なので、Aが真ならば(Bが真ならば、Cは真である)。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① A,B├ C
② A├ B→C
③ ├ A→(B→C)
であれば、
① 真,真├ 真
② 真├ 真→真
③ ├ 真→(真→真)
である。
然るに、
(04)
③ ├ 真→(真→真)
であれば、
③ 真→(真→真)
である。
然るに、
(05)
「真理表(Truth table)」により、
① 真→(真→真)
② 真→(真)
③ 真
に於いて、
① ならば、② であって、
② ならば、③ である。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① A,B├ C
② A├ B→C
③ ├ A→(B→C)
であるならば、
④ A→(B→C)
は「真」である。
然るに、
(07)
1 (1) P A
2(2) P→Q A
12(3) Q 12MPP
1 (4)(P→Q)→Q 23CP
(5) P→((P→Q)→Q) 14CP
従って、
(06)(07)により、
(08)
① P,P→Q├ Q
② P├(P→Q)→Q
③ ├ P→((P→Q)→Q)
であるため、
④ P→((P→Q)→Q)
は「真」である。
然るに、
(09)
「番号」を付け直すとして、
① P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、
② は、① の「否定」である。
従って、
(08)(09)により、
(10)
① P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
(11)
(ⅰ)
1(1) P→( ( P→Q)→Q) A
1(2)~P∨( ( P→Q)→Q) 1含意の定義
1(3)~P∨( (~P∨Q)→Q) 2含意の定義
1(4)~P∨(~(~P∨Q)∨Q) 2含意の定義
(ⅱ)
1(1)~P∨(~(~P∨Q)∨Q) A
1(2)~P∨( (~P∨Q)→Q) 1含意の定義
1(3)~P∨( ( P→Q)→Q) 2含意の定義
1(4) P→( ( P→Q)→Q) 3含意の定義
従って、
(11)により、
(12)
① P→((P→Q)→Q)
と いふ「論理式」は、
① ~P∨(~(~P∨Q)∨Q)
と いふ「論理式」に「等しい」。
従って、
(10)(12)により、
(13)
① P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、すなはち、
① ~P∨(~(~P∨Q)∨Q)
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「偽」である。
然るに、
(14)
(ⅱ)
1(1)~{~P∨(~(~P∨Q)∨ Q)} A
1(2) P&~(~(~P∨Q)∨ Q) 1ド・モルガンの法則
1(3) P 2&E
1(4) ~(~(~P∨Q)∨ Q) 2&E
1(5) (~P∨Q)&~Q 4ド・モルガンの法則
1(6) (~P∨Q) 5&E
1(7) P→Q 6含意の定義
1(8) Q 37MPP
1(9) ~Q 5&E
1(ア) Q&~Q 89&I
1(イ) P&(Q&~Q) 3ア&I
(ⅲ)
1(1) P&(Q&~Q) A
1(2) P 1&E
1(3) (Q&~Q) 1&E
1(4) Q 3&E
1(5) ~Q 3&E
1(6) ~P∨Q 4∨I
1(7) (~P∨Q)&~Q 56&I
1(8) ~(~(~P∨Q)∨ Q) 7ド・モルガンの法則
1(9) P&~(~(~P∨Q)∨ Q) 28&I
1(ア)~{~P∨(~(~P∨Q)∨ Q)} 9ド・モルガンの法則
従って、
(14)により、
(15)
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③ P&(Q&~Q)
に於いて、すなはち、
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③ P&(矛盾)
に於いて、すなはち、
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③ P&(偽)
に於いて、すなはち、
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③ 偽
に於いて、すなはち、
②=③ である。
従って、
(10)~(15)により、
(16)
① P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、
① が「真」である以上、その「否定」である、
② は、必然的 に、「偽」である。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
(17)
(ⅰ)
1(1) P& Q A
1(2) Q A
1(3) ~(P→Q)∨Q 2∨I
1(4) (P→Q)→Q 3含意の定義
1(5)~P∨((P→Q)→Q) 4∨I
1(6) P→((P→Q)→Q) 5含意の定義
(ⅱ)
1 (1) P&~Q A
2(2) P→ Q A
1 (3) P 1&E
12(4) Q 23MPP
1 (5) ~Q 1&E
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~(P→Q) 2RAA
1 (8) ~(P→Q)∨Q 7∨I
1 (9) (P→Q)→Q 8含意の定義
1 (ア)~P∨((P→Q)→Q) 9∨I
1 (イ) P→((P→Q)→Q) ア含意の定義
(ⅲ)
1(1) ~P& Q A
1(2) Q A
1(3) ~(P→Q)∨Q 2∨I
1(4) (P→Q)→Q 3含意の定義
1(5)~P∨((P→Q)→Q) 4∨I
1(6) P→((P→Q)→Q) 5含意の定義
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q A
1(2)~P 1&E
1(3)~P∨((P→Q)→Q) 2∨I
1(4) P→((P→Q)→Q) 3含意の定義
従って、
(17)により、
(18)
① P& Q├ P→((P→Q)→Q)
② P&~Q├ P→((P→Q)→Q)
③ ~P& Q├ P→((P→Q)→Q)
④ ~P&~Q├ P→((P→Q)→Q)
といふ「連式」は、4つとも「正しい」。
従って、
(18)により、
(19)
① Pが真で、Qが真である、としても、
② Pが真で、Qが偽である、としても、
③ Pが偽で、Qが真である、としても、
④ Pが偽で、Qが偽である、としても、
いづれにしても、
① Pならば((PならばQである)ならばQである)。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
従って、
(08)(16)(19)により、
(20)
① P,P→Q├ Q
② P├(P→Q)→Q
③ ├ P→((P→Q)→Q)
であるため、
④ P→((P→Q)→Q)
は「真」である。
といふことは、
④ の「否定」は「偽」であり、
④ は「命題変数(PとQ)の真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことに、「他ならない」。
―「文字数制限」をオバーするため、(01)~(14)を「省略」します。―
(15)
1 (1) P→Q A
2 (2) R∨P A
3 (3) R A
3 (4) R∨Q 3∨I
5(5) P A
1 5(6) Q 15MPP
1 5(7) R∨Q 6∨I
12 (8) R∨Q 23457∨E
という「計算」に於ける、
① P→Q
② R∨P
③ R∨Q
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
従って、
(15)により、
(16)
1 (1) P→Q A
2 (2) R∨P A
3 (3) R A
3 (4) R∨Q 3∨I
5(5) P A
1 5(6) Q 15MPP
1 5(7) R∨Q 6∨I
12 (8) R∨Q 23457∨E
1 (9)(R∨P)→(R∨Q) 28CP
(ア)(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 19CP
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① P→Q,R∨P├ R∨Q
② P→Q├(R∨P)→(R∨Q)
③ ├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式(Sequents)」は、「妥当」ある。
然るに、
(16)により、
(17)
③├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
に於ける、
③ (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「論式」は、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」は、「恒真式(トートロジー)である。
従って、
(15)(16)(17)により、
(18)
③├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という風に、
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の「論理式」は「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(19)
1(1) ~(( P→Q)→ ((R∨P)→(R∨Q))) A
1(2) ~((~P∨Q)→ ((R∨P)→(R∨Q))) 1含意の定義
1(3)~(~(~P∨Q)∨ ((R∨P)→(R∨Q))) 2含意の定義
1(4)~(~(~P∨Q)∨ (~(R∨P)∨(R∨Q))) 3含意の定義
1(5) (~P∨Q)&~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 4ド・モルガンの法則
1(6) (~P∨Q) 5&E
1(7) ~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 5&E
1(8) (R∨P)&~(R∨Q) 7ド・モルガンの法則
1(9) R∨P 8&E
1(ア) ~(R∨Q) 8&E
1(イ) ~R&~Q ア、ド・モルガンの法則
1(ウ) ~R イ&E
1(エ) ~Q イ&E
1(オ) P→Q 6含意の定義
1(カ) ~P エオMTT
1(キ) ~R&~P ウカ&I
1(ク) ~(R∨P) キ、ド・モルガンの法則
1(ケ) ~(R∨P)&(R∨P) 9ク&I
従って、
(18)(19)により、
(20)
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅱ)「恒真式(トートロジー)」の「否定」は、「恒偽式(矛盾)」である。
然るに、
(21)
1(1) P& Q& R A
1(2) R A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅱ)
1(1) P& Q&~R A
1(2) Q A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅲ)
(ⅰ)
1(1) P&~Q& R A
1(2) R A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅳ)
1 (1) P&~Q&~R A
2(2) P→ Q A
1 (3) P 1&E
12(4) Q 23MPP
1 (5) ~Q 1&E
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7)~(P→Q) 26RAA
1 (8)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 7∨I
1 (9)( P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 1含意の定義
(ⅴ)
1(1) ~P& Q& R A
1(2) Q A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅵ)
1(1) ~P& Q&~R A
1(2) Q A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅶ)
1(1) ~P&~Q& R A
1(2) Q A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅷ)
1 (1) ~P&~Q&~R A
1 (2) ~P 1&E
3(3) ~((R∨P)→(R∨Q)) A
3(4) ~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 3含意の定義
3(5) (R∨P)&~(R∨Q) 4ド・モルガンの法則
3(6) R∨P 5&E
3(7) ~(R∨Q) 5&E
3(8) ~R&~Q 7ド・モルガンの法則
3(9) ~R 8&E
13(ア) ~R&~P 29&I
13(イ) ~(R∨P) ア、ド・モルガンの法則
13(ウ) (R∨P)&~(R∨P) 6イ&I
1 (エ) ~~((R∨P)→(R∨Q)) 3ウRAA
1 (オ) ((R∨P)→(R∨Q)) DN
1 (カ)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) オ∨I
1 (キ) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) カ含意の定義
従って、
(21)により、
(22)
① P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③ P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
然るに、
(23)
(ⅰ)
1 (1) (P→Q)→( (R∨P)→(R∨Q)) A
1 (2) ~(P→Q)∨( (R∨P)→(R∨Q)) 1含意の定義
1 (3)~(~P∨Q)∨( (R∨P)→(R∨Q)) 2含意の定義
1 (4)~(~P∨Q)∨(~(R∨P)∨(R∨Q)) 3含意の定義
5 (5)~(~P∨Q) A
5 (6) P&~Q 5ド・モルガンの法則
5 (7) (P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q) 6∨I
8 (8) ~(R∨P)∨(R∨Q) A
9 (9) ~(R∨P) A
9 (ア) (~R&~P) 9ド・モルガンの法則
9 (イ) (~R&~P)∨(R∨Q) ア∨I
ウ(ウ) (R∨Q) A
ウ(エ) (~R&~P)∨(R∨Q) ウ∨I
8 (オ) (~R&~P)∨(R∨Q) 89イウエ∨E
8 (カ) (P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q) オ∨I
1 (キ) (P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q) 1578カ∨E
(ⅱ)
1 (1) (P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q) A
2 (2) (P&~Q) A
2 (3)~(~P∨Q) 2ド・モルガンの法則
2 (4) ~(P→Q) 3含意の定義
2 (5) ~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 4∨I
6 (6) (~R&~P)∨(R∨Q) A
7 (7) (~R&~P) A
7 (8) ~(R∨P) 7ド・モルガンの法則
7 (9) ~(R∨P)∨(R∨Q) 8∨I
ア(ア) (R∨Q) A
ア(イ) ~(R∨P)∨(R∨Q) ア∨I
6 (ウ) ~(R∨P)∨(R∨Q) 679アイ∨E
6 (エ) ((R∨P)→(R∨Q)) ウ含意の定義
6 (オ) ~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) エ∨I
1 (カ) ~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 1256オ∨E
1 (キ) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) カ含意の定義
従って、
(23)により、
(24)
①(P→ Q)→((R∨ P)→(R∨Q))
②(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(25)
(R)に対する「選言導入(DI)」により、
① P& Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
③ P&~Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑤ ~P& Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑦ ~P&~Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
という「連式(sequents)」は、4つとも、「妥当」である。
(26)
(Q)に対する「選言導入(DI)」により、
② P& Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑥ ~P& Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
という「連式(sequents)」は、2つとも、「妥当」である。
(27)
(P&~Q)に対する「選言導入(DI)」により、
④ P&~Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
という「連式(sequent)」は、「妥当」である。
(28)
(~R&~P)に対する「選言導入(DI)」により、
⑧ ~P&~Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
という「連式(sequent)」は、「妥当」である。
従って、
(24)~(29)により、
(29)
いずれにせよ、
① P& Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
② P& Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
③ P&~Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
④ P&~Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑤ ~P& Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑥ ~P& Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑦ ~P&~Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑧ ~P&~Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
という「連式(sequents)」は、「妥当」である。
従って、
(22)(24)(29)により、
(30)
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅲ)「命題変数(P,Q,R)」の「真理値(真偽)」に関わらず、「恒真式(トートロジー)」の「真理値(真偽)」は、「恒に真」である。
従って、
(18)(20)(30)により、
(31)
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の「論理式」は「恒真式(トートロジー)」である。
(ⅱ)「恒真式(トートロジー)」の「否定」は、「恒偽式(矛盾)」である。
(ⅲ)「命題変数(P,Q,R)」の「真理値(真偽)」に関わらず、「恒真式(トートロジー)」の「真理値(真偽)」は、「恒に真」である。
従って、
(14)(31)により、
(32)
例えば、「同一律」と「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅲ)「命題変数」の「真理値(真偽)」に関わらず、「恒真式(トートロジー)」の「真理値(真偽)」は、「恒に真」である。
従って、
(32)により、
(33)
① P& Q├(P→Q)→(P→Q)
② P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
という「連式(Sequents)」が「妥当」であり、
① P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③ P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式(Sequents)」が「妥当」であるからこそ、
「同一律」は、「恒に真」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」も、「恒に真」である。
然るに、
(34)
例えば、
~P&Q&~R ┤├ ~(~P→~Q∨R)
(ⅰ)
1 (1) ~P& Q&~R A
2 (2) ~P→~Q∨ R A
1 (3) ~P 1&E
12 (4) ~Q∨ R 23MPP
5 (5) ~Q A
1 (6) Q 1&E
1 5 (7) ~Q&Q 67&I
5 (8)~(~P& Q&~R) 17RAA
9(9) R A
1 (ア) ~R 1&E
1 9(イ) R&~R 9ア&I
9(ウ)~(~P& Q&~R) 1イRAA
12 (エ)~(~P& Q&~R) 4589ウ∨I
12 (オ) (~P& Q&~R)&
~(~P& Q&~R) 1エ&I
1 (カ)~(~P→~Q∨ R) 2オRAA
(ⅱ)
1 (1)~(~P→~Q∨ R) A
1 (2)~( P∨~Q∨ R) 1含意の定義
3 (3) P A
3 (4) P∨~Q 3∨I
3 (5) P∨~Q∨ R 4∨I
13 (6)~( P∨~Q∨ R)&
( P∨~Q∨ R) 25&I
1 (7) ~P 56RAA
8 (8) ~Q A
8 (9) P∨~Q 8∨I
8 (ア) P∨~Q∨ R 9∨I
1 8 (イ)~( P∨~Q∨ R)&
( P∨~Q∨ R) 2ア&I
1 (ウ) ~~Q 8RAA
1 (エ) Q ウDN
オ(オ) R A
オ(カ) ~Q∨ R オ∨I
オ(キ) P∨~Q∨ R ∨I
1 オ(ク)~( P∨~Q∨ R)&
( P∨~Q∨ R) 2キ&I
1 (ケ) ~R オクRAA
1 (コ) ~P& Q 7エ&I
1 (サ) ~P& Q&~R ケコ&I
従って、
(34)により、
(35)
① ~P&Q&~R
② ~(~P→~Q∨R)
に於いて、
①=② である。
従って、
(35)により、
(36)
例えば、
⑥ ~P& Q&~R├ ~(~P→~Q∨R)
という「連式(Sequent)」が「妥当」であるため、
⑥ ~(~P→~Q∨R)
という「論理式」の「否定」である所の、
⑥ ~P→~Q∨R
という「論理式」に関しては、
⑥ ~P& Q&~R├ ~P→~Q∨R
という「連式」の場合は、
(ⅲ)「命題変数」の「真理値(真偽)」に関わらず、「恒に真」である。
ということには「ならない」。
従って、
(33)(36)により、
(37)
⑥ ~P→~Q∨R
という「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」ではない。
然るに、
(38)
〈練習問題2〉
仮定がすべて真になり、結論が偽になるような、変数への付値を見出すことによって、つぎの論証のパターンが不妥当(非トートロジー的)であることを示せ。
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、105頁)
〔私による、解答〕
(a)
① P&Q→R├ P→R
② P&Q→R├ 真→偽
③ 真&Q→偽├ 真→偽
④ 真&偽→偽├ 真→偽
⑤ 偽 →偽├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
(b)
① P→Q∨R├ P→Q
② P→Q∨R├ 真→偽
③ 真→偽∨R├ 真→偽
④ 真→偽∨真├ 真→偽
⑤ 真→ 真 ├ 偽
⑥ 真 ├ 偽
(c)
① P→Q,P→R├ Q→R
② P→Q,P→R├ 真→偽
③ P→真,P→偽├ 真→偽
④ 偽→真,偽→偽├ 真→偽
⑤ 真 , 真 ├ 偽
(d)
① P→R,Q→R├ P→Q
② P→R,Q→R├ 真→偽
③ 真→R,偽→R├ 真→偽
④ 真→真,偽→真├ 真→偽
⑤ 真 , 真 ├ 偽
(e)
① P→(Q→R),Q,~R├ P
② P→(Q→R),Q,~R├ 偽
③ 偽→(Q→R),Q,~R├ 偽
④ 偽→(真→偽),真,~偽├ 偽
⑤ 偽→偽 ,真,真 ├ 偽
⑥ 真 ,真,真 ├ 偽
(f)
① P⇔~Q,Q⇔~R,R⇔~S├ P⇔S
② P⇔~Q,Q⇔~R,R⇔~S├ 真⇔偽
③ 真⇔~Q,Q⇔~R,R⇔~偽├ 真⇔偽
④ 真⇔~偽,偽⇔~真,真⇔~偽├ 真⇔偽
⑤ 真⇔真 ,偽⇔真 ,真⇔真 ├ 真⇔偽
従って、
従って、
(33)(37)(38)により、
(39)
(P、Q、Rを、変数として持つ所の、任意の論理式A)は、
① P& Q& R├(任意の論理式A)
② P& Q&~R├(任意の論理式A)
③ P&~Q& R├(任意の論理式A)
④ P&~Q&~R├(任意の論理式A)
⑤ ~P& Q& R├(任意の論理式A)
⑥ ~P& Q&~R├(任意の論理式A)
⑦ ~P&~Q& R├(任意の論理式A)
⑧ ~P&~Q&~R├(任意の論理式A)
であるか、または、「そうではない」。
然るに、
(40)
1 (1) P→(Q→R) A
2 (2) P→ Q A
3(3) P A
1 3(4) Q→R 13MPP
23(5) Q 23MPP
123(6) R 45MPP
12 (7) P→R 36CP
1 (8) (P→Q)→(P→R) 27CP
(9)(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) 18CP
であるものの(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))は、「岩波書店、現代論理学入門(1962年)」によると、「ルカジェヴィッツの公理(2)」である。
従って、
(39)(40)により、
(41)
① P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
② P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③ P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
④ P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑤ ~P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑥ ~P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑦ ~P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
であるに、「違いない」。
然るに、
(42)
① P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③ P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑤ ~P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑦ ~P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
に関しては、「4つまとめて」、
1(1) R A
1(2) ~P∨R 1∨I
1(3) P→R 2含意の定義
1(4) ~(P→Q)∨(P→R) 3∨I
1(6) (P→Q)→(P→R) 4含意の定義
1(7)~(P→(Q→R))∨((P→Q)→(P→R)) 6∨I
という風に、「証明」出来る。
然るに、
(43)
⑥ ~P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
に関しては、「2つまとめて」、
1(1) ~P A
1(2) ~P∨R 1∨I
1(3) P→R 2含意の定義
1(4) ~(P→Q)∨(P→R) 3∨I
1(6) (P→Q)→(P→R) 4含意の定義
1(7)~(P→(Q→R))∨((P→Q)→(P→R)) 6∨I
という風に、「証明」出来る。
然るに、
(44)
② P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
に関しては、
1 (1) P& Q&~R A
2(2) P→(Q→ R) A
1 (3) P 1&E
12(4) Q→ R 23MPP
1 (5) Q 1&E
12(6) R 45MPP
1 (7) ~R 1&E
12(8) R&~R 67&I
1 (9)~(P→(Q→ R)) 28RAA
1 (ア)~(P→(Q→ R))∨((P→Q)→(P→R)) 9∨I
1 (イ) (P→(Q→ R))→((P→Q)→(P→R)) ア含意の定義
という風に、「証明」出来る。
然るに、
(45)
④ P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
に関しては、
1 (1) P&~Q&~R A
2(2) P→ Q A
1 (3) P 1&E
12(4) Q 23MPP
1 (5) ~Q 1&E
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~(P→Q) 26RAA
1 (8) ~(P→Q)∨(P→R) 7∨I
1 (9) (P→Q)→(P→R) 8含意の定義
1 (ア)~(P→(Q→R))∨((P→Q)→(P→R)) 9∨I
1 (イ) (P→(Q→R))∨((P→Q)→(P→R)) ア含意の定義
従って、
(41)~(45)により、
(46)
果たして、
① P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
② P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③ P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
④ P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑤ ~P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑥ ~P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑦ ~P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
という「連式(Sequents)」は「妥当」である。
従って、
(32)(33)(46)により、
(47)
① P& Q├(P→Q)→(P→Q)
② P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
という「連式(Sequents)」が「(4つとも)妥当」であり、
① P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③ P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式(Sequents)」が「(8つとも)妥当」であり、
① P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
② P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③ P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
④ P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑤ ~P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑥ ~P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑦ ~P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
という「連式(Sequents)」が「(8つとも)妥当」であるからこそ、
「同一律(Law of identity)」は「恒真式(トートロジー)」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」は「恒真式(トートロジー)」であって、
「ルカジェヴィッツの公理(2)」は「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(48)
1 (1) ~(P∨~P) A
2(2) P A
2(3) P∨~P 2∨I
12(4) ~(P∨~P)&
(P∨~P) 13&I
1 (5) ~P 24RAA
1 (6) P∨~P 5∨I
1 (7) ~(P∨~P)&
(P∨~P) 16&I
(8)~~(P∨~P) 17RAA
(9) P∨~P 8DN
従って、
(47)(48)により、
(49)
(1) P∨~P TI(排中律)
(2) Q∨~Q TI(排中律)
3 (3) P A
4 (4) Q A
34 (5) P& Q 34&I
34 (6) Q 5&E
34 (7) ~P∨Q 6∨I
34 (8) P→Q 7含意の定義
34 (9)~(P→Q)∨(P→Q) 8∨I
ア (ア) ~Q A
3 ア (イ) P&~Q 3ア&I
ウ (ウ) P→ Q A
3 ア (エ) P イ&E
3 アウ (オ) Q ウエMPP
3 ア (カ) ~Q イ&E
3 アウ (キ) Q&~Q オカ&I
3 ア (ク)~(P→Q) ウキRAA
3 ア (ケ)~(P→Q)∨(P→Q) ク∨I
3 (コ)~(P→Q)∨(P→Q) 249アケ∨E
サ (サ) ~P A
4 サ (シ) ~P& Q 4サ&I
4 サ (ス) ~P シ&E
4 サ (セ) ~P∨Q ス∨I
4 サ (ソ) P→Q セ含意の定義
4 サ (タ)~(P→Q)∨(P→Q) ソ∨I
ア サ (ツ) ~P&~Q アサ&I
ア サ (テ) ~P ツ&E
ア サ (ト) ~P∨Q テ∨I
ア サ (ナ) P→Q ト含意の定義
ア サ (ニ)~(P→Q)∨(P→Q) ナ∨I
サ (ヌ)~(P→Q)∨(P→Q) 24タアニ∨E
(ネ)~(P→Q)∨(P→Q) 13コサヌ∨E
(ノ) (P→Q)→(P→Q) ネ含意の定義
従って、
(49)により、
(50)
(1)P∨~P TI(排中律)
(2)Q∨~Q TI(排中律)
3 (3)P A
4 (4) ~P A
5 (5)Q A
6(6) ~Q A
3 5 (7)(任意の恒真式) 35SI(ⅰ)
3 6(8)(任意の恒真式) 36SI(ⅱ)
45 (9)(任意の恒真式) 37SI(ⅲ)
4 6(ア)(任意の恒真式) 38SI(ⅳ)
5 (イ)(任意の恒真式) 13749∨E
6(ウ)(任意の恒真式) 1384ア∨E
(エ)(任意の恒真式) 25イ6ウ∨E
という「計算」により、例えば、
① P& Q├(P→Q)→(P→Q)
② P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
という「連式」は、
①├(P→Q)→(P→Q)
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
(47)~(50)により、
(51)
(1)P∨~P TI(排中律)
(2)Q∨~Q TI(排中律)
(3)R∨~R TI(排中律)
によって、例えば、
① P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③ P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式」は、
①├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
(51)により、
(52)
(P、Q、Rを、変数として持つ所の、任意の論理式A)に対して、
① P& Q& R├(任意の論理式A)
② P& Q&~R├(任意の論理式A)
③ P&~Q& R├(任意の論理式A)
④ P&~Q&~R├(任意の論理式A)
⑤ ~P& Q& R├(任意の論理式A)
⑥ ~P& Q&~R├(任意の論理式A)
⑦ ~P&~Q& R├(任意の論理式A)
⑧ ~P&~Q&~R├(任意の論理式A)
という「連式(Sequents)」が「(8つとも)妥当」であるならば、
①├(任意の論理式A)
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
(16)(40)(52)により、
(53)
①├(任意の論理式A)
という「連式(Sequents)」が、
②├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
という「連式」であるならば、これらの「連式」は、
② P→Q,R∨P├ R∨Q
③ P→(Q→R),P→Q├ P→R
という「連式」に「書き換える」ことが出来るものの、「これらの連式」は、「妥当」である。
従って、
(51)(52)(53)により、
(54)
① P& Q& R├(任意の論理式A)
② P& Q&~R├(任意の論理式A)
③ P&~Q& R├(任意の論理式A)
④ P&~Q&~R├(任意の論理式A)
⑤ ~P& Q& R├(任意の論理式A)
⑥ ~P& Q&~R├(任意の論理式A)
⑦ ~P&~Q& R├(任意の論理式A)
⑧ ~P&~Q&~R├(任意の論理式A)
の中の、「一つの例(instance)」として、
① P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③ P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
といふ「連式(Sequents)」が「妥当」であるが故に、
② ├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P→Q,R∨P├ R∨Q
という「連式(ヒルベルト・アッカーマンの公理4)」が「妥当」となる。
(01)
1 (1) P→Q A
2 (2) R∨P A
3 (3) R A
3 (4) R∨Q 3∨I
5(5) P A
1 5(6) Q 15MPP
1 5(7) R∨Q 6∨I
12 (8) R∨Q 23457∨E
1 (9)(R∨P)→(R∨Q) 28CP
(ア)(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 19CP
従って、
(01)により、
(02)
① P→Q,R∨P├ R∨Q
② P→Q├(R∨P)→(R∨Q)
③ ├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
といふ「3つの連式」は、「恒真(トートロジー)的」である。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1(1)~(R∨Q) A
1(2)~R&~Q 1ド・モルガンの法則
(ⅱ)
1(1)~( (R∨P)→(R∨Q)) A
1(2)~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 1含意の定義
1(3) (R∨P)&~(R∨Q) 2ド・モルガンの法則
1(4) (R∨P) 3&E
1(5) ~~R∨P 4DN
1(6) ~R→P 5含意の定義
1(7) ~R&Q 3&E
1(8) ~R 7&E
1(9) Q 7&E
1(ア) P 68MPP
1(イ) P&Q 9ア&I
(ⅲ)
1(1)~( ( P→Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) A
1(2)~( (~P∨Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) 1含意の定義
1(3)~(~(~P∨Q)∨ ( (R∨P)→(R∨Q))) 2含意の定義
1(4)~(~(~P∨Q)∨ (~(R∨P)∨(R∨Q))) 3含意の定義
1(5) (~P∨Q)&~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 4ド・モルガンの法則
1(6) (~P∨Q) 5&E
1(7) ~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 5&E
1(8) (R∨P)&~(R∨Q) 7ド・モルガンの法則
1(9) R∨P 8&E
1(ア) ~(R∨Q) 8&E
1(イ) ~R&~Q ア、ド・モルガンの法則
1(ウ) ~R イ&E
1(エ) ~Q イ&E
1(オ) P→Q 6含意の定義
1(カ) ~P エオMTT
1(キ) ~R&~P ウカ&I
1(ク) ~(R∨P) キ、ド・モルガンの法則
1(ケ) ~(R∨P)&(R∨P) 9ク&I
従って、
(02)(03)により、
(04)
① P→Q,R∨P├ R∨Q
② P→Q├(R∨P)→(R∨Q)
③ ├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
に於ける、
① R∨Q
②(R∨P)→(R∨Q)
③(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
に対する、それぞれの「否定」である所の、
① ~(R∨Q)
② ~((R∨P)→(R∨Q))
③ ~((P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)))
に於いて、
① は「矛盾」ではなく、
② も「矛盾」ではなく、
③ は「矛盾」であるが、「矛盾」は「偽」である。
従って、
(04)により、
(05)
① R∨Q
②(R∨P)→(R∨Q)
③(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
に於いて、
① は、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、
② も、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、
③ は、その「否定」が「偽」であるが故に、それ自体が、「真」である。
従って、
(05)により、
(06)
例えば、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」である所の、
③(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
といふ「論理式」は、それ自体が「真」である。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1(1) P& Q& R A
1(2) R A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅱ)
1(1) P& Q&~R A
1(2) Q A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅲ)
(ⅰ)
1(1) P&~Q& R A
1(2) R A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅳ)
1 (1) P&~Q&~R A
2(2) P→ Q A
1 (3) P 1&E
12(4) Q 23MPP
1 (5) ~Q 1&E
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7)~(P→Q) 26RAA
1 (8)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 7∨I
1 (9)( P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 1含意の定義
(ⅴ)
1(1) ~P& Q& R A
1(2) Q A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅵ)
1(1) ~P& Q&~R A
1(2) Q A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅶ)
1(1) ~P&~Q& R A
1(2) Q A
1(3) R∨Q 2∨I
1(4) ~(R∨P)∨(R∨Q) 3∨I
1(5) (R∨P)→(R∨Q) 4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅷ)
1 (1) ~P&~Q&~R A
1 (2) ~P 1&E
3(3) ~((R∨P)→(R∨Q)) A
3(4) ~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 3含意の定義
3(5) (R∨P)&~(R∨Q) 4ド・モルガンの法則
3(6) R∨P 5&E
3(7) ~(R∨Q) 5&E
3(8) ~R&~Q 7ド・モルガンの法則
3(9) ~R 8&E
13(ア) ~R&~P 29&I
13(イ) ~(R∨P) ア、ド・モルガンの法則
13(ウ) (R∨P)&~(R∨P) 6イ&I
1 (エ) ~~((R∨P)→(R∨Q)) 3ウRAA
1 (オ) ((R∨P)→(R∨Q)) エ、ド・モルガンの法則
1 (カ)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) オ∨I
1 (キ) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) カ含意の定義
従って、
(07)により、
(08)
① P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③ P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
従って、
(08)により、
(09)
① P(真)&Q(真)&R(真)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P(真)&Q(真)&R(偽)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③ P(真)&Q(偽)&R(真)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ P(真)&Q(偽)&R(偽)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ P(偽)&Q(真)&R(真)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ P(偽)&Q(真)&R(偽)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ P(偽)&Q(偽)&R(真)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ P(偽)&Q(偽)&R(偽)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
従って、
(06)(09)により、
(10)
「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」である所の、
③(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
といふ「論理式」が、それ自体が「真」である。
といふことは、
③「命題変数(P・Q・R)」の「真偽」とは「無関係」に「真」である。
といふことに、「他ならない」。
(01)
(ⅰ)
1(1)P A
(2)P→P 11CP
(ⅱ)
1 (1) (P→Q)→P A
1 (2) ~(P→Q)∨P 1含意の定義
1 (3)~(~P∨Q)∨P 1含意の定義
4 (4)~(~P∨Q) A
4 (5) P&~Q 4ド・モルガンの法則
4 (6) P 5&E
7(7) P A
1 (8) P 34677∨E
(9)((P→Q)→P)→P 18CP
(ⅲ)
1 (1) P→Q A
2 (2) R∨P A
3 (3) R A
3 (4) R∨Q 3∨I
5(5) P A
1 5(6) Q 15MPP
1 5(7) R∨Q 6∨I
12 (8) R∨Q 23457∨E
1 (9)(R∨P)→(R∨Q) 28CP
(ア)(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 19CP
従って、
(01)により、
(02)
①├ P→P
②├((P→Q)→P)→P
③├ (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
従って、
(02)により、
(03)
① 同一律。
② パースの法則。
④ ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)。
に於いて、
① は「恒真式(トートロジー)」であって、
② も「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1(1) ~(P→P) A
1(2)~(~P∨P) 1含意の定義
1(3) P&~P 2ド・モルガンの法則
(ⅱ)
1 (1) ~(((P→Q)→P)→ P) A
1 (2) ~(((~P∨Q)→P)→ P) 1含意の定義
1 (3) ~((~(~P∨Q)∨P)→ P) 2含意の定義
1 (4)~(~(~(~P∨Q)∨P)∨ P) 3含意の定義
1 (5) (~(~P∨Q)∨P)&~P 4ド・モルガンの法則
1 (6) ((P&~Q)∨P)&~P 5ド・モルガンの法則
1 (7) (P&~Q)∨P 6&E
8 (8) P&~Q A
8 (9) P 8&E
ア(ア) P A
1 (イ) P 789アア∨E
1 (ウ) ~P 6&E
1 (エ) P&~P イウ&I
(ⅲ)
1(1)~( ( P→Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) A
1(2)~( (~P∨Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) 1含意の定義
1(3)~(~(~P∨Q)∨ ( (R∨P)→(R∨Q))) 2含意の定義
1(4)~(~(~P∨Q)∨ (~(R∨P)∨(R∨Q))) 3含意の定義
1(5) (~P∨Q)&~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 4含意の定義
1(6) (~P∨Q) 5&E
1(7) ~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 5&E
1(8) (R∨P)&~(R∨Q) 7ド・モルガンの法則
1(9) R∨P 8&E
1(ア) ~(R∨Q) 8&E
1(イ) ~R&~Q ア、ド・モルガンの法則
1(ウ) ~R イ&E
1(エ) ~Q イ&E
1(オ) P→Q 6含意の定義
1(カ) ~P エオMTT
1(キ) ~R&~P ウカ&I
1(ク) ~(R∨P) キ、ド・モルガンの法則
1(ケ) ~(R∨P)&(R∨P) 9ク&I
従って、
(03)(04)により、
(05)
① 同一律。
② パースの法則。
④ ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)。
に於いて、
① の「否定」は「矛盾」であり、
② の「否定」も「矛盾」であり、
③ の「否定」も「矛盾」である。
然るに、
(06)
1(1)~(~P→~Q∨R) A
1(2)~( P∨~Q∨R) 1含意の定義
1(3) ~P&Q&~R 2ド・モルガンの法則
従って、
(06)により、
(07)
例へば、
④ ~P→~Q∨R
の「否定」は、「矛盾」ではない。
然るに、
(08)
~(~P→~Q∨R) ┤├ ~P&Q&~R
(ⅳ)
1 (1)~(~P→~Q∨ R) A
1 (2)~( P∨~Q∨ R) 1含意の定義
3 (3) P A
3 (4) P∨~Q 3∨I
3 (5) P∨~Q∨ R 4∨I
13 (6)~( P∨~Q∨ R)&
( P∨~Q∨ R) 25&I
1 (7) ~P 56RAA
8 (8) ~Q A
8 (9) P∨~Q 8∨I
8 (ア) P∨~Q∨ R 9∨I
1 8 (イ)~( P∨~Q∨ R)&
( P∨~Q∨ R) 2ア&I
1 (ウ) ~~Q 8RAA
1 (エ) Q ウDN
オ(オ) R A
オ(カ) ~Q∨ R オ∨I
オ(キ) P∨~Q∨ R ∨I
1 オ(ク)~( P∨~Q∨ R)&
( P∨~Q∨ R) 2キ&I
1 (ケ) ~R オクRAA
1 (コ) ~P& Q 7エ&I
1 (サ) ~P& Q&~R ケコ&I
(ⅴ)
1 (1) ~P& Q&~R A
2 (2) ~P→~Q∨ R A
1 (3) ~P 1&E
12 (4) ~Q∨ R 23MPP
5 (5) ~Q A
1 (6) Q 1&E
1 5 (7) ~Q&Q 67&I
5 (8)~(~P& Q&~R) 17RAA
9(9) R A
1 (ア) ~R 1&E
1 9(イ) R&~R 9ア&I
9(ウ)~(~P& Q&~R) 1イRAA
12 (エ)~(~P& Q&~R) 4589ウ∨I
12 (オ) (~P& Q&~R)&
~(~P& Q&~R) 1エ&I
1 (カ)~(~P→~Q∨ R) 2オRAA
従って、
(08)により、
(09)
④ ~(~P→~Q∨R)
⑤ ~P&Q&~R
に於いて、
④=⑤ である。
従って、
(09)により、
(10)
⑤ P(偽),Q(真),R(偽)
であるときに限って、
④ ~P→~Q∨R
といふ「論理式」は、「偽」になる。
従って、
(10)により、
(11)
④ ~P→~Q∨R
といふ「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」ではない。
従って、
(01)~(11)により、
(12)
① P→P
②((P→Q)→P)→P
③ (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ ~P→~Q∨R
に於いて、
④ だけが、「恒真式(トートロジー)」ではなく、
① ~(P→P)
② ~(((P→Q)→P)→P)
③ ~((P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)))
④ ~(~P→~Q∨R)
に於いて、
④ だけが、「矛盾」ではない。
従って、
(12)により、
(13)
(a)「恒真式(トートロジー)」とは、
(b)「否定」をすると、「矛盾」になる所の「論理式」である。
に、「違ひない」
―「含意の定義(Df.→)」―
(01)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
12 (4) Q 12MPP
2 (5) ~Q 2&E
12 (6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~(P&~Q) 26RAA
8 (8) ~(~P∨Q) A
9 (9) ~P A
9 (ア) ~P∨Q 9∨I
89 (イ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8ア&I
8 (ウ) ~~P 9イRAA
8 (エ) P ウDN
オ(オ) Q A
オ(カ) ~P∨Q オ∨I
8 オ(キ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8カ&I
8 (ク) ~Q オキRAA
8 (ケ) P&~Q エク&I
1 8 (コ) ~(P&~Q)&
(P&~Q) 7ケ&I
1 (サ)~~(~P∨Q) 8コRAA
1 (シ) ~P∨Q サDN
(02)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
23 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) ~Q A
ウエ(オ) P&~Q ウエ&I
1 ウエ(カ)~(P&~Q)&
(P&~Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~~Q エカDN
1 ウ (ク) Q キDN
1 (ケ) P→ Q ウクCP
従って、
(01)(02)により、
(03)
(a) P→ Q
(b) P&~Q
(c)~P∨ Q
に於いて、
(a)と(b)は『矛盾』し、
(b)と(c)も『矛盾』し、それ故、
(a)と(c)は『等しい』。
従って、
(03)により、
(04)
① P→Q(Pであるならば、Qである)。
② ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
③ ~~P→Q(Pでない、でないならば、Qである)。
に於いて、
①=②=③ である(含意の定義)。
例へば、
(05)
① P→Q,P├ Q
に於いて、
① P→QとP を 「連式の仮定」と言ひ。
① Q を「連式の結論」と言ふ。
然るに、
(06)
(a)「連式の仮定」に「偽」が「1つも無く(0個であって)」、
(b)「連式の結論」が「偽」でないならば、そのときに限って、その「連式」は「トートロジー的(tautologous)」である。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1 (1) P→Q A
2(2) P A
12(3) Q 12MPP
1 (4) P→Q 23CP
(5)(P→Q)→(P→Q) 14CP
(ⅱ)
1(1) P&Q A
1(2) P 1&E
(3)(P&Q)→P 12CP
(ⅲ)
1(1)P A
1(2)P∨Q 1∨I
(3)P→(P∨Q) 12CP
従って、
(06)(07)により、
(08)
① P→Q,P├ Q
② P&Q├ P
③ P├ P∨Q
は「トートロジー的連式(sequents)」であるため、
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P&Q)→P
③├ P→(P∨Q)
も「トートロジー的連式(sequents)」である。
然るに、
(09)
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P&Q)→P
③├ P→(P∨Q)
といふ「トートロジー的連式(sequents)」に於ける、
①(P→Q)→(P→Q)
②(P&Q)→P
③ P→(P∨Q)
といふ「結論」は、それぞれ、
①「同一律 (トートロジー)」であって、
②「連言除去(トートロジー)」であって、
③「選言導入(トートロジー)」である。
従って、
(06)(09)により、
(10)
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P&Q)→P
③├ P→(P∨Q)
のやうに、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の「連式の結論」は、「恒真式(トートロジー)」である。
cf.
「仮定の個数」が「0個」であるならば、固より、「偽なる仮定の個数」も「0個」である。
然るに、
(11)
(ⅰ)
1(1) ~{(P→Q)→(P→Q)} A
1(2)~{~(P→Q)∨(P→Q)} 1含意の定義
1(3) (P→Q)&~(P→Q) 2ド・モルガンの法則
1(4) (P→Q) 3&E
1(5) ~(P→Q) 3&E
1(6) ~(~P∨Q) 5含意の定義
1(7) P&~Q 6ド・モルガンの法則
1(8) P 7&E
1(9) Q 48MPP
1(ア) ~Q 7&E
1(イ) Q&~Q 89&I
(ウ)~~{(P→Q)→(P→Q)} 1RAA
(エ) (P→Q)→(P→Q) ウDN
(ⅱ)
1(1) ~{(P&Q)→ P} A
1(2)~{~(P&Q)∨ P} 1含意の定義
1(3) (P&Q)&~P 2ド・モルガンの法則
1(4) P&Q 3&E
1(5) P 4&E
1(6) ~P 3&E
1(7) P&~P 56&I
(8)~~{(P&Q)→ P} 17RAA
(9) (P&Q)→ P 8DN
(ⅲ)
1(1) ~{P→(P∨Q)} A
1(2)~{~P∨(P∨Q)} 1含意の定義
1(3) P&~(P∨Q) 2ド・モルガンの法則
1(4) P 3&E
1(5) ~(P∨Q) 3&E
1(6) ~P&~Q 5ド・モルガンの法則
1(7) ~P 6&E
1(8) P&~P 47&I
(9) P→(P∨Q) 18RAA
従って、
(11)により、
(12)
① ~{(P→Q)→(P→Q)}├ Q&~Q
② ~{(P&Q)→P}├ P&~P
③ ~{P→(P∨Q)}├ P&~P
のやうに、
(ⅱ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(10)(12)により、
(13)
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式の結論(恒真式)」は、その一方で、
(ⅱ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」である。
然るに、
(14)
(ⅰ)
1(1) P&Q A
1(2) Q 1&E
1(3) ~P∨Q 2∨I
1(4) P→Q 3含意の定義
1(5)~(P→Q)∨(P→Q) 4∨I
1(6) (P→Q)→(P→Q) 5含意の定義
(ⅱ)
1 (1) P&~Q A
2(2) P→ Q A
1 (3) P 1&E
12(4) Q 23MPP
1 (5) ~Q 1&E
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7)~(P→Q) 26RAA
1 (8)~(P→Q)∨(P→Q) 7∨I
1 (9) (P→Q)→(P→Q) 8含意の定義
(ⅲ)
1(1) ~P&Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) ~P∨Q 2∨I
1(4) P→Q 3含意の定義
1(5)~(P→Q)∨(P→Q) 4∨I
1(6) (P→Q)→(P→Q) 5含意の定義
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q A
1(2) ~P 1&E
1(3) ~P∨Q 2∨I
1(4) P→Q 3含意の定義
1(5)~(P→Q)∨(P→Q) 4∨I
1(6) (P→Q)→(P→Q) 5含意の定義
然るに、
(15)
(ⅰ)
1(1) P&Q A
1(2) P 1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅱ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅲ)
1 (1) ~P&Q A
2(2) P&Q A
1 (3) ~P 1&E
2(4) P 2&E
12(5) ~P&P 34&I
1 (6)~(P&Q) 25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
(ⅳ)
1 (1) ~P&~Q A
2(2) P& Q A
1 (3) Q 1&E
2(4) ~Q 2&E
12(5) ~Q&Q 34&I
1 (6)~(P&Q) 25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
然るに、
(16)
(ⅰ)
1(1) P& Q A
1(2) P 1&E
1(3) P∨Q 2∨I
1(4)~P∨(P∨Q) 3∨I
1(5) P→(P∨Q) 4含意の定義
(ⅱ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3) P∨Q 2∨I
1(4)~P∨(P∨Q) 3∨I
1(5) P→(P∨Q) 4含意の定義
(ⅲ)
1(1) ~P& Q A
1(2) ~P 1&E
1(3)~P∨(P∨Q) 2∨I
1(4) P→(P∨Q) 3含意の定義
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q A
1(2) ~P 1&E
1(3)~P∨(P∨Q) 2∨I
1(4) P→(P∨Q) 3含意の定義
従って、
(14)により、
(17)
① P& Q├(P→Q)→(P→Q)
② P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
然るに、
(15)により、
(18)
① P& Q├(P&Q)→P
② P&~Q├(P&Q)→P
③ ~P& Q├(P&Q)→P
④ ~P&~Q├(P&Q)→P
然るに、
(16)により、
(19)
① P& Q├ P→(P∨Q)
② P&~Q├ P→(P∨Q)
③ ~P& Q├ P→(P∨Q)
④ ~P&~Q├ P→(P∨Q)
従って、
(17)により、
(20)
① P(真)&Q(真)├(P→Q)→(P→Q)
② P(真)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
③ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
④ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
然るに、
(18)により、
(21)
① P(真)&Q(真)├(P&Q)→P
② P(真)&Q(偽)├(P&Q)→P
③ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
④ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
然るに、
(19)により、
(22)
① P(真)&Q(真)├ P→(P∨Q)
② P(真)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
③ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
④ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
然るに、
(23)
1(1)~P A
(2)~P→~P 11CP
(3) P∨~P 2含意の定義
(ⅱ)
1 (1) ~(P∨~P) A
2(2) P A
2(3) P∨~P 2∨I
12(4) ~(P∨~P)&
(P∨~P) 13&I
1 (5) ~P 24RAA
1 (6) P∨~P 5∨I
1 (7) ~(P∨~P)&
(P∨~P) 16&I
(8)~~(P∨~P) 17RAA
(9) P∨~P 8DN
然るに、
(24)
(1) P∨~P TI(排中律)
(2) Q∨~Q TI(排中律)
3 (3) P A
4 (4) Q A
34 (5) P&Q 34&I
34 (6) Q 5&E
34 (7) ~P∨Q 6∨I
34 (8) P→Q 7含意の定義
34 (9)~(P→Q)∨(P→Q) 8∨I
ア (ア) ~Q A
3 ア (イ) P&~Q 3ア&I
ウ (ウ) P→ Q A
3 ア (エ) P イ&E
3 アウ (オ) Q ウエMPP
3 ア (カ) ~Q イ&E
3 アウ (キ) Q&~Q オカ&I
3 ア (ク)~(P→Q) ウキRAA
3 ア (ケ)~(P→Q)∨(P→Q) ク∨I
3 (コ)~(P→Q)∨(P→Q) 249アケ∨E
サ (サ) ~P A
4 サ (シ) ~P&Q 4サ&I
4 サ (ス) ~P シ&E
4 サ (セ) ~P∨Q ス∨I
4 サ (ソ) P→Q セ含意の定義
4 サ (タ)~(P→Q)∨(P→Q) ソ∨I
ア サ (ツ) ~P&~Q アサ&I
ア サ (テ) ~P ツ&E
ア サ (ト) ~P∨Q テ∨I
ア サ (ナ) P→Q ト含意の定義
ア サ (ニ)~(P→Q)∨(P→Q) ナ∨I
サ (ヌ)~(P→Q)∨(P→Q) 24タアニ∨E
(ネ)~(P→Q)∨(P→Q) 13コサヌ∨E
(ノ) (P→Q)→(P→Q) ネ含意の定義
従って、
(24)により、
(25)
① P& Q├(P→Q)→(P→Q)
② P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
といふ「連式」、すなはち、
① P(真)&Q(真)├(P→Q)→(P→Q)
② P(真)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
③ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
④ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
といふ「連式」は、4とつも、
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P→Q)→(P→Q)
③├(P→Q)→(P→Q)
④├(P→Q)→(P→Q)
といふ風に、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
(20)~(25)により、
(26)
「同様」にして、
① P(真)&Q(真)├(P&Q)→P
② P(真)&Q(偽)├(P&Q)→P
③ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
④ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
といふ「連式」と、
① P(真)&Q(真)├ P→(P∨Q)
② P(真)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
③ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
④ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
といふ「連式」も、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
(10)(25)(26)により、
(27)
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式の結論(恒真式)」は、その一方で、
(ⅲ)「命題変数(PとQ)の真偽」に関わらず、「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
(13)(27)により、
(28)
(ⅰ)「恒真式(トートロジー)」とは、
(ⅱ)「仮定の個数」が「0個」である所の、 「連式の結論」であって、
(ⅲ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の 「論理式」であって、その上、
(ⅳ)「命題変数(PとQ)の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
然るに、
(29)
1 (1) ~(((P→Q)→P)→ P) A
1 (2) ~(((~P∨Q)→P)→ P) 1含意の定義
1 (3) ~((~(~P∨Q)∨P)→ P) 2含意の定義
1 (4)~(~(~(~P∨Q)∨P)∨ P) 3含意の定義
1 (5) (~(~P∨Q)∨P)&~P 4ド・モルガンの法則
1 (6) ((P&~Q)∨P)&~P 5ド・モルガンの法則
1 (7) (P&~Q)∨P 6&E
8 (8) P&~Q A
8 (9) P 8&E
ア(ア) P A
1 (イ) P 789アア∨E
1 (ウ) ~P 6&E
1 (エ) P&~P(矛盾) イウ&I
(オ) ~~(((P→Q)→P)→ P) 1エRAA
(カ) ((P→Q)→P)→ P オDN
従って、
(30)
⑤├((P→Q)→P)→P
といふ「(仮定の個数が0である所の)連式」は「妥当」である。
然るに、
(31)
(ⅰ)
1(1) P&Q A
1(2) P 1&E
1(3)~((P→Q)→P)∨P 2∨I
1(4) ((P→Q)→P)→P 3含意の定義
(ⅱ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3)~((P→Q)→P)∨P 2∨I
1(4) ((P→Q)→P)→P 3含意の定義
(ⅲ)
1 (1) ~P&Q A
2(2) (P→Q)→P A
1 (3) Q 1&E
1 (4) ~P∨Q 3∨I
1 (5) P→Q 4含意の定義
12(6) P 25MPP
1 (7) ~P 1&E
12(8) ~P&P 67&I
1 (9)~((P→Q)→P) 28RAA
1 (ア)~((P→Q)→P)∨P 9∨I
1 (イ) ((P→Q)→P)→P ア含意の定義
(ⅳ)
1 (1) ~P&~Q A
1 (2) ~P 1&E
1 (3) ~P∨Q 2∨I
1 (4) P→Q 3含意の定義
2(5) (P→Q)→P A
12(6) P 45MPP
12(7) ~P&P 26&I
1 (8)~((P→Q)→P 27RAA
1 (9)~((P→Q)→P)∨P 8∨I
1 (ア) ((P→Q)→P)→P 8含意の定義
従って、
(20)~(25)、(31)により、
(32)
(1)P∨~P TI(排中律)
(2)Q∨~Q TI(排中律)
3 (3)P A
4 (4) ~P A
5 (5)Q A
6(6) ~Q A
3 5 (7)((P→Q)→P)→P 35SI(ⅰ)
3 6(8)((P→Q)→P)→P 36SI(ⅱ)
45 (9)((P→Q)→P)→P 37SI(ⅲ)
4 6(ア)((P→Q)→P)→P 38SI(ⅳ)
5 (イ)((P→Q)→P)→P 13749∨E
6(ウ)((P→Q)→P)→P 1384ア∨E
(エ)((P→Q)→P)→P 25イ6ウ∨E
(E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、113頁改)
といふ「(排中律を用いた)計算」によって、
①├((P→Q)→P)→P
②├((P→Q)→P)→P
③├((P→Q)→P)→P
④├((P→Q)→P)→P
といふ風に、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式(パースの法則)」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
(09)(28)(32)により、
(33)
(ⅰ)「恒真式(トートロジー)」とは、
(ⅱ)「同一律・連言除去・選言導入・パースの法則」等がそうであるやうに、
(ⅲ)「仮定の個数」が「0個」である所の、 「連式の結論」であって、
(ⅳ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の 「論理式」であって、その上、
(ⅴ)「命題変数(PとQ)の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
(33)により、
(34)
トートロジー(英: tautology, 希: ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから)とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である(ウィキペディア)。
といふ「説明」は、「恒真式(トートロジー)」の「説明」としては、「表面的」であって、「正しい」とは言へない。
然るに、
(04)により、
(35)
もう一度、確認すると、
① P→Q(Pであるならば、Qである)。
② ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
に於いて、
①=② である(含意の定義)。
然るに、
(36)
1 (1)~P∨Q A
2 (2)~P A
2 (3)~P∨Q 2∨I
2 (4) P→Q 3含意の定義
5(5) Q A
5(6)~P∨Q 5∨I
5(7) P→Q 6含意の定義
1 (8) P→Q 12457∨E
従って、
(36)により、
(37)
1 (1)~P∨Q A
ではなく、
1 (2)P&~Q A
であるならば、
2 (3)~P∨Q 2∨I
2 (4) P→Q 3含意の定義
5(5) Q A
5(6)~P∨Q 5∨I
5(7) P→Q 6含意の定義
1 (8) P→Q 12457∨E
といふことには、「ならない」。
従って、
(36)により、
(37)
① P& Q├ P→Q
② P&~Q├ ~(P→Q)
③ ~P& Q├ P→Q
④ ~P&~Q├ P→Q
然るに、
(38)
1(1) ~(P→Q) A
1(2)~(~P∨Q) 1含意の定義
1(3) P&~Q 2ド・モルガンの法則
然るに、
(39)
① P&~P
② P&~Q
に於いて、言ふまでもなく、
① は「矛盾」であるが、
② は「矛盾」ではない。
従って、
(38)(39)により、
(40)
(ⅰ)
1(1) ~(P→P) A
1(2)~(~P∨P) 1含意の定義
1(3) P&~P 2ド・モルガンの法則
(4)~~(P→P) 13RAA
(5) P→P 4DN
に対して、
(ⅱ)
1(1) ~(P→Q) A
1(2)~(~P∨Q) 1含意の定義
1(3) P&~Q 2ド・モルガンの法則
(4)~~(P→Q) 13RAA
(5) P→Q 4DN
ではない。
従って、
(33)~(40)により、
(41)
例へば、
① P→P(Pであるならば、Pである)。
② P→Q(Pであるならば、Qである)。
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であるが、
② は、「恒真式(トートロジー)」ではない。
(01)
① P∨~P (Pであるか、または、Qである)。
② P&Q→P(PであってQであるならば、Pである)。
に於いて、すなはち、
①「排中律」。
②「連言除去」。
に於いて、
① は「恒真式(トートロジー)」であって、
② も「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(02)
(ⅰ)
1 (1) ~(P∨~P) A
2(2) P A
2(3) P∨~P 2∨I
12(4) ~(P∨~P)&
(P∨~P) 13&I
1 (5) ~P 24RAA
1 (6) P∨~P 5∨I
1 (7) ~(P∨~P)&
(P∨~P) 16&I
(8)~~(P∨~P) 17RAA
(9) P∨~P 8DN
(ⅱ)
1(1) P&Q A
1(2) P 1&E
(3)(P&Q)→P 12CP
(〃)
1(1) ~{(P&Q)→ P} A
1(2)~{~(P&Q)∨ P} 1含意の定義
1(3) (P&Q)&~P 2ド・モルガンの法則
1(4) P&Q 3&E
1(5) P 4&E
1(6) ~P 3&E
1(7) P&~P 56&I
(8)~~{(P&Q)→ P} 17RAA
(9) (P&Q)→ P 8DN
従って、
(02)により、
(03)
①├ P∨~P (Pであるか、または、Qである)。
②├(P&Q)→P(PであってQであるならば、Pである)。
といふ「連式(Sequents)」は、2つとも「妥当(Valid)」である。
然るに、
(04)
③ A├ B
に於いて、
③ A は、「連式の仮定」であって、
③ B は、「連式の結論」である。
従って、
(03)(04)により、
(05)
①├ P∨~P
②├(P&Q)→P
といふ「連式」に於いては、
① P∨~P
② (P&Q)→P
といふ「連式の結論」だけが有って、「連式の仮定」は「無い」。
従って、
(01)(05)により、
(06)
(a)「恒真式(トートロジー)」とは、
(b)「仮定の数が0個」であると所の、
(c)「連式の結論」である。
然るに、
(07)
(ⅱ)
1(1) P&Q A
1(2) P 1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅲ)
1(1) P&~Q A
1(2) P 1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅳ)
1 (1) ~P&Q A
2(2) P&Q A
1 (3) ~P 1&E
2(4) P 2&E
12(5) ~P&P 34&I
1 (6)~(P&Q) 25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
(ⅴ)
1 (1) ~P&~Q A
2(2) P& Q A
1 (3) Q 1&E
2(4) ~Q 2&E
12(5) ~Q&Q 34&I
1 (6)~(P&Q) 25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
従って、
(07)により、
(08)
③ P& Q├(P&Q)→P
④ P&~Q├(P&Q)→P
⑤ ~P& Q├(P&Q)→P
⑥ ~P&~Q├(P&Q)→P
といふ「4つの連式」は、すべて「妥当」であって、
尚且つ「4つの連式」の「仮定の個数」は、すべて「2個」である。
従って、
(05)(06)(08)により、
(09)
(a)「恒真式(トートロジー)」とは、
(b)「仮定の数が0個」である所の、
(c)「連式の結論」である。
とするならば、その場合は、
② ├(P&Q)→P
③ P& Q├(P&Q)→P
④ P&~Q├(P&Q)→P
⑤ ~P& Q├(P&Q)→P
⑥ ~P&~Q├(P&Q)→P
に於ける、
②(P&Q)→P
は、「恒真式(トートロジー)」であるが、
③(P&Q)→P
④(P&Q)→P
⑤(P&Q)→P
⑥(P&Q)→P
は、「恒真式(トートロジー)」ではない。
といふことになって、『矛盾』する。
然るに、
(10)
(1)P∨~P TI(排中律)
(2)Q∨~Q TI(排中律)
3 (3)P A
4 (4)Q A
34 (5)P&Q 34&I
34 (6)P 5&E
34 (7)~(P&Q)∨P 5∨I
34 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
9 (9) ~Q A
3 9 (ア)P&~Q 39&I
3 9 (イ)P ア&E
3 9 (ウ)~(P&Q)∨P イ∨I
3 9 (エ) (P&Q)→P ウ含意の定義
3 (オ) (P&Q)→P 2489エ∨E
カ (カ) ~P A
キ (キ)Q A
カキ (ク) ~P&Q カキ&I
ケ (ケ) P&Q A
カキ (コ) ~P ク&E
ケ (ケ) P ケ&E
カキケ (サ) ~P&P コサ&I
カキ (シ)~(P&Q) ケサRAA
カキ (ス)~(P&Q)∨P シ∨I
カキ (セ) (P&Q)→P ス含意の定義
ソ (ソ) ~Q A
カ ソ (タ)~P&~Q カソ&I
チ(チ) P& Q A
カ ソ (ツ) ~Q タ&E
チ(テ) Q チ&E
カ ソチ(ト) ~Q&Q ツテ&I
カ ソ (ナ)~(P&Q) チトRAA
カ ソ (ニ)~(P&Q)∨P ナ∨I
カ ソ (ヌ) (P&Q)→P ニ含意の定義
カ (ネ) (P&Q)→P 2キセソヌ∨E
(ノ) (P&Q)→P 13オカネ∨E
従って、
(09)(10)により、
(11)
①├ P∨~P(排中律)
②├ Q∨~Q(排中律)
といふ「恒真式(トートロジー)」によって、
③ P& Q├(P&Q)→P
④ P&~Q├(P&Q)→P
⑤ ~P& Q├(P&Q)→P
⑥ ~P&~Q├(P&Q)→P
といふ「4つの連式」は、「4つとも」、
③├(P&Q)→P
④├(P&Q)→P
⑤├(P&Q)→P
⑥├(P&Q)→P
といふ「恒真式(トートロジー)」に「置き換へ」ることが出来る。
然るに、
(12)
③ P& Q├(P&Q)→P
④ P&~Q├(P&Q)→P
⑤ ~P& Q├(P&Q)→P
⑥ ~P&~Q├(P&Q)→P
といふ「4つの連式」が、「4つとも妥当」であるといふことは、「(P&Q)→P」といふ「論理式」は、「真理値表」で「真理値」を「確認」した際に、
(ⅰ)P(真)& Q(真)
(ⅱ)P(真)& Q(偽)
(ⅲ)P(偽)& Q(真)
(ⅳ)P(偽)& Q(偽)
といふ「4つのパターン」で「すべて真」になるといふことであり、
(ⅰ)P(真)& Q(真)
(ⅱ)P(真)& Q(偽)
(ⅲ)P(偽)& Q(真)
(ⅳ)P(偽)& Q(偽)
といふ「4つのパターン」で「すべて真」になるのであれば、「恒真(トートロジー)」である。
cf.
真理値表(しんりちひょう、Truth table)は、論理関数(真理関数)の、入力の全てのパターンとそれに対する結果の値を、表にしたものである(ウィキペディア)。
従って、
(10)(11)(12)により、
(13)
「番号」を付け替へるとして、
① P& Q├(P&Q)→P
② P&~Q├(P&Q)→P
③ ~P& Q├(P&Q)→P
④ ~P&~Q├(P&Q)→P
ではなくて、
① P& Q├(任意の式A)
② P&~Q├(任意の式A)
③ ~P& Q├(任意の式A)
④ ~P&~Q├(任意の式A)
であったとしても、
① P& Q├(任意の式A)
② P&~Q├(任意の式A)
③ ~P& Q├(任意の式A)
④ ~P&~Q├(任意の式A)
といふ「連式」が「妥当」であるならば、すなはち、「任意の式A」が、「恒真(トートロジー)」であるならば、そのとき限って、
(1)P∨~P TI(排中律)
(2)Q∨~Q TI(排中律)
3 (3)P A
4 (4) ~P A
5 (5)Q A
6(6) ~Q A
3 5 (7)(任意の式A) 35SI(ⅰ)
3 6(8)(任意の式A) 36SI(ⅱ)
45 (9)(任意の式A) 37SI(ⅲ)
4 6(ア)(任意の式A) 38SI(ⅳ)
5 (イ)(任意の式A) 13749∨E
6(ウ)(任意の式A) 1384ア∨E
(エ)(任意の式A) 25イ6ウ∨E
といふ「(排中律を用いた)計算」によって、
①├(任意の式A)
②├(任意の式A)
③├(任意の式A)
④├(任意の式A)
といふ「恒真式(トートロジー)」を、すなはち、
①├(任意の式A)
は、「証明」出来る。
従って、
(01)~(13)により、
(14)
以上の「説明」は、「十分」ではないが、概ね、「以上のような考え方」で、
すべてのトートロジー的連式は導出可能(deribable)である。
といふことが「証明(納得)」出来る。
(01)
(ⅰ)
1(1)~P A
1(2)~P∨Q 1∨I
1(3) P→Q 1含意の定義
(ⅱ)
1(1)~P A
1(2)~P∨~Q 1∨I
1(3) P→~Q 1含意の定義
(ⅲ)
1(1) Q A
1(2)~P∨Q 1∨I
1(3) P→Q 2含意の定義
(ⅳ)
1(1) Q A
1(2)~~P∨Q 1∨I
1(3) ~P→Q 2含意の定義
従って、
(01)により、
(02)
① ~P├ P→ Q
② ~P├ P→~Q
③ Q├ P→ Q
④ Q├ ~P→ Q
といふ「連式(sequents)」は、4つとも「妥当」である。
従って、
(02)により、
(03)
(a)「偽なる命題」は「任意の命題」を含意し、
(b)「真なる命題」は「任意の命題」から含意される。
(大西拓郎、#24厳密含意の論理、ユーチューブ)
従って、
(02)(03)により、
(04)
①(偽)→(真)
②(偽)→(偽)
③(真)→(真)
④(偽)→(真)
といふ『仮言命題』は、4つとも「真」である。
然るに、
(05)
(徳四)=徳島は四国である。
(徳九)=徳島は九州である。
(高四)=高知は四国である。
(高九)=高知は九州である。
とする。
従って、
(04)(05)により、
(06)
①(偽)→(真)
②(偽)→(偽)
③(真)→(真)
④(偽)→(真)
といふ『仮言命題』は、4つとも「真」であるが故に、
① (高九)→(徳四)。
② (高九)→(徳九)。
③ (高四)→(徳四)。
④ (高九)→(徳四)。
といふ『仮言命題』は、4つとも「真」である。
然るに、
(07)
「事実」として、
従って、
(05)(07)により、
(08)
① (高九)。
② (高九)。
③ (高四)。
④ (高九)。
といふ「4つ」の内、「事実」として「真」であるのは、
① (高九)。
② (高九)。
④ (高九)。
といふ3つではなく、
③ (高四)。
といふ「1つだけ」である。
従って、
(06)(08)により、
(09)
① (高九)→(徳四)。
② (高九)→(徳九)。
③ (高四)→(徳四)。
④ (高九)→(徳四)。
といふ『仮言命題』は、4つとも「真」であるとしても、
① (高九)→
② (高九)→
③ (高四)→
④ (高九)→
といふ「4つ(の前件)」の内で「真」であるのは、
③ (高四)→
といふ「1つ(の前件)だけ」である。
従って、
(09)により、
(10)
① →(徳四)。
② →(徳九)。
③ →(徳四)。
④ →(徳四)。
といふ「4つ(の後件)」の内で「真」であるのは、
③ →(徳四)。
といふ「1つ(の後件)だけ」である。
従って、
(01)~(10)により、
(11)
① ~P├ P→ Q
② ~P├ P→~Q
③ Q├ P→ Q
④ Q├ ~P→ Q
といふ「連式(sequents)」が、4つとも「妥当」であるといふ「理由」により、
①(偽)→(真)
②(偽)→(偽)
③(真)→(真)
④(偽)→(真)
といふ『仮言命題』が、4つとも「真」であるといふことから、
① (高九)→(徳四)。
② (高九)→(徳九)。
③ (高四)→(徳四)。
④ (高九)→(徳四)。
といふ『仮言命題』が、4つとも「真」であるとしても、「実際(現実)」には、
② (徳九)=(徳島は九州である)。
といふ「命題」は「証明」されずに、
③ (徳四)=(徳島は四国である)。
といふ「命題」が「証明」される、ことになる。
従って、
(02)(03)(11)により、
(12)
① ~P├ P→ Q
② ~P├ P→~Q
③ Q├ P→ Q
④ Q├ ~P→ Q
といふことであっても、すなはち、
(a)「偽なる命題」は「任意の命題」を含意し、
(b)「真なる命題」は「任意の命題」から含意される。
といふことであったとしても、実際には、「何らの問題も無い」。
然るに、
(13)
(ⅰ)
1 (1) ~P A
1 (2) ~P∨Q 1∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
(4) ~P→(P→Q)13CP
5(5) P&~P A
5(6) ~P 5&E
5(7) P→Q 46MPP
5(8) P 5&E
5(9) Q 78MPP
(ア)(P&~P)→Q 59CP
(ⅱ)
1(1)~{ (P&~P)→ Q} P
1(2)~{~(P&~P)∨ Q} 1含意の定義
1(3) (P&~P)&~Q 2ド・モルガンの法則
1(4) P&~P 3&E
(5) (P&~P)→Q 14RAA
従って、
(13)により、
(14)
①「条件法(CP)」 と、
②「背理法(RAA)」により、
①(P&~P)→Q
②(P&~P)→Q
といふ「命題」、すなはち、
①(矛盾)が真であるならば、(任意の命題)は真である。
②(矛盾)が真であるならば、(任意の命題)は真である。
といふ「命題」は、「恒真(トートロジー)」である。
然るに、
(15)
(ⅰ)
1 (1) ~P A
1 (2) ~P∨Q 1∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
(4) ~P→(P→Q)13CP
5(5) P&~P A
といふ「計算」は、むしろ、
(ⅰ)
1 (1) ~P A
1 (2) ~P∨Q 1∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
(4) ~P→(P→Q)13CP
5(5) P&~P A
(6)~(P&~P) 55RAA
(7) ~P∨ P 6含意の定義
といふ風に、「書くべき」である。
従って、
(14)(15)により、
(15)
①(矛盾)が真であるならば、(任意の命題)は真である。
といふ「命題」が、「恒真(トートロジー)」であるとしても、
①(矛盾)は真ではなく、偽である。
といふ「理由」により、
①(任意の命題)は真である。
といふことには、ならない。
(01)
(ⅰ)
1(1) ¬A A
1(2) ¬A∨B 1∨I
1(3) A→B 2含意の定義
(ⅱ)
1(1) ¬A A
1(2) ¬A∨¬B 1∨I
1(3) A→¬B 2含意の定義
従って、
(01)により、
(02)
① ¬A├ A→ B
② ¬A├ A→¬B
といふ「連式」は、2つとも「妥当」である。
然るに、
(02)により、
(03)
① ¬A├ A→ B
② ¬A├ A→¬B
といふ「連式」は、2つとも「妥当」である。
といふことは、
① A→ B
② A→¬B
に於いて、
① Aが(偽)であるならば、 B(Bであり)、
② Aが(偽)であるならば、¬B(Bでない)。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1(1) A A
1(2)¬¬A∨B 1∨I
1(3) ¬A→B 2含意の定義
(ⅱ)
1(1) A A
1(2)¬¬A∨¬B 1∨I
1(3) ¬A→¬B 2含意の定義
従って、
(04)により、
(05)
① A├ ¬A→ B
② A├ ¬A→¬B
といふ「連式」は、2つとも「妥当」である。
然るに、
(05)により、
(06)
① A├ ¬A→ B
② A├ ¬A→¬B
といふ「連式」は、2つとも「妥当」である。
といふことは、
① ¬A→ B
② ¬A→¬B
に於いて、
① ¬Aが(偽)であるならば、 B(Bであり)、
② ¬Aが(偽)であるならば、¬B(Bでない)。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
(03)(06)により、
(07)
いづれにせよ、
①(偽)→(真)
②(偽)→(偽)
は、両方とも、「真」である。
然るに、
(08)
③(真)→(真)
④(真)→(偽)
に於いて、
③ は「真」であり、
④ は「偽」である。
従って、
(07)(08)により、
(09)
①(偽)→(真)
②(偽)→(偽)
③(真)→(真)
④(真)→(偽)
に於いて、
④ だけが「偽」であるものの、
①(偽)→(真)
②(偽)→(偽)
が、両方とも「真」である。
といふことは、「分かり難い」といふ風に、思ふ人が、100年前から、「少なくからずゐる」。
cf.
然るに、
(10)
(ⅰ)
1 (1)¬A A
1 (2)¬A∨ B 1∨I
1 (3) A→ B 2含意の定義
2(4) A A
12(5)¬A& A 14&I
1 (6)¬A 25RAA
であるため、
(〃)
1 (1)¬A A
1 (2)¬A∨ B 1∨I
1 (3) A→ B 2含意の定義
2(4) A A
12(5) B 34MPP
といふことには、ならないし、
(ⅱ)
1 (1)¬A A
1 (2)¬A∨¬B 1∨I
1 (3) A→¬B 2含意の定義
2(4) A A
12(5)¬A& A 14&I
1 (6)¬A 25RAA
であるため、
(〃)
1 (1)¬A A
1 (2)¬A∨¬B 1∨I
1 (3) A→¬B 2含意の定義
2(4) A A
12(5) ¬B 34MPP
といふことにも、ならない。
従って、
(10)により、
(11)
① ¬A├ A→ B
② ¬A├ A→¬B
① A├ ¬A→ B
② A├ ¬A→¬B
といふ「連式」が「妥当」であるからと言って、
① B&¬B(矛盾)が「導出」されるわけでも、
② ¬B&B(矛盾)が「導出」されるわけでない。
然るに、
(12)
(ⅲ)
1(1) B A
1(2) ¬A∨B 1∨I
1(3) A→B 2含意の定義
1(4)¬¬A∨B 3∨I
1(5) ¬A→B 4含意の定義
1(6) (A→B)&
1(7)(¬A→B) 35&I
従って、
(12)により、
(13)
③ B├(A→B)&(¬A→B)
であるものの、この「連式」は、
③ Bなので、Aであらうと、なからうと、いづれにせよ、Bである。
といふ「意味」に取れるし、
③ Bなので、Aであらうと、なからうと、いづれにせよ、Bである。
といふことは、もちろん、「正しい」。
(01)
① (Pでない)か、または(Qである)。
② (Pでない)か、または(Qである)といふ2つの内の、少なくとも、一方は「真」である。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(02)
② (Pでない)か、または(Qである)といふ2つの内の、少なくとも、一方は「真」である。
③{(Pでない)が「偽」であって、その上、(Qである)も「偽」である}といふことはない。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(03)
③(Pでない)が「偽」である。
④(Pである)が「真」である。
に於いて、
③=④ である。
従って、
(03)により、
(04)
③{(Pでない)が「偽」であって、その上、(Qである)も「偽」である}といふことはない。
④{(Pである)が「真」であって、その上、(Qである)も「偽」である}といふことはない。
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(05)
④{(Pである)が「真」であって、その上、(Qである)が「偽」である}といふことはない。
⑤ (Pである)が「真」であるならば、 (Qである)も「真」である。
に於いて、
④=⑤ である。
然るに、
(06)
⑤ (Pである)が「真」であるならば、 (Qである)も「真」である。
⑥ (Pである) ならば、 (Qである)。
に於いて、
⑤=⑥ である。
従って、
(01)~(06)により、
(07)
① (Pでない)か、または(Qである)。
② (Pでない)か、または(Qである)といふ2つの内の、少なくとも、一方は「真」である。
③{(Pでない)が「偽」であって、その上、(Qである)も「偽」である}といふことはない。
④{(Pである)が「真」であって、その上、(Qである)が「偽」である}といふことはない。
⑤ (Pである)が「真」であるならば、 (Qである)も「真」である。
⑥ (Pである) ならば、 (Qである)。
に於いて、
①=②=③=④=⑤=⑥ であって、尚且つ、
⑥=⑤=④=③=②=① である。
従って、
(07)により、
(08)
「番号」を付け直すと、
①(Pである)ならば、 (Qである)。
②(Pでない)か、または(Qである)。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(09)
(ⅰ)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
12 (4) Q 13MPP
2 (5) ~Q 2&E
12 (6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~(P&~Q) 2RAA
8 (8) ~(~P∨Q) A
9 (9) ~P A
9 (ア) ~P∨Q 9∨I
89 (イ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8ア&I
8 (ウ) ~~P 9RAA
8 (エ) P ウDN
オ(オ) Q A
オ(カ) ~P∨Q オ∨I
8 オ(キ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8カ&I
8 (ク) ~Q オキRAA
8 (ケ) P&~Q エク&I
1 8 (コ) ~(P&~Q)&
(P&~Q) 8ケ&I
1 (サ)~~(~P∨Q) 8コRAA
1 (シ) ~P∨Q サDN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
12 (ウ) (P&~Q)&
~(P&~Q) 12&I
1 (エ)~(P&~Q) 2ウRAA
オ (オ) P A
カ(カ) ~Q A
オカ(キ) P&~Q オカ&I
1 オカ(ク)~(P&~Q)&
(P&~Q) エキ&I
1 オ (ケ) ~~Q カクDN
1 オ (コ) Q ケDN
1 (サ) P→ Q オコCP
従って、
(09)により、
(10)
① P→Q
② ~P∨Q
に於いて、
①=② である。
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
「日本語」で言ふと、
①(Pである)ならば、 (Qである)。
②(Pでない)か、または(Qである)。
「記号」で書くと、
① P→Q
② ~P∨Q
に於いて、
①=② である。
従って、
(11)により、
(12)
P=Pでない。
Q=Pである。
といふ「代入(replacement)」により、
①(Pでないである)ならば、 (Pであるである)。
②(Pでないでない)か、または(Pであるである)。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(12)により、
(13)
「否定肯定律(?)」と、
「肯定肯定律(?)」と、
「二重否定律(DN)」により、
①(Pでない)ならば、 (Pである)。
②(Pである)か、または(Pである)。
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)~(08)と、
(09)~(13)により、
(14)
「日本語」で「考へ」ても、
「論理式」で「計算」しても、
①(Pでない)ならば、 (Pである)。
②(Pである)か、または(Pである)。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(15)
②(Pである)か、または(Pである)。
③(Pである)。
に於いて、
②=③ は、「冪等律」である。
従って、
(14)(15)により、
(16)
①(Pでない)ならば、 (Pである)。
②(Pである)か、または(Pである)。
③(Pである)。
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(16)により、
(17)
「昨日(令和6年1月31日)」も書いた通り、
①(Pでない)ならば(Pである)。
②(Pである)。
に於いて、
①=② である。
―「20:28 2024/02/01」の時点で、この「記事の補足」が、完成してゐるので、明日、アップロードします。―
(01)
① ~P∨P(Pでないか、または、Pである)。
は「排中律」であって、「排中律」は「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(02)
(ⅰ)
1 (1) ~P∨P A
2 (2) ~P A
2 (3) ~P&~P 22&I
2 (4) ~(P∨P) 3ド・モルガンの法則
2 (5) ~(~P→P) 4含意の定義
2 (6) ~(~P→P)∨ P 5∨I
7(7) P A
7(8) ~(~P→P)∨ P 7∨I
1 (9) ~(~P→P)∨ P 12678∨E
1 (ア)~{(~P→P)&~P} 9ド・モルガンの法則
(ⅱ)
1 (1)~{(~P→P)&~P} A
1 (2) ~(~P→P)∨ P 1ド・モルガンの法則
3 (3) ~(~P→P) A
3 (4) ~(P∨P) 3含意の定義
3 (5) ~P&~P 4ド・モルガンの法則
3 (6) ~P 5&I
3 (7) ~P∨P 6∨I
8(8) P A
8(9) ~P∨P 8∨I
1 (ア) ~P∨P 13789∨E
従って、
(02)により、
(03)
① ~P∨P
② ~{(~P→P)&~P}
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① ~P∨P(排中律)
② ~{(~P→P)&~P}
に於いて、
①=② であるが故に、
① は「恒真式(トートロジー)」であって、
② も「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(04)により、
(05)
① ~P∨P(排中律)
② ~{(~P→P)&~P}
に対する「否定」は、
① ~(~P∨P)
② (~P→P)&~P
である。
然るに、
(06)
(ⅱ)
1(1)(~P→P)&~P A
1(2) ~P→P 1&E
1(3) ~P 1&E
1(4) P 23MPP
1(5) P&~P 34&I
(ⅲ)
1(1) P&~P A
1(2) ~P 1&E
1(3) P 1&E
1(4) ~~P∨P 3∨I
1(5) ~P→P 4含意の定義
1(6)(~P→P)&~P 25&I
従って、
(06)により、
(07)
②(~P→P)&~P
③ P&~P(Pであって、Pでない)。
に於いて、
②=③ であるが、
③ は『矛盾』である。
従って、
(07)により、
(08)
②(~P→P)&~P
③ P&~P
に於いて、すなはち、
②(Pでないならば、Pである)が、Pではない。
③ Pであるが、Pではない。
に於いて、
②=③ であるが故に、
② は『矛盾』であり、
③ も『矛盾』である。
然るに、
(08)により、
(09)
②(~P→P)&~P
③ P& ~P
に於いて、
②=③ である。
といふことは、
②(~P→P)
③ P
②=③ である。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
(10)
(ⅱ)
1 (1) ~P→P A
2(2) ~P A
12(3) P 12MPP
12(4) ~P&P 23&
1 (5)~~P 24RAA
1 (6) P 5DN
(ⅲ)
1(1) P A
1(2)~~P 1DN
1(3)~~P∨P 2∨I
1(4) ~P→P 3含意の定義
従って、
(09)(10)により、
(11)
果たして、
② ~P→P
③ P
に於いて、すなはち、
② Pでないならば、Pである。
③ Pである。
に於いて、
②=③ であるが、
② Pでないならば、Pである。
の「対偶」も、
② Pでないならば、Pである。
である。
従って、
(11)により、
(12)
③ Pである。
といふ「言ひ方」が、『矛盾』ではない以上、
② Pでないならば、Pである。
といふ「言ひ方」も、『矛盾』では、決してない。
従って、
(01)~(12)により、
(13)
② Pでないならば、Pである。
といふ「言ひ方」は、
② Pでない。
としたら、『矛盾』するので、『矛盾』を認めないのであれば、
② Pでない。
とは「言へず」に、それ故、
② Pである。
といふ「意味」に、取れないことも、無い。
(01)
(ⅰ)
1 (1) P→ Q A
2(2) P&~Q A
2(3) P A
12(4) Q 13MPP
2(5) ~Q 26E
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7)~(P&~Q) 26RAA
(ⅱ)
1 (1)~(P&~Q) A
2 (2) P A
3(3) ~Q A
23(4) P&~Q 23&I
123(5)~(P&~Q)&
(P&~Q) 14&I
12 (6) ~~Q 35RAA
12 (7) Q 6DN
1 (8) P→ Q 27CP
従って、
(01)により、
(02)
① P→ Q
② ~(P&~Q)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
(ⅱ)
1 (1) ~(P&~Q) A
2 (2) ~(~P∨ Q) A
3 (4) ~P A
3 (5) ~P∨ Q 4∨I
23 (6) ~(~P∨ Q)&
(~P∨ Q) 25&I
2 (7) ~~P 36RAA
2 (8) P 7DN
9(9) Q A
9(ア) ~P∨ Q 9∨I
2 9(イ) ~(~P∨ Q)&
(~P∨ Q) 2ア&I
2 (ウ) ~Q 9イRAA
2 (エ) P&~Q 8ウ&I
12 (オ) ~(P&~Q)&
(P&~Q) 1エ&I
1 (カ)~~(~P∨ Q) 2オRAA
1 (キ) (~P∨ Q) カDN
(ⅲ)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6) ~(P&~Q) 25RAA
7(7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7(9) Q&~Q 78&I
7(ア) ~(P&~Q) 29RAA
1 (イ) ~(P&~Q) 1367ア∨E
12 (ウ) (P&~Q)&
~(P&~Q) 12&I
1 (エ) ~(P&~Q) 2ウRAA
従って、
(03)により、
(04)
② ~(P&~Q)
③ ~P∨ Q
に於いて、
②=③ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(02)(04)により、
(05)
① P→ Q
② ~(P&~Q)
③ ~P∨ Q
に於いて、
①=② であって(含意の定義)、
②=③ であって(ド・モルガンの法則)、
①=②=③ である。
従って、
(05)により、
(06)
Q=P
といふ「代入(replacement)」により、
① P→ P
② ~(P&~P)
③ ~P∨ P
に於いて、
①=② であって(含意の定義)、
②=③ であって(ド・モルガンの法則)、
①=②=③ である。
従って、
(06)により、
(07)
「日本語」で言ふと、
① Pであるならば、Pである。
② Pでないか、または、Pである。
③(Pであって、Pでない)といふことはない。
といふ「言ひ方」は、順番に、
① 同一律(恒真)。
② 矛盾律(恒真)。
③ 排中律(恒真)。
として、
①=②=③ である。
然るに、
(06)により、
(08)
① P→ P
② ~(P&~P)
③ ~P∨ P
を「否定」すると、
① ~(P→ P)
② ~~(P&~P)
③ ~(~P∨ P)
に於いて、
①=②=③ であるが、「二重否定律」により、
② ~~(P&~P)
といふ「論理式」は、
② (P&~P)
といふ「論理式」、すなはち、「矛盾」である。
従って、
(07)(08)により、
(09)
① 同一律(恒真)。
② 矛盾律(恒真)。
③ 排中律(恒真)。
の「否定」は、「3つとも、矛盾(恒偽)」である。
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
「恒真式(トートロジー)」を「否定」すると、そのときに限って、
「恒偽式(矛盾)」になる。
然るに、
(11)
(ⅳ)
1(1) ~(P&Q→ P) A
1(2)~{~(P&Q)∨ P} 1含意の定義
1(3) (P&Q)&~P 2ド・モルガンの法則
1(4) P&Q &~P 3結合法則
1(5) P 4&E
1(6) ~P 4&E
1(7) P&~P(矛盾) 56&I
(ⅴ)
1 (1) ~(((P→Q)→P)→ P) A
1 (2) ~(((~P∨Q)→P)→ P) 1含意の定義
1 (3) ~((~(~P∨Q)∨P)→ P) 2含意の定義
1 (4)~(~(~(~P∨Q)∨P)∨ P) 3含意の定義
1 (5) (~(~P∨Q)∨P)&~P 4ド・モルガンの法則
1 (6) ((P&~Q)∨P)&~P 5ド・モルガンの法則
1 (7) (P&~Q)∨P 6&E
8 (8) P&~Q A
8 (9) P 8&E
ア(ア) P A
1 (イ) P 789アア∨E
1 (ウ) ~P 6&E
1 (エ) P&~P(矛盾) イウ&I
従って、
(10)(11)により、
(12)
⑤ P&Q→P
⑥(((P→Q)→P)→P)
は、「2つとも、恒真(トートロジー)」である。
従って、
(05)~(12)により、
(13)
① P→ P
② ~(P&~P)
③ ~P∨ P
⑤ P&Q→P
⑥(((P→Q)→P)→P)
といふ「5つの論理式」、すなはち、
① 同一律。
② 矛盾律。
③ 排中律。
④ 連言除去。
⑤ パースの法則。
は、「5つとも、恒真(トートロジー)」である。
然るに、
(14)
(ⅵ)
1(1)~{ ∀x(Fx)→∃x(Fx)} A
1(2)~{~∀x(Fx)∨∃x(Fx)} 1含意の定義
1(3) ∀x(Fx)&~∃x(Fx) 2ド・モルガンの法則
1(4) ∀x(Fx) 3&E
1(5) Fa 4UE
1(6) ~∃x(Fx) 3&E
1(7) ∀x(~Fx) 6量化子の関係
1(8) ~Fa 7UE
1(9) Fa&~Fa(矛盾) 58&I
従って、
(10)(14)により、
(15)
⑥ ∀x(Fx)→∃x(Fx)
⑥ すべてのxがFであるならば、あるxはFである。
といふ「述語論理式」も、「恒真(トートロジー)」であるが、
⑥ ∀x(Fx)→∃x(Fx)
といふ「式」は、「命題論理」に於ける、
⑤ P&Q→P(連言除去)
⑤ PであってQであるならば、Qである。
に「相当」する。
然るに、
(16)
(ⅰ)
1 (1) (P→Q)→P A
1 (2) ~(P→Q)∨P 1含意の定義
3 (3) ~(P→Q) A
3 (4)~(~P∨Q) 3含意の定義
3 (5) P&~Q 4ド・モルガンの法則
3 (6) P 5&E
7(7) P A
1 (8) P 13677∨E
(9)((P→Q)→P)→P 18CP
(ⅱ)
1 (1) ~(((P→Q)→P)→ P) A
1 (2) ~(((~P∨Q)→P)→ P) 1含意の定義
1 (3) ~((~(~P∨Q)∨P)→ P) 2含意の定義
1 (4)~(~(~(~P∨Q)∨P)∨ P) 3含意の定義
1 (5) (~(~P∨Q)∨P)&~P 4ド・モルガンの法則
1 (6) ((P&~Q)∨P)&~P 5ド・モルガンの法則
1 (7) (P&~Q)∨P 6&E
8 (8) P&~Q A
8 (9) P 8&E
ア(ア) P A
1 (イ) P 789アア∨E
1 (ウ) ~P 6&E
1 (エ) P&~P(矛盾) イウ&I
(オ) ~~(((P→Q)→P)→ P) 1エRAA
(カ) ((P→Q)→P)→ P オDN
従って、
(16)により、
(17)
① ├((P→Q)→P)→P
② ├((P→Q)→P)→P
といふ「パースの法則(恒真式)」がそうであるやうに、
①「恒真(トートロジー)」とは、「仮定の数が0である」所の、「連式の結論」である。
②「恒真(トートロジー)」とは、「仮定の数が0である」所の、「連式の結論」である。
然るに、
(18)
①「仮定の数が0である」。
②「仮定の数が0である」。
といふことは、
①「恒真(トートロジー)である」。
②「恒真(トートロジー)である」。
といふことに、「他ならない」。