こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、令和２年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学専攻の入試問題です。
問題は、
「ｐが素数のとき、（ｐ－１）！＋１ はｐで割り切れる。これを利用して以下を求めよ。
ただし正の整数ｍについて ｍ！≡ｍ×（ｍ－１）×（ｍ－２）×・・・×２×１ である。
１） ９！を１１で割ったときの余り
２） ５８！を６１で割ったときの余り 」
です。
１１は素数なので、 （１１－１）！＋１ ＝１０！＋１ は１１で割り切れます。
このとき、１を１１で割ったときの余りは１なので、１０！を１１で割ったときの余りは１０になります。
ここで、
９！＝１１ｑ1＋ｒ1 （ｒ1は ０≦ｒ1≦１０の整数）
とすると、
１０！＝１０×９！
＝１０（１１ｑ1＋ｒ1）
＝１１×１０ｑ1＋１０ｒ1
で、これから １０ｒ1 を１１で割ったときの余りは１０になるので、
１０ｒ1＝１１ｑ2＋１０ → １０（ｒ1－１）＝１１ｑ2
が成り立ちます。
すると、
ｒ1－１＝１１ｋ （ｋは整数） → ｒ1＝１１ｋ＋１
で、このとき、０≦ｒ1≦１０から
０≦ｒ1＝１１ｋ＋１≦１０
になり、これを満たすのは ｋ＝０のときで、したがって、ｒ1＝１です。
以上から、９！を１１で割ったときの余りは １ で、これが１）の答えです。
続いて２）です。
１）と同じように進めれば大丈夫です。
６１は素数なので、 （６１－１）！＋１ ＝６０！＋１ は６１で割り切れます。
このとき、１を６１で割ったときの余りは１なので、６０！を６１で割ったときの余りは６０になります。
ここで、
５８！＝６１ｑ3＋ｒ3 （ｒ3は ０≦ｒ3≦６０の整数）
とすると、
６０！＝６０×５９×５８！
＝３５４０（６１ｑ3＋ｒ3）
＝（６１×５８＋２）（６１ｑ3＋ｒ3）
＝６１（５８×６１ｑ3＋５８ｒ3＋２ｑ3）＋２ｒ3
で、これから ２ｒ3 を６１で割ったときの余りは６０になるので、
２ｒ3＝６１ｑ4＋６０ → ２（ｒ3－３０）＝６１ｑ4
が成り立ちます。
すると、
ｒ3－３０＝６１ｌ （ｌは整数） → ｒ３＝６１ｌ＋３０
で、このとき、０≦ｒ3≦６０から
０≦ｒ3＝６１ｌ＋３０≦６０
になり、これを満たすのは ｌ＝０のときで、したがって、ｒ3＝３０です。
以上から、５８！を６１で割ったときの余りは ３０ で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、令和２年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学専攻の入試問題です。
問題は、
「ｐが素数のとき、（ｐ－１）！＋１ はｐで割り切れる。これを利用して以下を求めよ。
ただし正の整数ｍについて ｍ！≡ｍ×（ｍ－１）×（ｍ－２）×・・・×２×１ である。
１） ９！を１１で割ったときの余り
２） ５８！を６１で割ったときの余り 」
です。
１１は素数なので、 （１１－１）！＋１ ＝１０！＋１ は１１で割り切れます。
このとき、１を１１で割ったときの余りは１なので、１０！を１１で割ったときの余りは１０になります。
ここで、
９！＝１１ｑ1＋ｒ1 （ｒ1は ０≦ｒ1≦１０の整数）
とすると、
１０！＝１０×９！
＝１０（１１ｑ1＋ｒ1）
＝１１×１０ｑ1＋１０ｒ1
で、これから １０ｒ1 を１１で割ったときの余りは１０になるので、
１０ｒ1＝１１ｑ2＋１０ → １０（ｒ1－１）＝１１ｑ2
が成り立ちます。
すると、
ｒ1－１＝１１ｋ （ｋは整数） → ｒ1＝１１ｋ＋１
で、このとき、０≦ｒ1≦１０から
０≦ｒ1＝１１ｋ＋１≦１０
になり、これを満たすのは ｋ＝０のときで、したがって、ｒ1＝１です。
以上から、９！を１１で割ったときの余りは １ で、これが１）の答えです。
続いて２）です。
１）と同じように進めれば大丈夫です。
６１は素数なので、 （６１－１）！＋１ ＝６０！＋１ は６１で割り切れます。
このとき、１を６１で割ったときの余りは１なので、６０！を６１で割ったときの余りは６０になります。
ここで、
５８！＝６１ｑ3＋ｒ3 （ｒ3は ０≦ｒ3≦６０の整数）
とすると、
６０！＝６０×５９×５８！
＝３５４０（６１ｑ3＋ｒ3）
＝（６１×５８＋２）（６１ｑ3＋ｒ3）
＝６１（５８×６１ｑ3＋５８ｒ3＋２ｑ3）＋２ｒ3
で、これから ２ｒ3 を６１で割ったときの余りは６０になるので、
２ｒ3＝６１ｑ4＋６０ → ２（ｒ3－３０）＝６１ｑ4
が成り立ちます。
すると、
ｒ3－３０＝６１ｌ （ｌは整数） → ｒ３＝６１ｌ＋３０
で、このとき、０≦ｒ3≦６０から
０≦ｒ3＝６１ｌ＋３０≦６０
になり、これを満たすのは ｌ＝０のときで、したがって、ｒ3＝３０です。
以上から、５８！を６１で割ったときの余りは ３０ で、これが答えです。
簡単な問題です。