雷サージ発生回路（序）

雷サージ発生回路解析のための準備体操

EMCのイミュニティ試験等に雷サージ発生回路が使用されます。
実際の回路は添付回路図のe(t)と並列にもう1本抵抗が入ります。この追加される1本の抵抗によって、C2に一旦電荷が蓄えられた後、C1、C2の電荷が放電されて急峻に立上り、やや緩やかに立ち下がる雷サージ電圧を出力します。

雷サージ発生回路の過渡特性はかなり複雑なので、導入のために、ひとまず抵抗を1本取去った添付の回路の過渡特性を求めてみます。


まず方程式をたてます。

i(t)＝{q1(t)/C1－q2(t)/C2}/R
i(t)＝q1(t)/C1R－q2(t)/C2R ----- ①

（初期条件：　q1(0)＝E0*C1　 q2(0)＝0　）

式①をラプラス変換します。
I＝Q1/C1R－Q2/C2R ----- ②

dq1(t)/dt＝－i(t) 　　　[　q1(t)＝－∫ i(t) dt　]
ラプラス変換すると
sQ1－q1(0)＝－I
Q1＝－I/s＋q1(0)/s

dq2(t)/dt＝i(t)
ラプラス変換すると
sQ2－q2(0)＝I
Q2＝I/s＋q2(0)/s　

Q1とQ2を式②に代入します。
I＝{－I/s＋q1(0)/s }/ C1R－{ I/s＋q2(0)/s }/ C2R

初期条件より
I＝{－I/s＋E0*C1 /s }/ C1R－I/s / C2R
I＝{－I＋E0*C1 }/ sC1R－I/sC2R
I＝－I/ sC1R＋E0/ sR－I/sC2R
I＋I/ sC1R＋I/sC2R＝E0/ sR
(1＋1/ sC1R＋1/ sC2R)I＝E0/ sR

両辺にsRをかけて
(sR＋1/C1＋1/C2)I＝E0　
I＝E0 / (sR＋1/C1＋1/C2)
I＝(E0 /R) / (s＋1/C1R＋1/C2R)
I＝(E0 /R) / {s＋(1/C1R＋1/C2R)}

e^at　⇔　1/ (s－a)　の変換式に当てはめて
逆ラプラス変換します。

i(t)＝(E0 /R) e^－(1/C1R＋1/C2R) t
となりました。

次にe(t)を求めてみましょう。

dq1(t)/dt＝－i(t)
q1(t)＝∫－(E0 /R) e^－(1/C1R＋1/C2R) t　dt　
q1(t)＝－(E0 /R) ∫ e^－(1/C1R＋1/C2R) t　dt　
q1(t)＝－(E0 /R)[{－1/(1/C1R＋1/C2R)} e^－(1/C1R＋1/C2R) t＋A]　
（Aは積分定数）
q1(t)＝{(E0 /R)/(1/C1R＋1/C2R)} e^－(1/C1R＋1/C2R) t－(E0 /R)A

e(t)＝q1(t)/C1　
e(t)＝{(E0 /R)/ C1(1/C1R＋1/C2R)} e^－(1/C1R＋1/C2R) t－(E0 /R)A/C1
e(t)＝{(E0 / C1R)/ (1/C1R＋1/C2R)} e^－(1/C1R＋1/C2R) t－(E0 / C1R)A

分母分子にC1Rをかけて
e(t)＝{E0 /(1＋C1/C2)} e^－(1/C1R＋1/C2R) t－(E0 / C1R)A

初期条件より
e(0)＝E0　
E0 /(1＋C1/C2) －(E0 / C1R)A＝E0　両辺をE0で割って
1/(1＋C1/C2) －A/ C1R＝1
C1R /(1＋C1/C2) －A＝C1R
A＝C1R /(1＋C1/C2) －C1R
A＝C1R {1/(1＋C1/C2) －1}


e(t)＝{E0 /(1＋C1/C2)} e^－(1/C1R＋1/C2R) t－(E0 / C1R)A
A＝C1R {1/(1＋C1/C2) －1}　を代入する

e(t)＝{E0 /(1＋C1/C2)} e^－(1/C1R＋1/C2R) t
－(E0 / C1R) C1R {1/(1＋C1/C2)－1}
e(t)＝{E0 /(1＋C1/C2)} e^－(1/C1R＋1/C2R) t－E0/ (1＋C1/C2)＋E0　
この式が意味が分かりやすい。

e(t)＝E0 e^－(1/C1R＋1/C2R) t /(1＋C1/C2) －E0/(1＋C1/C2)＋E0　
e(t)＝(E0 e^－(1/C1R＋1/C2R) t－E0 ) / (1＋C1/C2)＋E0　
e(t)＝E0 ( e^－(1/C1R＋1/C2R) t－1) /(1＋C1/C2)＋E0　
これはエクセルに入力しやすい。意味もまあまあわかる。

求めたe(t)をエクセルでグラフ化したものが添付図です。
C2＝C1であれば理屈通りe(t)/2に落ち着きます。
C2＝3C1であれば青のグラフラインです。