こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、令和２年度灘中の問題です。
問題は、
「下の図は、１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨです。
Ｐは辺ＡＢの真ん中の点、Ｑは辺ＦＧの真ん中の点、Ｒは辺ＧＨの真ん中の点です。この立方体を３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切ったとき、この平面は辺ＡＤの真ん中の点Ｓを通ります。
（１） 四角すいＣ－ＰＱＲＳの体積を求めなさい。
（２） ３点Ａ、Ｂ、Ｇを通る平面で四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたとき、点Ｑを含む方の立体の体積を求めなさい。
（３） ３点Ｂ、Ｄ、Ｆを通る平面で四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたとき、その切り口の面積は、四角形ＢＦＨＤの面積の[ ]倍で、点Ｑを含む方の立体の体積は[ ]ｃｍ3です。」
です。
図１に、与えられた条件を書き入れました。
▲図１．与えられた条件を書き入れました
中学生ならば、三平方の定理を利用して解けそうですが、ここではそれを使わずに進めましょう。
立方体を辺ＤＨと辺ＢＦが重なるように辺ＤＨ側から眺めると、平面ＰＱＲＳは図２に緑色でマークした線分ＳＲになり、立方体は、平面ＰＱＲＳにより２等分されます。
▲図２．平面ＰＱＲＳは辺ＤＨの中点Ｙで交わります
また、平面ＰＱＲＳは辺ＤＨ、辺ＢＦの中点で交わり、したがって、立方体を平面ＰＱＲＳで切ったときの切り口は、図３のように、正六角形ＰＸＱＲＹＳになります。
▲図３．立方体を平面ＰＱＲＳで切ったときの切り口は正六角形ＰＸＱＲＹＳになります
ここで、正六角すいＣ－ＰＸＱＲＹＳの体積は、立方体の体積の半分から、図４に示す３つの三角すいＣ－ＰＢＸ、Ｃ－ＱＧＲ、Ｃ－ＹＤＳの体積を引いたものなので、
です。
▲図４．正六角すいＣ－ＰＸＱＲＹＳの体積は立方体の体積の半分から３つの三角すいＣ－ＰＢＸ、Ｃ－ＱＧＲ、Ｃ－ＹＤＳの体積を引いたものになります
このとき、正六角すいの底面の正六角形ＰＸＱＲＹＳに注目すると、これは正六角形の中心と各頂点を結んだ６つの合同な正三角形から成り、この正六角形からら長方形ＰＱＲＳを除いた図形は△ＸＰＱと△ＹＲＳで、これらの面積はいずれも正三角形の面積と等しくなります。
したがって、正六角形ＰＸＱＲＹＳと長方形ＰＱＲＳの面積比は６：４＝３：２になり、これから、
で、これが（１）の答えです。
次に（２）です。
３点Ａ、Ｂ、Ｇを通る平面は、図５の図のように、平面ＡＢＧＨ（青色でマーク）になり、直線ＰＲはこの平面上にあります。
▲図５．直線ＰＲは平面ＡＢＧＨ上にあります
ここで図６のように、直線ＢＧと直線ＣＱとの交点をＺとすると、平面ＡＢＧＨによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの点Ｑを含む立体は、三角すいＺ－ＰＱＲ（赤色でマーク）になります。
▲図６．体積を求める立体は三角すいＺ－ＰＱＲです
このとき、三角すいＺ－ＰＱＲの底面ＰＱＲは、四角すいＣ－ＰＱＲＳの底面ＰＱＲＳの半分なので、三角すいＺ－ＰＱＲと四角すいＣ－ＰＱＲＳの高さの比が判れば、（１）の答えから三角すいＺ－ＰＱＲの体積が計算できます。
そこで図６の右側の図のように、面ＢＦＧＣに注目すると、△ＺＱＧ∽△ＺＢＣ、ＱＧ：ＣＢ＝１：２から、ＺＱ：ＺＣ＝１：２になり、したがって、ＣＱ：ＺＱ＝３：１で、このとき四角すいＣ－ＰＱＲＳと三角すいＺ－ＰＱＲの高さの比はＣＯとＺＯの比に等しくなります。
したがって、
で、これが答えです。
最後の（３）です。
３点Ｂ、Ｄ、Ｆを通る平面は、図７の左側の図のように、平面ＢＦＨＤ（青色でマーク）になり、直線ＢＤと直線ＸＹはこの平面上にあります。
ここで直線ＢＤと直線ＰＣおよび直線ＳＣとの交点をそれぞれＴ、Ｕ、さらに、直線ＸＹと直線ＰＱおよび直線ＳＲとの交点をそれぞれＶ、Ｗとすると、平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの切り口は、台形ＴＶＷＵ（紺色でマーク）になります。
▲図７．平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの切り口は四角形ＴＶＷＵです
そこで図７の右側の図のように、面ＡＢＣＤに注目すると、△ＡＢＤ∽△ＡＰＳ、ＡＢ：ＡＰ＝２：１から、ＢＤ：ＰＳ＝２：１で、このとき、ＢＤの長さを２ｋ（ｃｍ）とすると、ＰＳ＝ｋ（ｃｍ）です。
また、△ＣＤＴ∽△ＰＢＴ、ＣＤ：ＰＢ＝２：１から、ＤＴ：ＢＴ＝２：１になり、したがって、ＢＤ：ＢＴ＝３：１で、同様に、ＢＤ：ＤＵ＝３：１になることから、
です。
このとき、ＰＳ＝ＶＷ＝ｋ（ｃｍ）から
です。
一方、
（長方形ＢＦＨＤの面積）＝２ｋ×６＝１２ｋ（ｃｍ2）
なので、台形ＴＶＷＵの面積は長方形ＢＦＨＤの面積の
です。
次に、平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの点Ｑを含む方の立体の体積を計算します。
この立体は、図８のように、四角すいＣ－ＰＱＲＳから立体ＰＳＷＶＴＵを除いたものなので、ここでは立体ＰＳＷＶＴＵの体積を求めて、それを四角すいＣ－ＰＱＲＳの体積から差し引くことにします。
▲図８．立体ＰＳＷＶＴＵは四角すいＣ－ＰＶＷＳから四角すいＣ－ＴＶＷＵを除いたものです
まず図８の右側の図のように、△ＣＤＴ∽△ＰＢＴ、ＣＤ：ＰＴ＝２：１から、ＣＴ：ＴＰ＝２：１、同様に、ＣＵ：ＵＳ＝２：１です。
次に図９のように、四角すいＣ－ＰＱＶＷを２つの三角すいＣ－ＰＶＳとＣ－ＶＷＳに分けると、これらの２つの三角すいは合同で、
です。
▲図９．四角すいＣ－ＰＱＶＷを２つの三角すいＣ－ＰＶＳとＣ－ＶＷＳに分けました
ここで図８の左側の図の三角すいＣ－ＰＶＳに注目すると、
（△ＣＰＳの面積）：（台形ＰＳＵＴの面積）＝９：５
から、
です。
続いて図９の右側の図の三角すいＣ－ＶＷＳに注目すると、
（△ＣＳＷの面積）：（△ＵＳＷの面積）＝３：１
から、
です。
したがって、
になり、平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの点Ｑを含む方の立体の体積は、
（四角すいＣ－ＰＱＲＳの体積）－（立体ＰＳＷＶＴＵの体積）＝５４－１２＝４２（ｃｍ3）
です。
以上をまとめると、１番目と２番目の[ ]は、それぞれ
で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、令和２年度灘中の問題です。
問題は、
「下の図は、１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨです。
Ｐは辺ＡＢの真ん中の点、Ｑは辺ＦＧの真ん中の点、Ｒは辺ＧＨの真ん中の点です。この立方体を３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切ったとき、この平面は辺ＡＤの真ん中の点Ｓを通ります。
（１） 四角すいＣ－ＰＱＲＳの体積を求めなさい。
（２） ３点Ａ、Ｂ、Ｇを通る平面で四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたとき、点Ｑを含む方の立体の体積を求めなさい。
（３） ３点Ｂ、Ｄ、Ｆを通る平面で四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたとき、その切り口の面積は、四角形ＢＦＨＤの面積の[ ]倍で、点Ｑを含む方の立体の体積は[ ]ｃｍ3です。」
です。
図１に、与えられた条件を書き入れました。
▲図１．与えられた条件を書き入れました
中学生ならば、三平方の定理を利用して解けそうですが、ここではそれを使わずに進めましょう。
立方体を辺ＤＨと辺ＢＦが重なるように辺ＤＨ側から眺めると、平面ＰＱＲＳは図２に緑色でマークした線分ＳＲになり、立方体は、平面ＰＱＲＳにより２等分されます。
▲図２．平面ＰＱＲＳは辺ＤＨの中点Ｙで交わります
また、平面ＰＱＲＳは辺ＤＨ、辺ＢＦの中点で交わり、したがって、立方体を平面ＰＱＲＳで切ったときの切り口は、図３のように、正六角形ＰＸＱＲＹＳになります。
▲図３．立方体を平面ＰＱＲＳで切ったときの切り口は正六角形ＰＸＱＲＹＳになります
ここで、正六角すいＣ－ＰＸＱＲＹＳの体積は、立方体の体積の半分から、図４に示す３つの三角すいＣ－ＰＢＸ、Ｃ－ＱＧＲ、Ｃ－ＹＤＳの体積を引いたものなので、
です。
▲図４．正六角すいＣ－ＰＸＱＲＹＳの体積は立方体の体積の半分から３つの三角すいＣ－ＰＢＸ、Ｃ－ＱＧＲ、Ｃ－ＹＤＳの体積を引いたものになります
このとき、正六角すいの底面の正六角形ＰＸＱＲＹＳに注目すると、これは正六角形の中心と各頂点を結んだ６つの合同な正三角形から成り、この正六角形からら長方形ＰＱＲＳを除いた図形は△ＸＰＱと△ＹＲＳで、これらの面積はいずれも正三角形の面積と等しくなります。
したがって、正六角形ＰＸＱＲＹＳと長方形ＰＱＲＳの面積比は６：４＝３：２になり、これから、
で、これが（１）の答えです。
次に（２）です。
３点Ａ、Ｂ、Ｇを通る平面は、図５の図のように、平面ＡＢＧＨ（青色でマーク）になり、直線ＰＲはこの平面上にあります。
▲図５．直線ＰＲは平面ＡＢＧＨ上にあります
ここで図６のように、直線ＢＧと直線ＣＱとの交点をＺとすると、平面ＡＢＧＨによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの点Ｑを含む立体は、三角すいＺ－ＰＱＲ（赤色でマーク）になります。
▲図６．体積を求める立体は三角すいＺ－ＰＱＲです
このとき、三角すいＺ－ＰＱＲの底面ＰＱＲは、四角すいＣ－ＰＱＲＳの底面ＰＱＲＳの半分なので、三角すいＺ－ＰＱＲと四角すいＣ－ＰＱＲＳの高さの比が判れば、（１）の答えから三角すいＺ－ＰＱＲの体積が計算できます。
そこで図６の右側の図のように、面ＢＦＧＣに注目すると、△ＺＱＧ∽△ＺＢＣ、ＱＧ：ＣＢ＝１：２から、ＺＱ：ＺＣ＝１：２になり、したがって、ＣＱ：ＺＱ＝３：１で、このとき四角すいＣ－ＰＱＲＳと三角すいＺ－ＰＱＲの高さの比はＣＯとＺＯの比に等しくなります。
したがって、
で、これが答えです。
最後の（３）です。
３点Ｂ、Ｄ、Ｆを通る平面は、図７の左側の図のように、平面ＢＦＨＤ（青色でマーク）になり、直線ＢＤと直線ＸＹはこの平面上にあります。
ここで直線ＢＤと直線ＰＣおよび直線ＳＣとの交点をそれぞれＴ、Ｕ、さらに、直線ＸＹと直線ＰＱおよび直線ＳＲとの交点をそれぞれＶ、Ｗとすると、平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの切り口は、台形ＴＶＷＵ（紺色でマーク）になります。
▲図７．平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの切り口は四角形ＴＶＷＵです
そこで図７の右側の図のように、面ＡＢＣＤに注目すると、△ＡＢＤ∽△ＡＰＳ、ＡＢ：ＡＰ＝２：１から、ＢＤ：ＰＳ＝２：１で、このとき、ＢＤの長さを２ｋ（ｃｍ）とすると、ＰＳ＝ｋ（ｃｍ）です。
また、△ＣＤＴ∽△ＰＢＴ、ＣＤ：ＰＢ＝２：１から、ＤＴ：ＢＴ＝２：１になり、したがって、ＢＤ：ＢＴ＝３：１で、同様に、ＢＤ：ＤＵ＝３：１になることから、
です。
このとき、ＰＳ＝ＶＷ＝ｋ（ｃｍ）から
です。
一方、
（長方形ＢＦＨＤの面積）＝２ｋ×６＝１２ｋ（ｃｍ2）
なので、台形ＴＶＷＵの面積は長方形ＢＦＨＤの面積の
です。
次に、平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの点Ｑを含む方の立体の体積を計算します。
この立体は、図８のように、四角すいＣ－ＰＱＲＳから立体ＰＳＷＶＴＵを除いたものなので、ここでは立体ＰＳＷＶＴＵの体積を求めて、それを四角すいＣ－ＰＱＲＳの体積から差し引くことにします。
▲図８．立体ＰＳＷＶＴＵは四角すいＣ－ＰＶＷＳから四角すいＣ－ＴＶＷＵを除いたものです
まず図８の右側の図のように、△ＣＤＴ∽△ＰＢＴ、ＣＤ：ＰＴ＝２：１から、ＣＴ：ＴＰ＝２：１、同様に、ＣＵ：ＵＳ＝２：１です。
次に図９のように、四角すいＣ－ＰＱＶＷを２つの三角すいＣ－ＰＶＳとＣ－ＶＷＳに分けると、これらの２つの三角すいは合同で、
です。
▲図９．四角すいＣ－ＰＱＶＷを２つの三角すいＣ－ＰＶＳとＣ－ＶＷＳに分けました
ここで図８の左側の図の三角すいＣ－ＰＶＳに注目すると、
（△ＣＰＳの面積）：（台形ＰＳＵＴの面積）＝９：５
から、
です。
続いて図９の右側の図の三角すいＣ－ＶＷＳに注目すると、
（△ＣＳＷの面積）：（△ＵＳＷの面積）＝３：１
から、
です。
したがって、
になり、平面ＢＦＨＤによって四角すいＣ－ＰＱＲＳを２つの立体に分けたときの点Ｑを含む方の立体の体積は、
（四角すいＣ－ＰＱＲＳの体積）－（立体ＰＳＷＶＴＵの体積）＝５４－１２＝４２（ｃｍ3）
です。
以上をまとめると、１番目と２番目の[ ]は、それぞれ
で、これが答えです。
簡単な問題です。
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