こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、令和２年度灘高の問題です。
問題は、
「サイコロを３回投げる。１回目、２回目、３回目に出た目の数をそれぞれ百の位、十の位、一の位の数字とする整数を作る。
（１） この整数が、２の倍数または５の倍数となる確率を求めよ。
（２） この整数が、２の倍数または５の倍数または９の倍数となる確率を求めよ。」
です。
与えられた操作で作った整数が２の倍数になるのは、
・ １、２投目の数がそれぞれ１から６までのいずれかの数
かつ、
・ ３投目の数が２、４、６
の場合なので、この場合の数は、
６×６×３＝１０８（通り）
です。
また、５の倍数になるのは、
・ １，２投目の数がそれぞれ１から６までのいずれかの数
かつ、
・ ３投目の数が５
の場合なので、この場合の数は、
６×６×１＝３６（通り）
です。
このとき、２の倍数と５の倍数に共通する整数は１０の倍数ですが、サイコロの目の数に０はないので、１０の倍数はありません。
したがって、２の倍数または５の倍数となる場合の数は、
１０８＋３６＝１４４（通り）
で、このとき、すべての目の数の出方が
６×６×６＝２１６（通り）
であることから、２の倍数または５の倍数となる確率は、
で、これが（１）の答えです。
続いて（２）です。
図１に示すベン図を考えましょう。
▲図１．ベン図を描きました
１０の倍数の場合と同じように、９０の倍数もありません。これと（１）の結果をベン図に書き入れると図２のようになります。
▲図２．（１）の結果と９０の倍数の個数を書き入れました
ここからまず、９の倍数の個数を勘定します。
ある整数が９の倍数であると、整数の各桁の数の和は９の倍数になります。
また、サイコロの目の数は１以上６以下の整数なので、与えられた操作で作った整数の各桁の和は３以上１８以下になり、このうち９の倍数は
９と１８です。
したがって、サイコロを３回投げて出た目の和が９または１８になる場合の数を勘定すればよく、ここから、それぞれの場合に分けて調べていきます。
● サイコロを３回投げて出た目の和が９の場合
９個の玉を左右１列に並べて、これらの８か所の間隔に２個の仕切りを入れ、左側の玉の個数を１投目の数、中央の玉の個数を２投目の数、右側の玉の数を３投目の数とします。
すると、この仕切りの入れ方のうち、仕切られた玉の個数が７個でないものの場合の数が、サイコロを３回投げて出た目の和が９になる整数の個数になります。
そこで、２個の仕切りの入れ方の場合の数を計算すると、
になり、このうち、仕切られた玉の個数が７個であるものの場合の数は、
〇〇〇〇〇〇〇ｌ〇ｌ〇
〇ｌ〇〇〇〇〇〇〇ｌ〇
〇ｌ〇ｌ〇〇〇〇〇〇〇
（〇：玉、 ｌ：仕切り）
の３通りです。
したがって、サイコロを３回投げて出た目の和が９になる場合の数は、
２８－３＝２５（通り）
です。
● サイコロを３回投げて出た目の和が１８の場合
１投目、２投目、３投目の数がいずれも６のときなので、この場合の数は１通りです。
以上から、９の倍数の個数は、
２５＋１＝２６（個）
で、これを図３に書き入れました。
▲図３．９の倍数の個数は２６個です
次に、１８の倍数の個数を勘定します。
与えられた操作で作った整数が１８の倍数になるのは、
① ３投目の数が２で１投目と２投目の数の和が７
② ３投目の数が４で１投目と２投目の数の和が５
③ ３投目の数が６で１投目と２投目の数の和が３または１２
の場合です。
ここから、①、②、③のそれぞれの場合を調べます。
● ①の場合
３投目の数が２なので、１個の仕切りの位置は、
〇〇〇〇〇〇〇ｌ〇〇
です。
すると①の場合の数は、１個目の仕切りの左側にある７個の玉の間隔（６か所）に２個目の仕切りを入れる場合の数になるので、
です。
● ②の場合
３投目の数が４なので、１個の仕切りの位置は、
〇〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇
です。
すると②の場合の数は、１個目の仕切りの左側にある５個の玉の間隔（４か所）に２個目の仕切りを入れる場合の数になるので、
です。
● ③の場合
３投目の数が６なので、１個の仕切りの位置は、
〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇〇
または
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇〇
です。
すると③の場合の数は、〈上のとき〉１個目の仕切りの左側にある３個の玉の間隔（２か所）に２個目の仕切りを入れる場合の数になるので、
と、〈下のとき〉
〇〇〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇〇
の１通りで、合わせて
２＋１＝３（通り）
です。
したがって、１８の倍数の個数は、
６＋４＋２＋１＝１３(個）
です。
続いて４５の倍数の個数を勘定します。
与えられた操作で作った整数が４５の倍数になるのは、
④ ３投目の数が５で１投目と2投目の数の和が４
の場合です。
● ④の場合
３投目の数が５なので、１個の仕切りの位置は、
〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇
です。
すると④の場合の数は、１個目の仕切りの左側にある４個の玉の間隔（３か所）に２個目の仕切りを入れる場合の数になるので、
です。
したがって、４５の倍数の個数は、
３(個）
です。
これらをベン図に書き入れると図４のようになります。
▲図４．１８と４５の倍数の個数を書き入れました
ここで図５のように、ベン図の７個の領域にその個数を書き入れて完成です。
▲図５．ベン図が完成しました
図５から２の倍数または５の倍数または９の倍数の個数は、
９５＋３３＋１０＋０＋１３＋３＋０＝１５４（個）
になり、したがって、２の倍数または５の倍数または９の倍数となる確率は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、令和２年度灘高の問題です。
問題は、
「サイコロを３回投げる。１回目、２回目、３回目に出た目の数をそれぞれ百の位、十の位、一の位の数字とする整数を作る。
（１） この整数が、２の倍数または５の倍数となる確率を求めよ。
（２） この整数が、２の倍数または５の倍数または９の倍数となる確率を求めよ。」
です。
与えられた操作で作った整数が２の倍数になるのは、
・ １、２投目の数がそれぞれ１から６までのいずれかの数
かつ、
・ ３投目の数が２、４、６
の場合なので、この場合の数は、
６×６×３＝１０８（通り）
です。
また、５の倍数になるのは、
・ １，２投目の数がそれぞれ１から６までのいずれかの数
かつ、
・ ３投目の数が５
の場合なので、この場合の数は、
６×６×１＝３６（通り）
です。
このとき、２の倍数と５の倍数に共通する整数は１０の倍数ですが、サイコロの目の数に０はないので、１０の倍数はありません。
したがって、２の倍数または５の倍数となる場合の数は、
１０８＋３６＝１４４（通り）
で、このとき、すべての目の数の出方が
６×６×６＝２１６（通り）
であることから、２の倍数または５の倍数となる確率は、
で、これが（１）の答えです。
続いて（２）です。
図１に示すベン図を考えましょう。
▲図１．ベン図を描きました
１０の倍数の場合と同じように、９０の倍数もありません。これと（１）の結果をベン図に書き入れると図２のようになります。
▲図２．（１）の結果と９０の倍数の個数を書き入れました
ここからまず、９の倍数の個数を勘定します。
ある整数が９の倍数であると、整数の各桁の数の和は９の倍数になります。
また、サイコロの目の数は１以上６以下の整数なので、与えられた操作で作った整数の各桁の和は３以上１８以下になり、このうち９の倍数は
９と１８です。
したがって、サイコロを３回投げて出た目の和が９または１８になる場合の数を勘定すればよく、ここから、それぞれの場合に分けて調べていきます。
● サイコロを３回投げて出た目の和が９の場合
９個の玉を左右１列に並べて、これらの８か所の間隔に２個の仕切りを入れ、左側の玉の個数を１投目の数、中央の玉の個数を２投目の数、右側の玉の数を３投目の数とします。
すると、この仕切りの入れ方のうち、仕切られた玉の個数が７個でないものの場合の数が、サイコロを３回投げて出た目の和が９になる整数の個数になります。
そこで、２個の仕切りの入れ方の場合の数を計算すると、
になり、このうち、仕切られた玉の個数が７個であるものの場合の数は、
〇〇〇〇〇〇〇ｌ〇ｌ〇
〇ｌ〇〇〇〇〇〇〇ｌ〇
〇ｌ〇ｌ〇〇〇〇〇〇〇
（〇：玉、 ｌ：仕切り）
の３通りです。
したがって、サイコロを３回投げて出た目の和が９になる場合の数は、
２８－３＝２５（通り）
です。
● サイコロを３回投げて出た目の和が１８の場合
１投目、２投目、３投目の数がいずれも６のときなので、この場合の数は１通りです。
以上から、９の倍数の個数は、
２５＋１＝２６（個）
で、これを図３に書き入れました。
▲図３．９の倍数の個数は２６個です
次に、１８の倍数の個数を勘定します。
与えられた操作で作った整数が１８の倍数になるのは、
① ３投目の数が２で１投目と２投目の数の和が７
② ３投目の数が４で１投目と２投目の数の和が５
③ ３投目の数が６で１投目と２投目の数の和が３または１２
の場合です。
ここから、①、②、③のそれぞれの場合を調べます。
● ①の場合
３投目の数が２なので、１個の仕切りの位置は、
〇〇〇〇〇〇〇ｌ〇〇
です。
すると①の場合の数は、１個目の仕切りの左側にある７個の玉の間隔（６か所）に２個目の仕切りを入れる場合の数になるので、
です。
● ②の場合
３投目の数が４なので、１個の仕切りの位置は、
〇〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇
です。
すると②の場合の数は、１個目の仕切りの左側にある５個の玉の間隔（４か所）に２個目の仕切りを入れる場合の数になるので、
です。
● ③の場合
３投目の数が６なので、１個の仕切りの位置は、
〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇〇
または
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇〇
です。
すると③の場合の数は、〈上のとき〉１個目の仕切りの左側にある３個の玉の間隔（２か所）に２個目の仕切りを入れる場合の数になるので、
と、〈下のとき〉
〇〇〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇〇
の１通りで、合わせて
２＋１＝３（通り）
です。
したがって、１８の倍数の個数は、
６＋４＋２＋１＝１３(個）
です。
続いて４５の倍数の個数を勘定します。
与えられた操作で作った整数が４５の倍数になるのは、
④ ３投目の数が５で１投目と2投目の数の和が４
の場合です。
● ④の場合
３投目の数が５なので、１個の仕切りの位置は、
〇〇〇〇ｌ〇〇〇〇〇
です。
すると④の場合の数は、１個目の仕切りの左側にある４個の玉の間隔（３か所）に２個目の仕切りを入れる場合の数になるので、
です。
したがって、４５の倍数の個数は、
３(個）
です。
これらをベン図に書き入れると図４のようになります。
▲図４．１８と４５の倍数の個数を書き入れました
ここで図５のように、ベン図の７個の領域にその個数を書き入れて完成です。
▲図５．ベン図が完成しました
図５から２の倍数または５の倍数または９の倍数の個数は、
９５＋３３＋１０＋０＋１３＋３＋０＝１５４（個）
になり、したがって、２の倍数または５の倍数または９の倍数となる確率は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。