第３章 光とともに ナンバー1647

ナンバー1647　2017.11.20　複素数のかけ算
たとえば（＋２）×（－３）＝（－６）の実数のかけ算を数直線上で見ると、ゼロからプラスへ２のところから３倍した後、かける数がマイナスなので、180度反転した－６が答えになります。
複素数の場合、たとえば（３＋２ｉ）×ｉ＝（－２＋３ｉ）では、複素平面上の横軸の実数＋３から縦方向に伸ばした線と、縦軸の虚数＋２ｉから横に伸ばした線が交差する点が３＋２ｉです。この３＋２ｉの点を反時計回りに90度回転すると－２＋３ｉになります。
複素数のかけ算の場合は、１に複素数３＋２ｉをかければ３＋２ｉになり、ｉに３＋２ｉをかければ－２＋３ｉとなり、１＋ｉに３＋２ｉをかければ１＋５ｉになります。
これを複素平面図に描くと、「原点と１を結ぶ線分」が「原点と３＋２ｉを結ぶ線分」となるように、複素平面が同じ形のまま拡大しつつ回転しています。
複数の点がつくる図形に対して、複素数のかけ算をおこなうと、図形は相似を保ちながら回転しながら、拡大あるいは縮小することになります。
この複素数にこそ価値があるのではないかと考えて、まだ世の中に認められていない中で、ひるむことなく研究したのがオイラーやガウスたちでした。
オーギュスタン・ルイ・コーシー（1789年～1857年）は複素平面上に微分積分をやってみると、複素数の微分積分が実数の微分積分を求めるときに有用であり、美しく鮮やかに求められたといいます。
素数について調べるのに重要な、「ゼータ解析」という非常に重要な実数の関数があります。
これを複素数の関数にまで拡張したゼータ関数を調べようとしたのがリーマンという数学者です。
彼は複素数のゼロ点と呼ばれる位置が、もともとの素数について非常に重要な情報を知っているということまで突き止めています。
一回複素数の世界まで行って微分積分をして、実数の世界に戻ってくると、もともとの実数や素数についてよくわかるだろうということです。
この複素関数のゼロ点の位置まで問うことは、現在未解決の超難問ですが、もしこれらの解答が得られれば私たち人類は新たな時代へと向かうことになるだろうという数学者さえいます。
複素数とは、実数を映し出す鏡であり、多くの技術的分野で扱われていて、私たちの生活を支えるまでに成長しています。
ナンバー1648につづく

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少しずつ続けていきますので、よろしくお願いいたします。
今朝も冷え込んでます、皆様も体調には気を付けてくださいね。