(01)
① ∃x∃y{(Fx&Fy)&x≠y}⇔
① あるxとあるyについて{(xはFであり、yもFであるが)、xはyではない。}⇔
① 少なくとも、2個以上の対象(objects)がFである。
然るに、
(02)
② ∃x∃y∃z{(Fx&Fy&Fz)&(x≠y&x≠z&y≠z)}⇔
② あるxとあるyとあるzについて{(xはFであり、yもFであり、zもFであるが)、xはyではなく、xはzでもなく、zもyではない。}⇔
② 少なくとも、3個以上の対象(objects)がFである。
従って、
(02)により、
(03)
③ ~∃x∃y∃z{(Fx&Fy&Fz)&(x≠y&x≠z&y≠z)}⇔
③(3個以上の対象(objects)がFである)といふことはない。⇔
③ Fである対象(objects)は、多くとも、高々、2個以下である。
然るに、
(04)
(ⅲ)
1 (1)~∃x∃y∃z{(Fx&Fy&Fz)& (x≠y&x≠z&y≠z)} A
1 (2)∀x~∃y∃z{(Fx&Fy&Fz)& (x≠y&x≠z&y≠z)} 1量化子の関係
1 (3)∀x∀y~∃z{(Fx&Fy&Fz)& (x≠y&x≠z&y≠z)} 2量化子の関係
1 (4)∀x∀y∀z~{(Fx&Fy&Fz)& (x≠y&x≠z&y≠z)} 3量化子の関係
1 (5) ∀y∀z~{(Fa&Fy&Fz)& (a≠y&a≠z&y≠z)} 4UE
1 (6) ∀z~{(Fa&Fb&Fz)& (a≠b&a≠z&b≠z)} 5UE
1 (7) ~{(Fa&Fb&Fc)& (a≠b&a≠c&b≠c)} 6UE
1 (8) ~(Fa&Fb&Fc)∨~(a≠b&a≠c&b≠c) 7ド・モルガンの法則
1 (9) (Fa&Fb&Fc)→~(a≠b&a≠c&b≠c) 8含意の定義
ア(ア) (Fa&Fb&Fc) A
1ア(イ) ~(a≠b&a≠c&b≠c) 9アMPP
1ア(ウ) (a=b∨a=c∨b=c) イ、ド・モルガンの法則
1 (エ) (Fa&Fb&Fc)→ (a=b∨a=c∨b=c) アウCP
1 (オ) ∀z{(Fa&Fb&Fz)→ (a=b∨a=z∨b=z)} エUI
1 (カ) ∀y∀z{(Fa&Fy&Fz)→ (a=y∨a=z∨y=z)} オUI
1 (キ) ∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→ (x=y∨x=z∨y=z)} カUI
(ⅳ)
1 (1) ∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→ (x=y∨x=z∨y=z)} A
1 (2) ∀y∀z{(Fa&Fy&Fz)→ (a=y∨a=z∨y=z)} 1UE
1 (3) ∀z{(Fa&Fb&Fz)→ (a=b∨a=z∨b=z)} 2UE
1 (4) (Fa&Fb&Fc)→ (a=b∨a=z∨b=z) 3UE
5(5) (Fa&Fb&Fc) A
15(6) (a=b∨a=z∨b=z) 45MPP
15(7) ~(a≠b&a≠c&b≠c) 6ド・モルガンの法則
1 (8) (Fa&Fb&Fc)→~(a≠b&a≠c&b≠c) 57CP
1 (9) ~(Fa&Fb&Fc)∨~(a≠b&a≠c&b≠c) 8含意の定義
1 (ア) ~{(Fa&Fb&Fc)& (a≠b&a≠c&b≠c)} 9ド・モルガンの法則
1 (イ) ∀z~{(Fa&Fb&Fz)& (a≠b&a≠z&b≠z)} アUI
1 (ウ) ∀y∀z~{(Fa&Fy&Fz)→ (a=y∨a=z∨y=z)} イUI
1 (エ)∀x∀y∀z~{(Fx&Fy&Fz)& (x≠y&x≠z&y≠z)} ウUI
1 (オ)∀x∀y~∃z{(Fx&Fy&Fz)& (x≠y&x≠z&y≠z)} エ量化子の関係
1 (カ)∀x~∃y∃z{(Fx&Fy&Fz)& (x≠y&x≠z&y≠z)} オ量化子の関係
1 (キ)~∃x∃y∃z{(Fx&Fy&Fz)& (x≠y&x≠z&y≠z)} カ量化子の関係
従って、
(03)(04)により、
(05)
③ ~∃x∃y∃z{(Fx&Fy&Fz)&(x≠y&x≠z&y≠z)}≡Fである対象(objects)は、多くとも、2個以下である。
④ ∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)}≡Fである対象(objects)は、多くとも、2個以下である。
に於いて、
③=④ である。
従って、
(01)(05)により、
(06)
① ∃x∃y{(Fx&Fy)&x≠y} ≡少なくとも、2個以上の対象(objects)がFである。
④ ∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)}≡Fである対象(objects)は、多くとも、2個以下である。
従って、
(06)により、
(07)
⑤ ちょうど2個の対象がFである。
といふ「日本語」は、①&④ である所の、
⑤ ∃x∃y{(Fx&Fy)&x≠y}&∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)}
といふ「論理式」に「翻訳」出来る。
然るに、
(08)
(ⅴ)
1 (1)∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)&∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)} A
1 (2)∃x∃y(Fx&Fy&x≠y) 1&E
3 (3) ∃y(Fa&Fy&a≠y) A
4 (4) Fa&Fb&a≠b A
1 (5) ∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)} 1&E
1 (6) ∀y∀z{(Fa&Fy&Fz)→(a=y∨a=z∨y=z)} 5UE
1 (7) ∀z{(Fa&Fb&Fz)→(a=b∨a=z∨b=z)} 6UE
1 (8) (Fa&Fb&Fc)→(a=b∨a=c∨b=c) 7UE
4 (9) Fa&Fb 4&E
ア(ア) Fc A
4ア(イ) Fa&Fb&Fc 9ア&I
1 4ア(ウ) (a=b∨a=c∨b=c) 8イMPP
1 4ア(エ) (a=b)∨(a=c∨b=c) ウ結合法則
1 4ア(オ) ~(a≠b)∨(a=c∨b=c) エDN
1 4ア(カ) (a≠b)→(a=c∨b=c) オ含意の定義
4 (キ) a≠b 4&E
1 4ア(ク) (a=c∨b=c) カキMPP
1 4 (ケ) Fc→(a=c∨b=c) アクCP
1 4 (コ) ∀z(Fz→(a=z∨b=z) ケUI
1 4 (サ) (Fa&Fb&a≠b)&∀z[Fz→(a=z∨b=z)] 4コ&I
1 4 (シ) ∃y{(Fa&Fy&a≠y)&∀z[Fz→(a=z∨y=z)]} サEI
13 (ス) ∃y{(Fa&Fy&a≠y)&∀z[Fz→(a=z∨y=z)]} 34シEE
13 (セ)∃x∃y{(Fa&Fy&a≠y)&∀z[Fz→(a=z∨y=z)]} スEI
1 (ソ)∃x∃y{(Fx&Fy&x≠y)&∀z[Fz→(x=z∨y=z)]} 13セEE
(ⅵ)
1 (1)∃x∃y{(Fx&Fy&x≠y)&∀z[Fz→(x=z∨y=z)]} A
2 (2) ∃y{(Fa&Fy&a≠y)&∀z[Fz→(a=z∨y=z)]} A
3 (3) (Fa&Fb&a≠b)&∀z[Fz→(a=z∨b=z)]} A
3 (4) (Fa&Fb&a≠b) 3&E
3 (5) ∀z[Fz→(a=z∨b=z)] 3&E
3 (6) Fc→(a=c∨b=c) 5UE
7(7) Fa&Fb&Fc A
7(8) Fc 7&E
37(9) a=c∨b=c 68MPP
37(ア) a=b∨a=c∨b=c 9∨I
3 (イ) (Fa&Fb&Fc)→(a=b∨a=c∨b=c) 7アCP
3 (ウ) ∀z{(Fa&Fb&Fz)→(a=b∨a=z∨b=z)} イUI
3 (エ) ∀y∀z{(Fa&Fy&Fz)→(a=y∨a=z∨y=z)} ウUI
3 (オ) ∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)} エUI
3 (カ) (Fa&Fb&a≠b)&∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)} 4オ&I
3 (キ) ∃y(Fa&Fb&a≠b)&∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)} カEI
2 (ク) ∃y(Fa&Fb&a≠b)&∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)} 23キEE
2 (コ)∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)&∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)} クEI
1 (サ)∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)&∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)} 12コEE
従って、
(08)により、
(09)
⑤ ∃x∃y{(Fx&Fy)&x≠y}&∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)}
⑥ ∃x∃y{(Fx&Fy&x≠y)&∀z[Fz→(x=z∨y=z)]}
に於いて、
⑤=⑥ である。
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
⑥ ちょうど2個の対象がFである。⇔
⑥ ∃x∃y{(Fx&Fy&x≠y)&∀z[Fz→(x=z∨y=z)]}⇔
⑥ あるxとあるyについて{(xはFであり、yもFであるが、xとyは同一ではなく)、すべてのzについて[zがFであるならば、xがzであるか、または、yがzである]}。
といふ「等式」が「成立」する。
従って、
(10)により、
(11)
⑥ ちょうど2人の人物が犯人である。⇔
⑥ ∃x∃y{(犯人x&犯人y&x≠y)&∀z[犯人z→(x=z∨y=z)]}⇔
⑥ あるxとあるyについて{(xは犯人であり、yも犯人であるが、xとyは同一人物ではなく)、すべてのzについて[zが犯人であるならば、xがzであるか、または、yがzである]}。
といふ「等式」が「成立」する。
因みに、
(12)
⑤ ∃x∃y{(Fx&Fy)&x≠y}&∀x∀y∀z{(Fx&Fy&Fz)→(x=y∨x=z∨y=z)}
⑥ ∃x∃y{(Fx&Fy&x≠y)&∀z[Fz→(x=z∨y=z)]}
に於いて、
⑤=⑥ である。
といふことは、『昭和堂、論理学の基礎、1994年、177頁』に書かれてゐるのもの、「述語計算(証明)」自体は、載ってゐない。
(13)
私の「愛読書」である『E.J.レモン著、論理学初歩、1973年』は、「問題に対する解答」が載ってないし、最近、ブックオフで買った「論理学の書籍」は、「誤植」がふんだんに有って、「答え」に、マチガイがある。
(01)
「述語論理」は「無矛盾」であって「完全」である。
然るに、
(02)
① すべての人は、その人自身に等しい。
といふ「命題」は、明らかに「真」である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① すべての人は、その人自身に等しい。
といふ「命題」、すなはち、
① ∀x(人x→x=x)
① すべてのxについて(xが人であるならば、xはxに等しい)。
といふ「命題」は、「導出可能」でなければ、ならない。
然るに、
(04)
1 (1) 人a A
2 (2) ~∀x(x≠a→~人x) A
2 (3) ∃x~(x≠a→~人x) 2量化子の関係
4(4) ~(a≠a→~人a) A
4(5) ~(a=a∨~人a) 4含意の定義
4(6) a≠a& 人a 5ド・モルガンの法則
4(7) a≠a 6&E
(8) a=a =I
4(9)(a≠a)&(a=a) 78&I
2 (ア)(a≠a)&(a=a) 249EE
(イ)~~∀x(x≠a→~人x) 2アRAA
(ウ) ∀x(x≠a→~人x) イDN
(エ) a≠a→~人a 1UE
1 (オ) ~~人a 1DN
1 (カ) a=a エオMTT
(キ) 人a→a=a 1カCP
(ク)∀x(人x→x=x) キUI
従って、
(03)(04)により、
(05)
果たして、
① ∀x(人x→x=x)⇔
① すべての人は、その人自身に等しい。⇔
① すべてのxについて(xが人であるならば、xはxに等しい)。
といふ「恒真命題(トートロジー)」は、「導出可能」である。
(01)
(ⅰ)
1 (1) ∀x( Fx) A
2 (2) ∃x(~Fx) A
1 (3) Fa 1UE
4(4) ~Fa A
1 4(5) Fa&~Fa 34&I
4(6)~∀x( Fx) 15RAA
2 (7)~∀x( Fx) 246EE
12 (8) ∀x( Fx)&
~∀x( Fx) 17&I
1 (9)~∃x(~Fx) 28RAA
(ⅱ)
1 (1) ~∃x(~Fx) A
2 (2) ~∀x( Fx) A
3(3) ~Fa A
3(4) ∃x(~Fx) 3EI
1 3(5) ~∃x(~Fx)&
∃x(~Fc) 14&I
1 (6) ~~Fa 35RAA
1 (7) Fa 6DN
1 (8) ∀x( Fx) 7UI
12 (9) ∀x( Fx)&
~∀x( Fx) 28&I
1 (ア)~~∀x( Fx) 29RAA
1 (イ) ∀x( Fx) アDN
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x( Fx)
② ~∃x(~Fx)
に於いて、すなはち、
① すべての(xはFである)。
②((Fでないx)が存在する)といふことはない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
(ⅲ)
1 (1) Fa& Fb& Fc A
2 (2) ~Fa∨~Fb∨ ~Fc A
1 (3)( Fa& Fb)& Fc 1結合法則
2 (4)(~Fa∨~Fb)∨~Fc 2結合法則
1 (5)( Fa& Fb) 3&E
6 (6)(~Fa∨~Fb) A
1 (7) Fa 5&E
8 (8) ~Fa A
1 8 (9) Fa&~Fa 78&I
8 (ア)~(Fa& Fb& Fc) 19RAA
1 (イ) Fb 5&E
ウ (ウ) ~Fb A
1 ウ (エ) Fb&~Fb イウ&I
ウ (オ) ~(Fa& Fb& Fc) 1エRAA
6 (カ) ~(Fa& Fb& Fc) 68アウオ∨E
1 (キ) Fc 3&E
ク(ク) ~Fc A
1 ク(ケ) Fc&~Fc キク&I
ク(コ) ~(Fa& Fb& Fc) 1ケRAA
2 (サ) ~(Fa& Fb& Fc) 46カクコ∨E
12 (シ) (Fa& Fb& Fc)&
~(Fa& Fb& Fc) 1サ&I
1 (ス)~(~Fa∨~Fb∨~Fc) 2シRAA
(ⅳ)
1 (1) ~(~Fa∨~Fb∨~Fc) A
2 (2) ~( Fa& Fb& Fc) A
3 (3) ~Fa A
3 (4) ~Fa∨~Fb 3∨I
3 (5) ~Fa∨~Fb∨~Fc 4∨I
1 3 (6) ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)&
(~Fa∨~Fb∨~Fc) 15&I
1 (7) ~~Fa 36RAA
1 (8) Fa 7DN
9 (9) ~Fb A
9 (ア) ~Fa∨~Fb 9∨I
9 (イ) ~Fa∨~Fb∨~Fc ア∨I
1 9 (ウ) ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)&
(~Fa∨~Fb∨~Fc) 1イ&I
1 (エ) ~~Fb 9ウRAA
1 (オ) Fb エDN
カ(カ) ~Fc A
カ(キ) ~Fb∨~Fc カ∨I
カ(ク) ~Fa∨~Fb∨~Fc キ∨I
1 カ(ケ) ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)&
(~Fa∨~Fb∨~Fc) 1ク&I
1 (コ) ~~Fc カケRAA
1 (サ) Fc コDN
1 (シ) Fa& Fb 8オ&I
1 (ス) Fa& Fb& Fc サシ&I
12 (セ) ~( Fa& Fb& Fc)&
( Fa& Fb& Fc) 2ス&I
1 (ソ)~~( Fa& Fb& Fc) 2セRAA
1 (タ) ( Fa& Fb& Fc) ソDN
従って、
(03)により、
(04)
③ ( Fa& Fb& Fc)
④ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
に於いて、
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(05)
{xの変域)={a,b,c}
であるとして、
① ∀x( Fx)
② ~∃x(~Fx)
③ ( Fa& Fb& Fc)
④ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
に於いて、
①=③ であって、
②=④ である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(06)
③ ( Fa& Fb& Fc)
④ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
といふ「論理式」は、
③(aはFであり、bもFであり、cもFである)。
④(aがFでないか、bがFでないか、cがFでないかの、いづれかである)といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
(06)により、
(07)
{xの変域)={a,b,c}
であるならば、そのときに限って、
③ ( Fa& Fb& Fc)
④ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
といふ「論理式」は、
① すべての(xはFである)。
②((Fでないx)が存在する)といふことはない。
といふ「意味」である。
従って、
(02)(06)(07)により、
(08)
{xの変域)={a,b,c}
であるならば、そのときに限って、
① ∀x( Fx)
② ~∃x(~Fx)
③ ( Fa& Fb& Fc)
④ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
に於いて、
①=② であって、
③=④ であって、
①=②=③=④ である。
従って、
(08)により、
(09)
{xの変域)={a,b,c,m}
であるならば、そのときに限って、
① ∀x(Fx)
② すべてのxは、Fである。
③(Fa&Fb&Fc&Fm)
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(10)
第1に、固有名詞を つぎの符号のひとつとして定義する。
m,n,・・・・・
第2に、任意の名前をつぎの符号のひとつとして定義する。
a,b,c,・・・・・
第3に、個体変数を つぎの符号のひとつとして定義する。
x,y,z,・・・・・
第4に、述語文字を つぎの符号のひとつとして定義する。
F,G,H,・・・・・
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、176頁)
然るに、
(11)
100 Fm,∀x(Fx→Gx)├ Gm
1 (1)Fm A
2(2)∀x(Fx→Gx) A
2(3) Fm→Gm 2UE
12(4) Gm 13MPP
100は論理学では有名なつぎの論証に見られるような、明らかに健全な論証の形式を示している。
(3)ソクラテスは人間である。すべての人間は死すべきものである。故にソクラテスは死すべきものである。
(固有名詞mはソクラテス、述語文字Fは人間であること、そして述語文字Gは死すべきものであること、を表すものとする。)
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、135頁)
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
{xの変域)={a,b,c,m}
であるならば、そのときに限って、
100 Fm,∀x(Fx→Gx)├ Gm
1 (1)Fm A
2(2)∀x(Fx→Gx) A
2(3) Fm→Gm 2UE
12(4) Gm 13MPP
といふ「計算」は、
1 (1)Fm A
2(2) Fa→Ga&
Fb→Gb&
Fc→Gc&
Fm→Gm A
2(3) Fm→Gm 2&E
12(4) Gm 13MPP
といふ「計算」に「他ならない」。
(01)
(ⅰ)
1 (1) (P&~Q)∨P A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
4(4) P A
1 (5) P 12344∨E
(6)((P&~Q)∨P)→P 15CP
従って、
(01)により、
(02)
①((P&~Q)∨P)→P
といふ「論理式」は「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(02)により、
(03)
P=花子は日本人である。
~Q=花子は男性でない(女性である)。
であるとして、
①((P&~Q)∨P)→P
といふ「命題」、すなはち、
①((花子は日本人である&~花子は男性である)∨花子は日本人である)→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①((花子が日本人の女性である)か、または、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7(7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7(9) Q&~Q 78&I
7(ア)~(P&~Q) 27RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
(ⅱ)
1 (1) ~(P&~Q) A
2 (2) ~(~P∨ Q) A
3 (3) ~P A
3 (4) ~P∨ Q 3∨I
23 (5) ~(~P∨ Q)&
(~P∨ Q) 25&I
2 (6) P 35RAA
7(7) Q A
7(8) ~P∨ Q 7∨I
2 7(9) ~(~P∨ Q)&
(~P∨ Q) 28&I
2 (ア) ~Q 79RAA
2 (イ) P&~Q 6ア&I
12 (ウ) ~(P&~Q)&
( P&~Q) 1イ&I
1 (エ)~~(~P∨ Q) 2ウRAA
1 (オ) ~P∨ Q エDN
従って、
(04)により、
(05)
① ~P∨ Q
② ~(P&~Q)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(06)
(ⅱ)
1 (1)~(P&~Q) A
2 (2) P A
3(3) ~Q A
23(4) P&~Q 23&I
123(5)~(P&~Q)&
(P&~Q) 14&I
12 (6) ~~Q 35RAA
12 (7) Q 6DN
1 (8) P→ Q 27CP
(ⅲ)
1 (1) P→ Q A
2(2) P&~Q A
2(3) P 2&E
12(4) Q 13MPP
2(5) ~Q 2&E
12(6) Q&~Q 45&I
1 (7)~(P&~Q) 26RPP
従って、
(06)により、
(07)
② ~(P&~Q)
③ P→ Q
に於いて、すなはち、
②(Pであって、Qでない)といふことはない。
③ Pであるならば、Qである。
に於いて、
②=③ である。
従って、
(05)(07)により、
(08)
① ~P∨ Q
② ~(P&~Q)
③ P→ Q
に於いて、
に於いて、
①=②=③ であるものの、
①=② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①=③ を、「含意の定義(α)」とし、
②=③ を、「含意の定義(β)」とする。
然るに、
(09)
(ⅰ)
1 (1) ((P&~Q)∨P)→ P A
1 (2)~(((P&~Q)∨P)&~P) 1「含意の定義(α)」
1 (3) ~((P&~Q)∨P)∨ P 2ド・モルガンの法則
4 (4) ~((P&~Q)∨P) A
4 (5) ~(P&~Q)&~P 4ド・モルガンの法則
4 (6) (P→ Q)&~P 5「含意の定義(α)」
4 (7)~~((P→ Q)&~P) 6DN
4 (8) ~((P→ Q)→ P) 7「含意の定義(α)」
4 (9) ~((P→ Q)→ P)∨P 8∨I
ア(ア) P A
ア(イ) ~((P→ Q)→ P)∨P ア∨I
1 (ウ) ~((P→ Q)→ P)∨P 349アイ∨E
1 (エ) ((P→ Q)→ P)→P ウ「含意の定義(β)」
(ⅱ)
1 (1) ((P→ Q)→ P)→P A
1 (2) ~((P→ Q)→ P)∨P 1「含意の定義(β)」
3 (3) ~((P→ Q)→ P) A
3 (4)~~((P→ Q)&~P) 3「含意の定義(α)」
3 (5) (P→ Q)&~P 4DN
3 (6) ~(P&~Q)&~P 5「含意の定義(α)」
3 (7) ~((P&~Q)∨P) 6ド・モルガンの法則
3 (8) ~((P&~Q)∨P)∨ P 7∨I
9(9) P A
9(ア) ~((P&~Q)∨P)∨ P 9∨I
1 (イ) ~((P&~Q)∨P)∨ P 1389ア∨E
1 (ウ)~(((P&~Q)∨P)&~P) イ、ド・モルガンの法則
1 (エ) ((P&~Q)∨P)→ P 1「含意の定義(α)」
従って、
(09)により、
(10)
①((P&~Q)∨P)→P
②((P→ Q)→P)→P
に於いて、
①=② である。
従って、
(03)(10)により、
(11)
P=花子は日本人である。
~Q=花子は男性でない(女性である)。
であるとして、
①((P&~Q)∨P)→P
②((P→ Q)→P)→P
といふ「命題」、すなはち、
①((花子は日本人である&~花子は男性である)∨花子は日本人である)→花子は日本人である。
②((花子は日本人である→ 花子は男性である)→花子は日本人である)→花子は日本人である。
といふ「命題」、すなはち、
①((花子が日本人の女性である)か、または、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
②((花子が日本人であるならば、花子が男性である)ならば、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、2つとも、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(12)
「直観主義の論理体系NJ」では、次の諸性質は「同値」である。
├ ~~P→P 二重否定除去律
├ P∨~P 排中律
├ ((P→Q)→P)→P パースの法則。
(大阪教育図書、論理と思考、2021年、85頁)
従って、
(11)(12)により、
(13)
①((花子が日本人の女性である)か、または、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
②((花子が日本人であるならば、花子が男性である)ならば、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、2つとも、「恒真式(トートロジー)」であって、特に、
② は、「直観主義の論理体系NJ」では、「排中律(P∨~P)」に「等しい」。
然るに、
(13)により、
(14)
①((花子が日本人の女性である)か、または、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
②((花子が日本人であるならば、花子が男性である)ならば、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、2つとも、「恒真式(トートロジー)」である。
とするならば、「当然」、
①((太郎が日本人の男性である)か、または、太郎が日本人である)ならば、太郎は日本人である。
②((太郎が日本人であるならば、太郎が女性である)ならば、太郎が日本人である)ならば、太郎は日本人である。
といふ「命題」は、2つとも、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(14)により、
(15)
①((花子が日本人の女性である)か、または、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
②((花子が日本人であるならば、花子が男性である)ならば、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に於いて、
① 女性である。
② 男性である。
といふ「部分」は、実際には、「意味が無い(不要である)」。
然るに、
(01)(09)により、
(16)
(ⅰ)
1 (1) (P&~Q)∨P A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
4(4) P A
1 (5) P 12344∨E
(6)((P&~Q)∨P)→P 15CP
(ⅰ)
1 (1) ((P&~Q)∨P)→ P A
1 (2)~(((P&~Q)∨P)&~P) 1「含意の定義(α)」
1 (3) ~((P&~Q)∨P)∨ P 2ド・モルガンの法則
4 (4) ~((P&~Q)∨P) A
4 (5) ~(P&~Q)&~P 4ド・モルガンの法則
4 (6) (P→ Q)&~P 5「含意の定義(α)」
4 (7)~~((P→ Q)&~P) 6DN
4 (8) ~((P→ Q)→ P) 7「含意の定義(α)」
4 (9) ~((P→ Q)→ P)∨P 8∨I
ア(ア) P A
ア(イ) ~((P→ Q)→ P)∨P ア∨I
1 (ウ) ~((P→ Q)→ P)∨P 349アイ∨E
1 (エ) ((P→ Q)→ P)→P ウ「含意の定義(β)」
(ⅱ)
1 (1) ((P→ Q)→ P)→P A
1 (2) ~((P→ Q)→ P)∨P 1「含意の定義(β)」
3 (3) ~((P→ Q)→ P) A
3 (4)~~((P→ Q)&~P) 3「含意の定義(α)」
3 (5) (P→ Q)&~P 4DN
3 (6) ~(P&~Q)&~P 5「含意の定義(α)」
3 (7) ~((P&~Q)∨P) 6ド・モルガンの法則
3 (8) ~((P&~Q)∨P)∨ P 7∨I
9(9) P A
9(ア) ~((P&~Q)∨P)∨ P 9∨I
1 (イ) ~((P&~Q)∨P)∨ P 1389ア∨E
1 (ウ)~(((P&~Q)∨P)&~P) イ、ド・モルガンの法則
1 (エ) ((P&~Q)∨P)→ P 1「含意の定義(α)」
といふ「計算」は、
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系L(ウィキペディア)。
で言ふ所の、『自然演繹の体系L』である。
従って、
(14)(15)(16)により、
(17)
『自然演繹の体系L』からすると、
①((花子が日本人の女性である)か、または、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
②((花子が日本人であるならば、花子が男性である)ならば、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、「実質的」に、
①((花子が日本である)か、または、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
②((花子が日本人である)ならば、花子が日本人である) ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
(18)
①((花子が日本である)か、または、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
②((花子が日本人である)ならば、花子が日本人である) ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」は、② を含めて、「少なくとも、変ではない」。
然るに、
(19)
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題P, Qについて、
((P→Q)→P)→P
が成り立つ
『「PならばQ」ならばP』ならばP
なんか、パズルのような命題ですね。
(背理法を絶対に認めない人たちの会)
然るに、
(19)により、
(20)
確かに、任意の命題P, Qについての、例へば、
②((花子が日本人であるならば、花子が男性である)ならば、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則(合成命題)」は、「(パズルみたいで)変である」が、
②((花子が日本人である)ならば、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」が「恒真命題(トートロジー)」であることには、「何らの違和感」も無い。
従って、
(17)~(20)により、
(21)
②((花子が日本人であるならば、花子が男性である)ならば、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「パースの法則」が、「ヘンテコ」である「理由」は、
②((花子が日本人である)ならば、花子が日本人である)ならば、花子は日本人である。
といふ「命題」に対して、
②「(不要である所の)花子は男性である。」
といふ「命題」を加へたからである。
(22)
(ⅰ)
1 (1) P∨P A
2 (2) P A
3(3) P A
1 (4) P 12233∨E
(5)(P∨P)→P 14CP
であると「同時」に、
(ⅱ)
1 (1) (P&~Q)∨P A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
4(4) P A
1 (5) P 12344∨E
(6)((P&~Q)∨P)→P 15CP
である。
従って、
(01)(10)(22)により、
(23)
① (P ∨P)→P
②((P&~Q)∨P)→P
③((P→ Q)→P)→P
といふ「3つの論理式」は、すなはち、
① (Pであるか、Pである)ならばPである。
②((Pであって、Qでない)か、Pである)ならば、Pである。
③((Pであるならば、Qである)ならば、Pである)ならば、Pである。
といふ「3つの命題」は、「3つ」とも、「恒真命題(トートロジー)」であって、尚且つ、
②=③ であって、特に、
③ を、「パースの法則」と言ふ。
―「補足」をします。―
(24)
(ⅰ)
1(1)P A
(2)P→P 11CP
(ⅲ)
1 (1) (P→P)→P A
2(2) P A
(3) P→P 22CP
1 (4) P 13MPP
(5)((P→P)→P)→P 14CP
従って、
(24)により、
(25)
① P→P
③((P→P)→P)→P
は、「2つ」とも「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(26)
②(偽→偽)→偽
は「偽」であるため、
②(P→P)→P
は、「恒真式(トートロジー)」ではない。
15:37 2024/01/21
(01)
(ⅰ)源氏物語の作者(G)は、二人とはゐない(at most one person)。然るに、
(ⅱ)紫式部(m)は源氏物語の作者(G)である。然るに、
(ⅲ)清少納言(n)は紫式部(m)ではない。従って、
(ⅳ)清少納言(n)は源氏物語の作者(G)ではない。
然るに、
(02)
1 (1)~∃x∃y{(Gx&Gy)&(x≠y)} A
1 (2)∀x~∃y{(Gx&Gy)&(x≠y)} 1量化子の関係
1 (3)∀x∀y~{(Gx&Gy)&(x≠y)} 2量化子の関係
1 (4)∀x∀y{~(Gx&Gy)∨(x=y)} 3ド・モルガンの法則
1 (5)∀x∀y{ (Gx&Gy)→(x=y)} 4含意の定義
1 (6)∀x∀y{ (Gx&Gy)→(x=y)} 5DN
1 (7) ∀y{ (Gm&Gy)→(m=y)} 6UE
1 (8) (Gm&Gn)→(m=n) 7UE
9 (9) Gm A
ア (ア) m≠n A
1 ア (イ) ~(Gm&Gn) 89MTT
ウ (ウ) Gm A
エ(オ) Gn A
ウエ(カ) Gm&Gn ウオ&I
1 アウエ(キ)~(Gm&Gn)&(Gm&Gn) イカ&I
1 アウ (ク) ~Gn エキRAA
1 ア (ケ) Gm→~Gn ウクCP
19ア (コ) ~Gn 9ケMPP
従って、
(02)により、
(03)
(ⅰ)~∃x∃y{(Gx&Gy)&(x≠y)}。然るに、
(ⅱ) Gm。 然るに、
(ⅲ) m≠n。 従って、
(ⅳ) ~Gn。
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ)あるxとあるyについて{(xが源氏物語の著者であって、yも源氏物語であって)、尚且つ、(xはyと「同一人物」ではない)。}といふことはない。然るに、
(ⅱ)mは源氏物語の著者である。 然るに、
(ⅲ)mとnは「同一人物」ではない。従って、
(ⅳ)nは源氏物語の著者ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
(ⅰ)源氏物語の作者は、二人とはゐない。然るに、
(ⅱ)紫式部は源氏物語の作者である。然るに、
(ⅲ)清少納言は紫式部ではない。従って、
(ⅳ)清少納言は源氏物語の作者ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
(02)(03)により、
(05)
(ⅰ)∃x∃y{(Gx&Gy)&(x≠y)}。然るに、
(ⅱ) Gm。 然るに、
(ⅲ) m≠n。 従って、
(ⅳ) ~Gn。
といふ「推論」は、「不妥当(invalid)」である。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
(ⅰ)源氏物語の作者は、一人とは限らない。然るに、
(ⅱ)紫式部は源氏物語の作者である。然るに、
(ⅲ)清少納言は紫式部ではない。従って、
(ⅳ)清少納言は源氏物語の作者ではない。
といふ「推論」は「不妥当(invalid)」である。
(01)
1 (1)∃x∀y{虎x&百獣y&長xy→∀z(長zy→x=z)} A
2 (2) ∃z(狐z&~虎z) A
3 (3) ∀y{虎a&百獣y&長ay→∀z(長zy→a=z)} A
3 (4) {虎a&百獣b&長ab→∀z(長zb→a=z) 3UE
5 (5) 虎a&百獣b&長ab A
35 (6) ∀z(長zb→a=z) 45MPP
35 (7) 長cb→a=c 6UE
8 (8) 狐c&~虎c A
8 (9) 狐c 8&E
8 (ア) ~虎c 8&E
5 (イ) 虎a 5&E
58 (ウ) 虎a&~虎c アイ&I
エ(エ) a=c A
58エ(オ) 虎c&~虎c ウエ=E
58 (カ) a≠c エオRAA
358 (キ) ~長cb 7カMTT
358 (ク) 狐c&~長cb 9キ&I
358 (ケ) ∃z(狐z&~長zb) クEI
235 (コ) ∃z(狐z&~長zb) 28ケEE
23 (サ) 虎a&百獣b&長ab→∃z(狐z&~長zb) 5コCP
23 (シ) ∀y{虎a&百獣y&長ay→∃z(狐z&~長zy)} サUI
23 (ス)∃x∀y{虎x&百獣y&長xy→∃z(狐z&~長zy)} シEI
12 (セ)∃x∀y{虎x&百獣y&長xy→∃z(狐z&~長zy)} 13スEE
従って、
(01)
(02)
(ⅰ)∃x∀y{虎x&百獣y&長xy→∀z(長zy→x=z)}。然るに、
(ⅱ) ∃z(狐z&~虎z)。従って、
(ⅲ)∃x∀y{虎x&百獣y&長xy→∃z(狐z&~長zy)}。
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ)あるxとすべてのyについて{xが虎であって、yが百獣であって、xがyの長であるならば、すべてのzについて(zがyの長であるならば、xはzと「同一」である}。然るに、
(ⅱ)あるzは(狐はであって、虎ではない)。従って、
(ⅲ)あるxとすべてのyについて{xが虎であって、yが百獣であって、xがyの長であるならば、あるはz(狐であって、yの長ではない)}。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(02)により、
(03)
(ⅰ)唯、虎のみ、百獣に長たり(唯虎長百獣長也)。然るに、
(ⅱ)狐は虎に非ざるなり(狐非虎也)。故に、
(ⅲ)虎は百獣に長たりて、狐は長たらず(虎長百獣、狐不長)。
といふ「推論」は「妥当」である。
(01)
1 (1) ∀x{日本の山x→∃y[富士山y&最高峰yx&∀z(最高峰zx→z=y)]} A
2 (2)∃z∀x(富岳z&日本の山x&最高峰zx) A
1 (3) 日本の山a→∃y[富士山y&最高峰ya&∀z(最高峰za→z=y)] 1UE
4 (4) ∀x(富岳c&日本の山x&最高峰cx) A
4 (5) 富岳c&日本の山a&最高峰ca 4UE
4 (6) 富岳c 5&E
4 (7) 日本の山a 5&E
4 (8) 最高峰ca 5&E
1 4 (9) ∃y[富士山y&最高峰ya&∀z(最高峰za→z=y)] 37MPP
ア(ア) 富士山b&最高峰ba&∀z(最高峰za→z=b) A
ア(イ) 富士山b ア&E
ア(ウ) ∀z(最高峰za→z=b) ア&E
ア(エ) 最高峰ca→c=b ウUE
4ア(オ) c=b 8エMPP
4ア(カ) 富岳b 6オ=EE
4ア(キ) 富岳b&富士山b イカ&I
4ア(ク) ∃y(富岳y&富士山y) キEI
1 4 (ケ) ∃y(富岳y&富士山y) 9アクEE
12 (コ) ∃y(富岳y&富士山y) 24ケEE
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ) ∀x{日本の山x→∃y[富士山y&最高峰yx&∀z(最高峰zx→z=y)]}。然るに、
(ⅱ)∃z∀x(富岳z&日本の山x&最高峰zx)。従って、
(ⅲ) ∃y(富岳y&富士山y)。
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ) すべてのxについて{xが日本の山ならば、あるyは[富士山であって、xの最高峰であって、すべてのzについて(zがxの最高峰であるならば、zとyは「同一」である)]}。
(ⅱ)あるzとすべてのxについて(zは富岳であって、xは日本の山であって、zはxの最高峰)である。従って、
(ⅲ) あるyは(富岳であって、富士山である)。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(02)により、
(03)
(ⅰ)日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
(ⅱ)富岳は、日本の山の最高峰である。従って、
(ⅲ)富岳は、富士山(の別称)である。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
(04)
「昨日(令和6年1月15日)」に示したものの、
1 (1)∀x{日本の山x→∃y[富士山y&最高峰yx&∀z(最高峰zx→z=y)]} A
1 (2) 日本の山a→∃y[富士山y&最高峰ya&∀z(最高峰za→z=y)] 1UE
3 (3) 日本の山a A
13 (4) ∃y[富士山y&最高峰ya&∀z(最高峰za→z=y)] 23MPP
5 (5) 富士山b&最高峰ba&∀z(最高峰za→z=b) A
5 (6) 富士山b&最高峰ba 5&E
5 (7) ∀z(最高峰za→z=b) 5&E
5 (8) 最高峰ca→c=b 7UE
9 (9) ∃z(高尾山z&~富士山z) A
ア (ア) 高尾山c&~富士山c A
ア (イ) 高尾山c ア&E
ア (ウ) ~富士山c ア&E
エ(エ) c=b A
アエ(オ) ~富士山b ウエ=E
5 (カ) 富士山b 6&E
5 アエ(キ) ~富士山b&富士山b オカ&I
5 ア (ク) c≠b エキRAA
5 ア (ケ) ~最高峰ca 8クMTT
5 ア (コ) 高尾山c&~最高峰ca イケ&I
5 ア (サ) ∃z(高尾山z&~最高峰za) コEI
59 (シ) ∃z(高尾山z&~最高峰za) 9アサEE
13 9 (ス) ∃z(高尾山z&~最高峰za) 45シEE
1 9 (セ) 日本の山a→∃z(高尾山z&~最高峰za) 3スCP
1 9 (ソ)∀x{日本の山x→∃z(高尾山z&~最高峰zx)} セUI
従って、
(04)により、
(05)
(ⅰ)日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
(ⅱ) 高尾山は、富士山ではない。従って、
(ⅲ)日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
(06)
「漢字の意味」からしても、 「最高峰」は、「唯一」である。
従って、
(01)~(06)により、
(07)
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② ∀x{日本の山x→∃y[富士山y&最高峰yx&∀z(最高峰zx→z=y)]}。
③ すべてのxについて{xが日本の山ならば、あるyは[富士山であって、xの最高峰であって、すべてのzについて(zがxの最高峰であるならば、zとyは「同一」である)]}。
といふ「命題」に於いて、
①=②=③ であると、せざるを得ない。
従って、
(07)により、
(08)
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② タゴール記念会は、 私が理事長である。
といふ「日本語」を「解釈」する際に、
① ∀x{ 日本の山x→∃y[富士山y&最高峰yx&∀z(最高峰zx→z=y)]}。
② ∀x{タゴール記念会員x→∃y[私y &理事長yx&∀z(理事長zx→z=y)]}。
といふ「論理式(数学語)」を「無視」すべきではない。
(01)
1 (1)∀x{日本の山x→∃y[富士山y&最高峰yx&∀z(最高峰zx→z=y)]} A
1 (2) 日本の山a→∃y[富士山y&最高峰ya&∀z(最高峰za→z=y)] 1UE
3 (3) 日本の山a A
13 (4) ∃y[富士山y&最高峰ya&∀z(最高峰za→z=y)] 23MPP
5 (5) 富士山b&最高峰ba&∀z(最高峰za→z=b) A
5 (6) 富士山b&最高峰ba 5&E
5 (7) ∀z(最高峰za→z=b) 5&E
5 (8) 最高峰ca→c=b 7UE
9 (9) ∃z(高尾山z&~富士山z) A
ア (ア) 高尾山c&~富士山c A
ア (イ) 高尾山c ア&E
ア (ウ) ~富士山c ア&E
エ(エ) c=b A
アエ(オ) ~富士山b ウエ=E
5 (カ) 富士山b 6&E
5 アエ(キ) ~富士山b&富士山b オカ&I
5 ア (ク) c≠b エキRAA
5 ア (ケ) ~最高峰ca 8クMTT
5 ア (コ) 高尾山c&~最高峰ca イケ&I
5 ア (サ) ∃z(高尾山z&~最高峰za) コEI
59 (シ) ∃z(高尾山z&~最高峰za) 9アサEE
13 9 (ス) ∃z(高尾山z&~最高峰za) 45シEE
1 9 (セ) 日本の山a→∃z(高尾山z&~最高峰za) 3スCP
1 9 (ソ)∀x{日本の山x→∃z(高尾山z&~最高峰zx)} セUI
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ)∀x{日本の山x→∃y[富士山y&最高峰yx&∀z(最高峰zx→z=y)]}。然るに、
(ⅱ)∃z(高尾山z&~富士山z)。従って、
(ⅲ)∀x{日本の山x→∃z(高尾山z&~最高峰zx)}。
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ)すべてのxについて{xが日本の山ならば、あるyは[富士山であって、xの最高峰であって、すべてのzについて(zがxの最高峰であるならば、zとyは「同一」である)]}。
(ⅱ)あるzは(高尾山であって、富士山ではない)。従って、
(ⅲ)すべてのxについて{xが日本の山ならば、あるzは(高尾山であって、xの最高峰ではない)}。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(02)により、
(03)
(ⅰ)日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
(ⅱ) 高尾山は、富士山ではない。従って、
(ⅲ)日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① 日本の山は、富士山が最高峰である。
② ∀x{日本の山x→∃y[富士山y&最高峰yx&∀z(最高峰zx→z=y)]}。
に於いて、
①=② であるからこそ、
(ⅰ)日本の山は、富士山が最高峰である。然るに、
(ⅱ) 高尾山は、富士山ではない。従って、
(ⅲ)日本の山は、高尾山は最高峰ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(04)により、
(05)
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② ∀x{タゴール記念会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→z=y)]}。
に於いて、
①=② であるからこそ、
(ⅰ)タゴール記念会は、私が理事長である。然るに、
(ⅱ)渡辺は、私ではない。従って、
(ⅲ)タゴール記念会は、渡辺は理事長ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(05)により、
(06)
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(07)
② 私以外は理事長ではない。
といふのであれば、「必然的」に、
③ 理事長は私である。
従って、
(06)(07)により、
(08)
① タゴール記念会は、私が理事長である。
② タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(09)
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
(三上章、日本語の論理、1963年、40・41頁)
従って、
(04)~(09)により、
(10)
① タゴール記念会は、私が理事長。
② ∀x{タゴール記念会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→z=y)]}。
③ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於いて、
①=② であるからこそ、
①=③ である。
従って、
(10)により、
(11)
換言すると、
① タゴール記念会は、私が理事長。
② タゴール記念会は、理事長は私です。
③ ∀x{タゴール記念会員x→∃y[私y&理事長yx&∀z(理事長zx→z=y)]}。
に於いて、
①=② であるからこそ、
①=③ である。
―「先程の記事(令和6年1月14日)」の記事を書き直します。―
(01)
{個体変数の変域}={a、b、c}
であるとするならば、
① ∃x(Fx)
② Fa∨Fb∨Fc
に於いて、
①=② である。
然るに、
(02)
{個体変数の変域}={a、b、c}
であるとするならば、
③ ∃x∃y(Fx&Fy)
④(Fa&Fa)∨(Fa&Fb)∨(Fa&Fc)∨(Fb&Fa)∨(Fb&Fb)∨(Fb&Fc)∨(Fc&Fa)∨(Fc&Fb)∨(Fc&Fc)
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(03)
①(Fa&Fa)
②(Fb&Fb)
③(Fb&Fc)
④(Fa&Fa)∨(Fa&Fb)∨(Fa&Fc)∨(Fb&Fa)∨(Fb&Fb)∨(Fb&Fc)∨(Fc&Fa)∨(Fc&Fb)∨(Fc&Fc)
に於いて、
① が「真」であれば、④ も「真」であり、
② が「真」であれば、④ も「真」であり、
③ が「真」であれば、④ も「真」である。
然るに、
(04)
「冪等律」により、
①(Fa&Fa)
②(Fb&Fb)
③(Fb&Fc)
は、それぞれ、
①(Fa)
②(Fb)
③(Fc)
に「等しい」。
従って、
(03)(04)により、
(05)
①(Fa)
②(Fb)
③(Fc)
といふ「3つ内の、1つが真」であれば、それだけで、
④(Fa&Fa)∨(Fa&Fb)∨(Fa&Fc)∨(Fb&Fa)∨(Fb&Fb)∨(Fb&Fc)∨(Fc&Fa)∨(Fc&Fb)∨(Fc&Fc)
も「真」になるし、次の『説明』、
142 ∃x(Fx)├ ∃x∃y(Fx&Fy)
1 (1) ∃x(Fx) A
2(2) Fa A
2(3) Fa&Fa 22&I
2(4) ∃y(Fa&Fy) 3EI
2(5)∃x∃y(Fx&Fy) 4EI
1 (6)∃x∃y(Fx&Fy) 125EE
この連式の妥当性から、ひとつだけの対象がFがもっているならば、 ∃x∃y(Fx&Fy)が帰結する。言い換えると、相異なった変数、「x」と「y」を用いる場合に、そのことから、それに対応する相異なる対象が存在するということは帰結しないのである(E.J.レモン著 論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、210頁)。
といふ『説明』は、「そのこと」を述べてゐる。
然るに、
(06)
④ ∃x∃y(Fx&Fy)
ではなく、
⑤ ∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)
であるとするならば、すなはち、
④(Fa&Fa)∨(Fa&Fb)∨(Fa&Fc)∨(Fb&Fa)∨(Fb&Fb)∨(Fb&Fc)∨(Fc&Fa)∨(Fc&Fb)∨(Fc&Fc)
ではなく、
⑤(Fa&Fb)∨(Fa&Fc)∨(Fb&Fc)
であるとするならば、
①(Fa&Fb)
②(Fa&Fc)
③(Fb&Fc)
といふ「3つの内の、少なくとも1つは、真」である。
然るに、
(07)
{個体変数の変域}={a、b、c}
であるとして、例へば、
①(Fa&Fb)
であるならば、
①(aはFであり、aではない、bもFである)。
といふことになる。
従って、
(06)(07)により、
(08)
⑤ ∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)
とするならば、すなはち、
⑤(Fa&Fb)∨(Fa&Fc)∨(Fb&Fc)
とするならば、例へば、
①(aはFであり、aではない、bもFである)。
といふことになる。
従って、
(01)(06)(07)(08)により、
(09)
⑤ ∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)
とするならば、
{個体変数の変域}={a、b、c}
の中の、「2個以上の個体が、Fである」。
然るに、
(10)
「2個以上の個体が、Fである」の「否定」は、
「1個以下の個体が、Fである」の「肯定」である。
然るに、
(11)
⑤ ∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)
⑥ ~∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)
に於いて、
⑤ の「否定」は、
⑥ である。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
⑤ ∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)
ではなく、
⑥ ~∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)
であるならば、
⑥「1個以下の個体が、Fである」。
然るに、
(13)
(ⅵ)
1(1) ~∃x∃y(Fx&Fy&x≠y) A
1(2) ∀x~∃y(Fx&Fy&x≠y) 1量化子の関係
1(3) ∀x∀y~(Fx&Fy&x≠y) 2量化子の関係
1(4) ∀y~(Fa&Fy&a≠y) 3UE
1(5) ~(Fa&Fb&a≠b) 4UE
1(6) ~{(Fa&Fb)&a≠b} 5結合法則
1(7) ~(Fa&Fb)∨a=b 6ド・モルガンの法則
1(8) (Fa&Fb)→a=b 7含意の定義
1(9) ∀y{(Fa&Fy)→a=y} 8UI
1(ア)∀x∀y{(Fx&Fy)→x=y} 9UI
(ⅶ)
1(1)∀x∀y{(Fx&Fy)→x=y} A
1(2) ∀y{(Fa&Fy)→a=y} 1UE
1(3) (Fa&Fb)→a=b 2UE
1(4) ~(Fa&Fb)∨a=b 3含意の定義
1(5) ~{(Fa&Fb)&a≠b} 4ド・モルガンの法則
1(6) ~(Fa&Fb&a≠b) 5結合法則
1(7) ∀y~(Fa&Fy&a≠y) 6UI
1(8) ∀x∀y~(Fx&Fy&x≠y) 7UI
1(9) ∀x~∃y(Fx&Fy&x≠y) 8量化子の関係
1(ア) ~∃x∃y(Fx&Fy&x≠y) 9量化子の関係
従って、
(13)により、
(14)
⑥ ~∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)
⑦ ∀x∀y(Fx&Fy→x=y)
に於いて、
⑥=⑦ である。
従って、
(12)(13)(14)により、
(15)
⑥ ~∃x∃y(Fx&Fy&x≠y)
が「そうである」やうに、
⑦ ∀x∀y(Fx&Fy→x=y)
であるならば、
⑦「1個以下の個体が、Fである」。
然るに、
(16)
⑧ ∃x(Fx)
であるならば、
⑧「1個以上の個体が、Fである」。
従って、
(15)(16)により、
(17)
⑧ ∃x(Fx)&∀x∀y(Fx&Fy→x=y)
であるならば、
⑧「1個以上で、1個以下の個体が、Fである」。
然るに、
(18)
⑧「1個以上で、1個以下の個体が、Fである」。
といふことは、
⑧「ちょうど1個(exactly one)の個体が、Fである」。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
(19)
次に示す通り、
⑧ ∃x(Fx)&∀x∀y(Fx&Fy→x=y)
⑨ ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}
に於いて、
⑧=⑨ である。
(20)
(ⅷ)
1 (1)∃xFx&∀x∀y(Fx&Fy→x=y) A
1 (2)∃xFx 1&E
3 (3) Fa A
1 (4) ∀x∀y(Fx&Fy→x=y) 1&E
1 (5) ∀y(Fa&Fy→a=y) 4UE
1 (6) Fa&Fb→a=b 5UE
7(7) Fb A
37(8) Fa&Fb 37&I
137(9) a=b 68MPP
13 (ア) Fb→a=b 79CP
13 (イ) ∀y(Fy→a=y) アUI
13 (ウ) Fa&∀y(Fy→a=y) 3イ&I
13 (エ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} ウEI
1 (オ) ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} 23エEE
(ⅸ)
1 (1)∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)} A
2 (2) Fa&∀y(Fy→a=y) A
2 (3) ∀y(Fy→a=y) 2&E
2 (4) Fb→a=b 3UE
5(5) Fa&Fb A
5(6) Fb 5&E
25(7) a=b 46MPP
2 (8) Fa&Fb→a=b 57CP
2 (9) ∀y(Fa&Fy→a=y) 8UI
2 (ア) ∀x∀y(Fx&Fy→x=y) 9UI
2 (イ)Fa 2&E
2 (ウ)∃xFx イEI
2 (エ)∃xFx&∀x∀y(Fx&Fy→x=y) アウ&I
1 (ウ)∃xFx&∀x∀y(Fx&Fy→x=y) 12エEE
従って、
(18)(19)(20)により、
(21)
⑨ ∃x{Fx&∀y(Fy→x=y)}
といふ「論理式」は、
⑨「ちょうど1個(exactly one)の個体が、Fである」。
といふことを、「示して」ゐる。
従って、
(21)により、
(22)
例へば、
⑨ 日本の山は富士山が最高峰である。
といふ「命題」は、
⑨ ∀x{日本の山x→∃y[(富士山y&最高峰yx)&∀z(最高峰zx→z=y)]}。
といふ「命題」、すなはち、
⑨ すべてのxについて{xが日本の山であるならば、あるyは[(富士山であって、xの最高峰であって)、すべてのzについて(zがxの最高峰であるならば、zはyと「同一」である)]}。
といふ「命題」に「等しい」。
(01)
①{象の鼻、兎の鼻、馬の鼻}
②{象の耳、兎の耳、馬の耳}
③{象の耳、兎の耳、馬の耳}
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外(兎と馬)の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外(象と馬)の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外(象と兎)の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
(02)
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外(兎と馬)の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外(象と馬)の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外(象と兎)の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
(01)(02)により、
(03)
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外(兎と馬)の鼻は長くはない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)
1 (1)∀x∃y{(鼻xy&象y)→長x&(~象y&鼻xy)→~長x} A
1 (2) ∃y{(鼻ay&象y)→長a&(~象y&鼻ay)→~長a} 1UE
3 (3) (鼻ab&象b)→長a&(~象b&鼻ab)→~長a A
3 (4) (~象b&鼻ab)→~長a 3&E
5 (5) ∀y{(兎y→~象y)&∃x(鼻xy)} A
5 (6) (兎b→~象b)&∃x(鼻xb) 5UE
5 (7) 兎b→~象b 6&E
8 (8) 兎b A
58 (9) ~象b 78MPP
5 (ア) ∃x(鼻xb) 6&E
イ (イ) 鼻ab A
58イ (ウ) ~象b&鼻ab 9イ&I
358イ (エ) ~長a 4ウMPP
358イ (オ) 鼻ab&~長a イエ&I
358イ (カ) ∃x(鼻xb&~長x) オEI
358 (キ) ∃x(鼻xb&~長x) アイカEE
35 (ク) 兎b→∃x(鼻xb&~長x) 8キCP
1 5 (ケ) 兎b→∃x(鼻xb&~長x) 23クEE
コ (コ) ∃y{兎y&∀x(鼻xy→ 長x)} A
サ (サ) 兎b&∀x(鼻xb→ 長x) A
サ (シ) 兎b シ&E
1 5 サ (ス) ∃x(鼻xb&~長x) ケシMPP
サ (セ) ∀x(鼻xb→ 長x) サ&E
ソ(ソ) 鼻ab&~長a A
サ (タ) 鼻ab→ 長a セUE
ソ(チ) 鼻ab ソ&E
サソ(ツ) 長a タチMPP
ソ(テ) ~長a ソ&E
サソ(ト) 長a&~長a ツテ&I
1 5 サ (ナ) 長a&~長a サソトEE
1 5 コ (ニ) 長a&~長a コサナEE
1 5 (ヌ) ~∃y{兎y&∀x(鼻xy→ 長x)} コニRAA
従って、
(04)により、
(05)
(ⅰ)∀x∃y{(鼻xy&象y)→長x&(~象y&鼻xy)→~長x}。然るに、
(ⅱ) ∀y{(兎y→~象y)&∃x(鼻xy)}。従って、
(ⅲ) ~∃y{ 兎y&∀x(鼻xy→ 長x)}。
といふ『推論』、すなはち、
(ⅰ)すべてのxとあるyについて{(xがyの鼻であって、yが象である)ならば、xは長く、(yが象でなくて、xがyの鼻である)ならば、xは長くない}。然るに、
(ⅱ) すべてのyについて{(yが兎であるならば、yは象ではなく)、あるxは(yの鼻である)}。従って、
(ⅲ) すべてのyについて{ yが兎であるならば、あるxは(yの鼻であって、長くない)}。
(ⅲ) あるyは{ 兎であって、(xがyの鼻ならば、xは長い)}といふそのやうなyは存在しない。
といふ『推論』、すなはち、
(ⅰ)鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
(ⅱ)兎は象ではないが、兎には鼻がある。 従って、
(ⅲ)鼻の長い兎はゐない。
といふ『推論』は「妥当」である。
然るに、
(01)(05)により、
(06)
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外(兎と馬)の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外(象と馬)の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外(象と兎)の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
といふことからすれば、
(ⅰ)鼻は象が長く、象以外の鼻は長くない。
(ⅱ)兎は象ではないが、兎には鼻がある。
(ⅲ)鼻の長い兎はゐない。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
(01)~(06)により、
(07)
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀x∃y{(鼻xy&象y)→長x&(~象y&鼻xy)→~長x}。
④ すべてのxとあるyについて{(xがyの鼻であって、yが象である)ならば、xは長く、(yが象でなくて、xがyの鼻である)ならば、xは長くない}。
に於いて、
①=②=③=④ である。
然るに、
(08)
(ⅰ)論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲(スコープ)は、問題になっている変数が現れる少なくとも2つの箇所を含むであろう(その1つの箇所は量記号そのもののなかにある);
(論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、183頁改)
然るに、
(07)(08)により、
(09)
③ ∀x∃y{(鼻xy&象y)→長x&(~象y&鼻xy)→~長x}。
に於いて、
③ ∀xと、 鼻x の「作用範囲(スコープ」は、
③ ∃y{(鼻xy&象y)→長x&(~象y&鼻xy)→~長x}。
であるものの、このことは、
① 鼻は(象が長い)。
に於ける、
① 鼻は の「作用範囲(スコープ」が、
① (象が長い)
であるといふことを、「示してゐる」。
然るに、
(10)
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する(この場合は「長い」までをスコープとする)〔三上文法! : wrong, rogue and log〕。
従って、
(09)(10)により、
(11)
「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する。
といふ「説明」は、「必ずしも、マチガイ」ではない。
然るに、
(12)
三上章は、おそらく、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外の鼻は長くはない。
③ ∀x∃y{(鼻xy&象y)→長x&(~象y&鼻xy)→~長x}。
④ すべてのxとあるyについて{(xがyの鼻であって、yが象である)ならば、xは長く、(yが象でなくて、xがyの鼻である)ならば、xは長くない}。
に於いて、
①=②=③=④ である。
といふことに、「気付いてゐない」し、「主語であること」と、「主題であることは」は、「必ずしも、矛盾」しない。
(13)
「象であること」と「動物であること」は、もちろん、「矛盾」しないものの、私には、「三上章の説明」は、
「象ではなくて、動物である(動物であるから、象ではない)」。
といふ「論法」と「ほとんど同じ」であるように、思へて、ならない。
(01)
「象は鼻が長い。」という文の主語に関する話題です。皆様はいかがお考えでしょうか、この文の主語は「象」だと思われますか、「鼻」だと思われますか。非常に簡単な文ではあるのですが、実はこの文は大正時代から文法的な論争が繰り返されていて、現時点でも明確な結論が出ていない問題なのです。歴史で邪馬台国のあった場所が「畿内説」「九州説」に分かれて議論が繰り返されているのと同じような印象を持っています(象は鼻が長い - 早稲田アカデミー)。
然るに、
(02)
― 何年もの間、繰り返し書いてゐるものの、―
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
(2)∀x{兎x→∃z(耳zx&~鼻zx&長z)}
(3)∃x(象x&兎x)
といふ「論理式(Well formed formulae)」は、「日本語」に「翻訳」すると、
(1)すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻ではないならば、zは長くない)}。
(2)すべてのxについて{xが兎であるならば、あるzは(xの鼻ではなくて、zは長い)}。
(3) あるxについて(xは象であって、xは兎である)。
といふ「意味」である。
然るに、
(03)
次の「計算(Predicate calculus)」は、「妥当」である。
1 (1) ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
2 (2) ∀x{兎x→∃z(耳zx&~鼻zx&長z)} A
3 (3) ∃x(象x&兎x) A
1 (4) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 1UE
2 (5) 兎a→∃z(耳za&~鼻za&長z) 2UE
6 (6) 象a&兎a A
6 (7) 象a 6&E
6 (8) 兎a 6&E
1 6 (9) ∀z(~鼻za→~長z) 47MPP
1 6 (ア) ~鼻ba→~長b 9UI
2 6 (イ) ∃z(耳za&~鼻za&長z) 58MPP
ウ (ウ) 耳ba&~鼻ba&長b A
ウ (エ) ~鼻ba ウ&E
ウ (オ) 長b ウ&E
1 6ウ (カ) ~長b アエMPP
1 6ウ (キ) 長b&~長b オカ&I
12 6 (ク) 長b&~長b イウキEE
123 (ケ) 長b&~長b 36クEE
12 (コ)~∃x(象x&兎x) 3ケRAA
従って、
(03)により、
(04)
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。然るに、
(2)∀x{兎x→∃z(耳zx&~鼻zx&長z)}。従って、
(コ)~∃x(象x&兎x)。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(05)
(ⅰ)
1 (1)~∃x(象x& 兎x) A
2 (2) 象a& 兎a A
2 (3) ∃x(象x& 兎x) 2EI
12 (4)~∃x(象x& 兎x)&
∃x(象x& 兎x) 13&I
1 (5) ~(象a& 兎a) 24RAA
6 (6) 象a A
7 (7) 兎a A
67 (8) 象a& 兎a 67&I
1 67 (9) ~(象a& 兎a)&
(象a& 兎a) 58&I
1 6 (ア) ~兎a 79RAA
1 (イ) 象a→~兎a 6アCP
1 (ウ) ∀x(象x→~兎x) 1UI
(ⅱ)
1 (1) ∀x(兎x→~象x) A
2 (2) ∃x(象x& 兎x) A
1 (3) 兎a→~象a 1UE
4 (4) 象a& 兎a A
4 (5) 兎a 4&E
1 4 (6) ~象a 35MPP
4 (7) 象a 4&E
1 4 (8) 象a&~象a 67&I
4 (9)~∀x(兎x→~象x) 18RAA
2 (ア)~∀x(兎x→~象x) 249EE
12 (イ) ∀x(兎x→~象x)&
~∀x(兎x→~象x) 1ア&I
1 (ウ)~∃x(象x& 兎x) 2イRAA
従って、
(05)により、
(06)
① ~∃x(象x& 兎x)
② ∀x(象x→~兎x)
に於いて、すなはち、
① (象であって、兎であるといふ、そのやうなx)は存在しない。
② すべてのxについて(xが象であるならば、xは兎ではない)。
に於いて、
①=② である。
従って、
(03)~(06)により、
(07)
1 (1) ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
2 (2) ∀x{兎x→∃z(耳zx&~鼻zx&長z)} A
3 (3) ∃x(象x&兎x) A
1 (4) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 1UE
2 (5) 兎a→∃z(耳za&~鼻za&長z) 2UE
6 (6) 象a&兎a A
6 (7) 象a 6&E
6 (8) 兎a 6&E
1 6 (9) ∀z(~鼻za→~長z) 47MPP
1 6 (ア) ~鼻ba→~長b 9UI
2 6 (イ) ∃z(耳za&~鼻za&長z) 58MPP
ウ (ウ) 耳ba&~鼻ba&長b A
ウ (エ) ~鼻ba ウ&E
ウ (オ) 長b ウ&E
1 6ウ (カ) ~長b アエMPP
1 6ウ (キ) 長b&~長b オカ&I
12 6 (ク) 長b&~長b イウキEE
123 (ケ) 長b&~長b 36クEE
12 (コ)~∃x(象x&兎x) 3ケRAA
12 (サ)∀x~(象x&兎x) コ量化子の関係
12 (シ) ~(象a&兎a) サUE
ス (ス) 象a A
セ(セ) 兎a A
スセ(ソ) 象a&兎a スセ&I
12 スセ(タ) ~(象a&兎a)&(象a&兎a) シソ&I
12 ス (チ) ~兎a セタRAA
12 (ツ) 象a→~兎a スチCP
12 (テ)∀x(象x→~兎x) ツUI
といふ『計算(Predicate calculus)』は、「妥当」であるものの、この『計算』を、『計算(07)』とする。
従って、
(07)により、
(08)
(1)象は鼻が長い。
(2)兎は鼻ではなく、耳が長い。
(3)象は兎ではない。
といふ「日本語」が、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
(2)∀x{兎x→∃z(耳zx&~鼻zx&長z)}
(3)∀x(象x→~兎x)
といふ「意味」、すなはち、
(1)すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻ではないならば、zは長くない)}。
(2)すべてのxについて{xが兎であるならば、あるzは(xの鼻ではないが、zは長い)}。
(3)すべてのxについて(xが象であるならば、xは兎ではない)。
といふ「意味」であるならば、そのときに限って、
(1)象は鼻が長い。 然るに、
(2)兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
(3)象は兎ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
(09)
沢田充茂の『現代論理学入門』(一九六ニ年)には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのxについて、もしそのxが象であるならば、yなるものが存在し、そのyは鼻であり、xはyを所有しており、このyは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識(すなはち共通にもっている情報)でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
(山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、214頁)
然るに、
(09)により、
(10)
(1)すべてのxについて、もしそのxが象であるならば、yなるものが存在し、そのyは鼻であり、xはyを所有しており、このyは長い。
といふことは、
(1)すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって、長い)}。
といふことであり、
(1)すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって、長い)}。
といふことは、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}。
といふ「論理式」に相当し、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
といふ「論理式」には、相当しない。
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
沢田先生による、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}。然るに、
(2)兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
(3)象は兎ではない。
といふ『推論』は、
(1)が「誤訳」であるが故に、「妥当」ではなく、
私による、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。然るに、
(2)兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
(3)象は兎ではない。
といふ『推論』こそが、「妥当」である。
従って、
(07)(11)により、
(12)
沢田先生が、
(1)象は鼻が長い。 然るに、
(2)兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
(3)象は兎ではない。
といふ『推論』を「妥当」とするのであれば、沢田先生は、
(1)象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
といふ風に、「翻訳」せざるを得ない。
然るに、
(07)(12)により、
(13)
(1)象は鼻が長い。 然るに、
(2)兎は鼻ではなく、耳が長い。従って、
(3)象は兎ではない。
といふ『推論』が「妥当」でないはずが無いし、『計算(07)』も「妥当」でないはずが無い。
従って、
(02)~(13)により、
(14)
① 象は鼻が長い。
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
③ すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻ではないならば、zは長くない)}。
に於いて、
①=②=③ であって、尚且つ、
④ 象は兎ではない。
⑤ ∀x(象x→~兎x)。
⑥ すべてのxについて(xが象であるならば、xは兎ではない)。
に於いて、
④=⑤=⑥ である。
従って、
(14)により、
(15)
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
は、両方とも、
② ∀x{象x→
⑤ ∀x(象x→
といふ「意味」、すなはち、
③ すべてのxについて{xが象であるならば、
⑥ すべてのxについて(xが象であるならば、
といふ「意味」になる。
然るに、
(16)
② ∀x{象x→P}
⑤ ∀x(象x→Q}
といふ「論理式」は、「形式として、正しい」。
然るに、
(17)
② ∀x{象x→P}
⑤ ∀x(象x→Q}
に於いて、
② P=∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)
⑤ Q=~兎x
といふ「代入(substitution)」を行った「結果」が、それぞれ、
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
⑤ ∀x(象x→~兎x)。
である、といふ風に、「解すること」が出来る。
然るに、
(18)
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する(この場合は「長い」までをスコープとする)〔三上文法! : wrong, rogue and log〕。
(19)
③ すべてのxについて{xが象であるならば、
⑥ すべてのxについて(xが象であるならば、
といふ「言ひ方」は、
③ これから象についてのことを述べますよ。
⑥ これから象についてのことを述べますよ。
といふ「言ひ方」に、「ほとんど、等しい」。
然るに、
(20)
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある(ウィキペディア)。
従って、
(14)~(20)により、
(21)
「英語」ではなく、
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
⑤ ∀x(象x→~兎x)。
といふ「数学語(普遍語)」を「基準」にするならば、
① 象は鼻が長い。
④ 象は兎ではない。
に於ける、
① 象は
④ 象は
に、「区別」は無い。
従って、
(01)(21)により、
(22)
「常識(習慣)」として、
④ 象は兎ではない。
に於ける「象は」が、「主語」であるならば、
① 象は鼻が長い。
に於ける「象は」も、「主語」である。
(01)
1 (1) ∀x( Kx→x=s∨x=g) A
2 (2)~∃x(~Kx&Sx) A
3 (3) ∃x(x=j&x≠s&x≠g) A
1 (4) Ka→a=s∨a=g 1UE
2 (5)∀x~(~Kx&Sx) 2量化子の関係
2 (6) ~(~Ka&Sa) 1UE
7 (7) ~Ka A
8 (8) Sa A
78 (9) ~Ka&Sa 78&I
2 78 (ア) ~(~Ka&Sa)&
(~Ka&Sa) 69&I
2 7 (イ) ~Sa 8アRAA
2 (ウ) ~Ka→~Sa 7イCP
エ (エ) a=j&a≠s&a≠g A
エ (オ) a=j エ&E
エ (カ) a≠s&a≠g エ&E
キ (キ) a=s∨a=g A
ク (ク) a=s A
エ (ケ) a≠s カ&E
エ ク (コ) a=s&a≠s クケ&I
ク (サ) ~(a≠s&a≠g) エコRAA
シ(シ) a=g A
エ (ス) a≠g カ&E
エ シ(セ) a=g&a≠g シス&I
シ(ソ) ~(a≠s&a≠g) エシRAA
キ (タ) ~(a≠s&a≠g) キクサシソ∨E
エキ (チ) (a≠s&a≠g)&
~(a≠s&a≠g) カタ&I
エ (ツ) ~(a=s∨a=g) キチRAA
3 (テ) ~(a=s∨a=g) 3エツEE
1 3 (ト) ~Ka 4テMTT
123 (ナ) ~Sa ウトMPP
123エ (ニ) a=j&~Sa オナ&I
123エ (ヌ) ∃x(x=j&~Sx) ニEI
123 (ネ) ∃x(x=j&~Sx) 3エヌEE
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ) ∀x( Kx→x=s∨x=g)
(ⅱ)~∃x(~Kx&Sx)
(ⅲ) ∃x(x=j&x≠s&x≠g)
(ⅳ) ∃x(x=j&~Sx)
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ)すべてのxについて(xがKをするならば、xはsであるか、または、xはgである)。然るに、
(ⅱ)あるxが(Kをせずに、Sをする)といふことは無い。然るに、
(ⅲ)あるxは(jであって、sではないし、gでもない)。従って、
(ⅳ)あるxは(jであって、xはSをしない)。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
(03)
K=合言葉を知ってゐた。
S=銃を盗んだ。
j=ジャック。
s=スミス。
g=門衛。
であるとする。
従って、
(02)(03)により、
(04)
(ⅰ)すべてのxについて(xが合言葉を知ってゐたならば、xはスミスであるか、または、xは門衛である)。然るに、
(ⅱ)あるxが(合言葉を知らずに、銃を盗んだ)といふことは有り得無い。然るに、
(ⅲ)あるxは(ジャックであって、スミスではないし、門衛でもない)。 従って、
(ⅳ)あるxは(ジャックであって、xは銃を盗んでゐない)。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(04)により、
(05)
(ⅰ)スミスと門衛のみがが合言葉を知ってゐた。然るに、
(ⅱ)合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
(ⅲ)ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
(ⅳ)ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(02)(05)により、
(06)
(ⅰ)スミスと門衛のみがが合言葉を知ってゐた。然るに、
(ⅱ)合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
(ⅲ)ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
(ⅳ)ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論」は「妥当」であるといふことは、
(ⅰ) ∀x( Kx→x=s∨x=g)
(ⅱ)~∃x(~Kx&Sx)
(ⅲ) ∃x(x=j&x≠s&x≠g)
(ⅳ) ∃x(x=j&~Sx)
といふ「述語論理式」によって、「証明」出来る。
然るに、
(07)
「述語論理」は「命題論理」の「拡大(enlargement)」であって、それ故、
「命題論理」の「記号」だけを使って、
(ⅰ) ∀x( Kx→x=s∨x=g)
(ⅱ)~∃x(~Kx&Sx)
(ⅲ) ∃x(x=j&x≠s&x≠g)
(ⅳ) ∃x(x=j&~Sx)
といふ「論理式(Well formed formulae)」を書くことは出来ない。
従って、
(06)(07)により、
(08)
「命題論理」によって、
(ⅰ)スミスと門衛のみがが合言葉を知ってゐた。然るに、
(ⅱ)合言葉を知らない者が銃を盗んだといふことは、有り得ない。然るに、
(ⅲ)ジャックはスミスではないし、門衛でもない。従って、
(ⅳ)ジャックは銃を盗んではゐない。
といふ「推論の妥当性」を「証明」することは、「出来ない」。
因みに、
(09)
(ⅰ)すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物である)。然るに、
(ⅱ)花子は象である。従って、
(ⅲ)花子は動物である。
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ)象は動物である。然るに、
(ⅱ)花子は象である。従って、
(ⅲ)花子は動物である。
といふ「推論の妥当性」も、「命題論理」では、「証明出来ない」。
然るに、
(10)
その一方で、「述語論理(の表現力)」に関しては、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた術語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および2つの量記号―しかももたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである(E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、130頁)。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached. The activity involved is one of translation; but the formal language into which translation is being made has a rather different from that of a natural language,and has only a narrow terminology―logical connectives, variables, proper names, predicate-letters, and two quantifiers. The chief merit of the language is that, despite its notational limitations, it has a very wide expressive power(E.J.Lemmon, Beginning Logic, First published in Great Britain 1965).
との、ことである。
(01)
さて次の論証を考えてみよう(これはQuine〔17〕の翻案である)。
(ⅰ)スミスと門衛のみが合言葉を知っていた。
(ⅱ)合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
(ⅲ)故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
これは明らかに健全である。
(E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、209頁改)
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ)スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
(ⅱ)合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
(ⅲ)然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない(アリバイが有る)。
(ⅳ)従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」も、明らかに、健全である。
然るに、
(03)
K=合言葉を知ってゐた。
S=銃を盗んだ。
s=スミス。
j=ジョンソン。
g=門衛。
とする。
然るに、
(04)
1 (1)∀x(Kx→x=s∨x=j∨x=g) A
2 (2)∃x(Kx&Sx) A
3 (3) ~Ss&~Sj A
4 (4) Ka&Sa A
4 (5) Ka 4&E
4 (6) Sa 4&E
1 (7) Ka→a=s∨a=j ∨a=g 1UE
1 4 (8) a=s∨a=j ∨a=g 57MPP
1 4 (9) (a=s∨a=j)∨a=g 8結合法則
ア (ア) (a=s∨a=j) A
イ (イ) a=s A
4 イ (ウ) Ss 6イ=E
4 イ (エ) Ss∨Sj ウ∨I
4 イ (オ) Ss∨Sj∨Sg エ∨I
カ (カ) a=j A
4 カ (キ) Sj 6カ=E
4 カ (ク) Ss∨Sj キ∨I
4 カ (ケ) Ss∨Sj∨Sg ク∨I
4 (コ) Ss∨Sj∨Sg アイオカケ∨E
4 サ(サ) a=g A
4 サ(シ) Sg 6サ=E
4 サ(ス) Sj∨Sg シ∨I
4 サ(セ) Ss∨Sj∨Sg ス∨I
1 4 (ソ) Ss∨Sj∨Sg 9アコサセ∨E
12 (タ) Ss∨Sj∨Sg 24ソEE
12 (チ) (Ss∨Sj)∨Sg タ結合法則
12 (ツ) ~~(Ss∨Sj)∨Sg チDN
12 (テ) ~(Ss∨Sj)→Sg ツ含意の定義
3 (ト) ~(Ss∨Sj) 3ド・モルガンの法則
123 (ナ) Sg テトMPP
従って、
(04)により、
(05)
∀x(Kx→x=s∨x=j∨x=g),∃x(Kx&Sx),~Ss&~Sj├ Sg
といふ「連式」は「妥当」である。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
(ⅰ)∀x(Kx→x=s∨x=j∨x=g)
(ⅱ)∃x(Kx&Sx)
(ⅲ)~Ss&~Sj
(ⅳ) Sg
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ)すべてのxについて(xが合言葉を知ってゐたならば、xはスミスか、ジョンソンか、門衛である)。然るに、
(ⅱ)あるxは(合言葉を知ってゐたし、銃を盗んだ)。然るに、
(ⅲ)スミスは銃を盗んでゐないし、ジョンソンも銃を盗んでいない。従って、
(ⅳ)銃を盗んだのは門衛である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(02)(06)により、
(07)
(ⅰ)スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
(ⅱ)合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
(ⅲ)然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない(アリバイが有る)。
(ⅳ)従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」は、『述語論理』としても、「妥当」である。
従って、
(05)(06)(07)により、
(08)
P=スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
Q=合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
R=スミスとジョンソンは盗んでいない(アリバイが有る)。
S=門衛が銃を盗んだ。
とするならば、
P,Q,R├ S
であるものの、
① ∀x(Kx→x=s∨x=j∨x=g),∃x(Kx&Sx),~Ss&~Sj├ Sg
② P,Q,R├ S
に於いて、
① は、『述語論理』として 「妥当(valid)」 であるが、
② は、『命題論理』として「不妥当(invalid)」である。
従って、
(07)(08)により、
(09)
例へば、
(ⅰ)スミスとジョンソンと門衛のみが合言葉を知っていた。
(ⅱ)合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。
(ⅲ)然るに、スミスとジョンソンは盗んでいない。
(ⅳ)従って、門衛が銃を盗んだ。
といふ「推論」の「妥当性」は、『命題論理』では「証明」出来ない。
(01)
さて次の論証を考えてみよう(これはQuine〔17〕の翻案である)。
(12)スミスとその門衛のみが合言葉を知っていた。合言葉を知っていたある者が銃を盗んだ。故に、スミスかあるいはその門衛が銃を盗んだ。
Only Smith and the guard at the gate knew the password; Someone who knew the password stole the gun. Therefore, either Smith or the guard at the gate stole the gun.
これは明らかに健全である。しかしその健全性を、等号を含まない述語計算の中で示すことはできないのである。
「のみ(only)」という語の通常の意味を念頭におくならば、(12)の第1の前提は次のことを意味する。
(13)合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいはその門衛であった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
(13)において、2つの「であった(was)」は同一性の「であった(was)」である。従って、
「K」が「合言葉を知っていたこと」を、「m」がスミス、「n」がその門衛を表すとするならば、(13)はつぎのように記号化される。
(14)∀x(Kx→x=m∨x=n)
(E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、209頁)
然るに、
(02)
1 (1)∀x(Kx→x=m∨x=n) A
1 (2) Ka→a=m∨a=n 1UE
3 (3)∃x(x=o&x≠m&x≠n) A
4 (4) a=o&a≠m&a≠n A
4 (5) a=o 4&E
4 (6) a≠m&a≠n 4&E
7 (7) a=m∨a=n A
4 (8) a≠m 6&E
9 (9) a=m A
4 9 (ア) a≠m&a=m 89&I
9 (イ) ~(a≠m&a≠n) 4アRAA
4 (ウ) a≠n 6&E
エ(エ) a=n A
4 エ(オ) a≠n&a=n ウエ&I
エ(カ) ~(a≠m&a≠n) 4オRAA
7 (キ) ~(a≠m&a≠n) 79イエカ∨E
47 (ク) (a≠m&a≠n)&
~(a≠m&a≠n) 6キ&I
4 (ケ) ~(a=m∨a=n) 7クRAA
3 (コ) ~(a=m∨a=n) 34ケEE
13 (サ) ~Ka 2コMTT
1 4 (シ) a=o&~Ka 4サ&I
1 4 (ス)∃x(x=o&~Kx) シEI
13 (セ)∃x(x=o&~Kx) 34スEE
1 (ソ)∃x(x=o&x≠m&x≠n)→
∃x(x=o&~Kx) 3セCP
従って、
(02)により、
(03)
① ∀x(Kx→x=m∨x=n)├ ∃x(x=o&x≠m&x≠n)→∃x(x=o&~Kx)
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのxについて、(xが合言葉を知っていたならば、xはスミスであるか、あるいは、門衛であった)。従って、
あるxがoであって、そのxが、スミスではなく、門衛でもないならば、oといふxで、合言葉を知らなかったxが存在する。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
(03)により、
(04)
① あるxがoであって、そのxが、スミスではなく、門衛でもないならば、oといふxで、合言葉を知らなかったxが存在する。
といふことは、
(13)合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふことに、「他ならない」。
従って、
(01)(04)により、
(05)
E.J.レモンによる、
「のみ(only)」という語の通常の意味を念頭におくならば、(12)の第1の前提は次のことを意味する。
(13)合言葉を知っていたすべての人は、スミスであったか、あるいは、その門衛の、いずれかであった。
Everyone who knew the the password either was Smith or was the guard at the gate.
といふ「説明」は、「正しい」。
従って、
(05)により、
(06)
「S」を、「銃を盗んだこと」を表すものとして用いるならば、われわれが証明しなくてはならないものはつぎの連式である。
141 ∀x(Kx→x=m∨x=n),∃x(Kx&Sx)├ Sm∨Sn
1 (1)∀x(Kx→x=m∨x=n) A
2 (2)∃x(Kx&Sx) A
3 (3) Ka&Sa A
3 (4) Ka 3&E
3 (5) Sa 3&E
1 (6) Ka→a=m∨a=n 1UE
1 3 (7) a=m∨a=n 46MPP
8 (8) a=m A
38 (9) Sm 58=E
38 (ア) Sm∨Sn 9∨I
イ(イ) a=n A
3 イ(ウ) Sn 5イ=E
3 イ(エ) Sm∨Sn ウ∨I
1 3 (オ) Sm∨Sn 78アイエ∨E
12 (カ) Sm∨Sn 23オEE
(E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、209頁)
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
(07)
「数学」が得意な学生は、世間では、「論理的な思考」が「得意」であるとされてゐるが、
「論理学」が得意な学生が、「論理的な思考」が「不得手」であるはずが無い。
然るに、
(08)
① ∀x(Kx→x=m∨x=n)├ ∃x(x=o&x≠m&x≠n)→∃x(x=o&~Kx)
② ∀x(Kx→x=m∨x=n),∃x(Kx&Sx)├ Sm∨Sn
といふ「述語論理式」は、「数学(mathematics)」ではなく、『語学(language)』である。
従って、
(09)
「(文法を基礎とした)外国語としての英語の学習」が得意な「学生」は、あるいは、
「数学の学習」が得意な「学生」よりも、「論理的な思考」が得意なのかも、知れない(?!)。
(01)
①(日本人の女性である)ならば日本人である。
という「命題」は、「偽にはなり得ない」。
従って、
(01)により、
(02)
①(日本人の女性である)ならば日本人である。
という「命題」は、「恒に真」である。
従って、
(02)により、
(03)
例へば、
P=日本人である。
Q=女性である。
として、
① P&Q→P
という「命題」は、
(ⅰ)P=真。Q=真。
(ⅱ)P=真。Q=偽。
(ⅲ)P=偽。Q=真。
(ⅳ)P=偽。Q=偽。
に於いて、すなわち、
(ⅰ) P& Q
(ⅱ) P&~Q
(ⅲ)~P& Q
(ⅳ)~P&~Q
に於いて、「恒に真」である。
然るに、
(04)
補題:任意の論理式に対する真理表テストの各行に対応して、導出可能な連式を書くことができる。
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和48年、107頁)
従って、
(03)(04)により、
(05)
(ⅰ)
P& Q(1) P& Q A
P& Q(2) P 1&E
P& Q(3) ~Q∨P 2∨I
P& Q(4) ~P∨~Q∨P 3∨I
P& Q(5)(~P∨~Q)∨P 4結合法則
P& Q(6) ~(P&Q)∨P 5ド・モルガンの法則
P& Q(7) P&Q→P 6含意の定義
(ⅱ)
P&~Q(1) P&~Q A
P&~Q(2) ~Q 1&E
P&~Q(3) ~Q∨P 2∨I
P&~Q(4) ~P∨~Q∨P 3∨I
P&~Q(5)(~P∨~Q)∨P 4結合法則
P&~Q(6) ~(P&Q)∨P 5ド・モルガンの法則
P&~Q(7) P&Q→P 6含意の定義
(ⅲ)
~P& Q(1)~P&Q A
~P& Q(2)~P 1&E
~P& Q(3)~P∨~Q 2∨I
~P& Q(4)~(P&Q) 3ド・モルガンの法則
~P& Q(5) ~(P&Q)∨P 4∨I
~P& Q(6) P&Q→P 5含意の定義
(ⅳ)
~P&~Q(1)~P&~Q A
~P&~Q(2) ~Q 1&E
~P&~Q(3)~P∨~Q 2∨I
~P&~Q(4)~(P&Q) 3ド・モルガンの法則
~P&~Q(5) ~(P&Q)∨P 4∨I
~P&~Q(6) P&Q→P 5含意の定義
といふ「計算」は、4つとも、「正しい」。
然るに、
(06)
「プログラミング」の「二重ループ」に倣って、
Pで、(Q∨~Q)を「計算」してから、
~Pで、(Q∨~Q)を「計算」するならば、
(1) P∨~P 排中律(TI)
2 (2) P A
(3) Q∨~Q 排中律(TI)
4 (4) Q A
24 (5) P& Q 24&I
24 (6) P& Q→P (ⅰ)による。
7 (7) ~Q A
2 7 (8) P&~Q 27&I
2 7 (9) P& Q→P (ⅱ)による。
2 (ア) P& Q→P 34679∨E
イ(イ) ~P A
4 イ(ウ)~P& Q イ4&I
4 イ(エ) P& Q→P (ⅲ)による。
7イ(オ)~P&~Q イ7&I
7イ(カ) P& Q→P (ⅳ)による。
イ(キ) P& Q→P 34エ7カ∨E
(ク) P& Q→P 12アイキ∨E
然るに、
(06)により、
(07)
この例から、どうして一般に∨Eの適用によって、論理式Aが依存する仮定の数が次第に減って行き、排中律の代入例が最後に用いられるときには、全く仮定が残らなくなる(仮定の数がゼロになる)かということが明らかになるはずである。
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和48年、113頁)
然るに、
(08)
定理とは、仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である。
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和48年、64頁)
従って、
(03)~(08)により、
(09)
例へば、
P=日本人である。
Q=女性である。
として、
① P&Q→P
①(日本人の女性である)ならば日本人である。
という「トートロジー(恒真命題)」に関して、
メタ定理Ⅱ:すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和48年、104頁)
といふ『メタ定理』は、「正しい」。
然るに、
(10)
わざわざ、「このやうな証明」をしなくとも、
①(日本人の女性である)ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことは、「直観的に、明らかである」。
然るに、
(11)
といふよりも、
特に第2章の第5節は、本書の他の部分よりも遥かに難しい(good deal more difficult)。
普通の読者(the ordinary reader)はとばす(つまり早く読み通す)のが賢明であろう。
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和48年、64頁)
従って、
(10)(11)により、
(12)
①(日本人の女性である)ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことを、
メタ定理Ⅱ:すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
といふ『メタ定理』として「理解」することは、「普通の人には、かなり難しい」。