こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、令和２年度灘中の問題です。
問題は、
「平面上に、１辺の長さ６ｃｍの正三角形ＡＢＣと、半径が６ｃｍの円の形をした輪があります。輪ははじめ下の図のように置かれていて、輪の中心は点Ｂと重なっています。
次のように輪を平面上で移動させるとき、輪が通過する部分の面積をそれぞれ求めなさい。ただし、輪の太さは考えないものとします。また、円周率を ３．１４ とし、三角形ＡＢＣの面積を １５．５９ｃｍ2 とします。
（１） 輪の中心が、辺ＢＣ上をＢからＣまで動く。
（２） 輪の中心が、辺ＡＢ上をＢからＡまで動いたのち、辺ＡＣ上をＡからＣまで動く。」
です。
輪の中心が、辺ＢＣ上をＢからＣまで動いたとき、輪が通過する部分は図１の斜線でマークした領域になります。（ここで輪が通過する部分は、輪を円周とする円の通過する部分とは異なることに注意しましょう）
▲図１．輪の中心が辺ＢＣ上をＢからＣまで動いたとき輪が通過する部分です
この斜線部分の面積は、全体の面積（陸上競技のトラックの形をした部分の面積）から、Ｂを中心とする半径６ｃｍの円ＢとＣを中心とする半径６ｃｍの円Ｃの共通部分Ｘの面積を引いたもので、ここから図２に書き入れた数値を使って、それぞれを計算していきます。
▲図２．輪の中心が辺ＢＣ上をＢからＣまで動いたとき輪が通過する部分の面積を計算します
● 全体の面積
全体の図形は、左右にある２つの半円と中央部の長方形を合わせた図形なので、
から、
です。
● ２つの円の共通部分Ｘの面積
２つの円の共通部分Ｘの図形は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形から一辺６ｃｍの正三角形を除いた図形４個と、一辺６ｃｍの正三角形２個を合わせた図形です。
したがって、２つの円の共通部分Ｘの面積は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形４個の面積から正三角形ＡＢＣ２個の面積を引いたものになるので、
です。
以上から、斜線部分の面積は、
で、これが（１）の答えです。
続いて（２）です。
（１）と同じように、輪の中心が辺ＡＢ上をＢからＡまで動いたとき、輪が通過しない部分は、図３の左側の図に示した円Ｂと円Ａの共通部分Ｙで、輪の中心が辺ＡＣ上をＡからＣまで動いたとき、輪が通過しない部分は、図３の右側の図に示した円Ａと円Ｃの共通部分Ｚです。
▲図３．輪の中心が辺ＡＢおよび辺ＡＣを動くとき輪が通過しない部分はそれぞれＹとＺになります
これから、輪の中心が辺ＡＢ上をＢからＡまで動いたのち、辺ＡＣ上をＡからＣまで動いたとき、輪が通過しない部分はＹとＺの共通部分になり、したがって、輪が通過する部分は、図４の斜線部分になります。
▲図４．輪の中心が辺ＢＡおよび辺ＡＣ上をＢ→Ａ→Ｃまで動いたとき輪が通過する部分です
この斜線部分の面積は、全体の面積から、半径６ｃｍの円Ａ、Ｂ、Ｃの共通部分の面積を引いたもので、ここから図５に書き入れた数値を使って、それぞれを計算していきます。
▲図５．輪の中心が辺ＢＡおよび辺ＡＣ上をＢ→Ａ→Ｃまで動いたとき輪が通過する部分の面積を計算します
● 全体の面積
全体の図形は、中央上の半径６ｃｍ、中心角１２０°の扇形と左右下にある半径６ｃｍ、中心角１５０°の２つの扇形と１辺６ｃｍの正方形２個と１辺６ｃｍの正三角形２個を合わせた図形なので、
から、
です。
● ３つの円の共通部分の面積
３つの円の共通部分の図形は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形から一辺６ｃｍの正三角形を除いた図形３個と、一辺６ｃｍの正三角形１個を合わせた図形です。
したがって、３つの円の共通部分の面積は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形３個の面積から正三角形ＡＢＣ２個の面積を引いたものになるので、
です。
以上から、斜線部分の面積は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、令和２年度灘中の問題です。
問題は、
「平面上に、１辺の長さ６ｃｍの正三角形ＡＢＣと、半径が６ｃｍの円の形をした輪があります。輪ははじめ下の図のように置かれていて、輪の中心は点Ｂと重なっています。
次のように輪を平面上で移動させるとき、輪が通過する部分の面積をそれぞれ求めなさい。ただし、輪の太さは考えないものとします。また、円周率を ３．１４ とし、三角形ＡＢＣの面積を １５．５９ｃｍ2 とします。
（１） 輪の中心が、辺ＢＣ上をＢからＣまで動く。
（２） 輪の中心が、辺ＡＢ上をＢからＡまで動いたのち、辺ＡＣ上をＡからＣまで動く。」
です。
輪の中心が、辺ＢＣ上をＢからＣまで動いたとき、輪が通過する部分は図１の斜線でマークした領域になります。（ここで輪が通過する部分は、輪を円周とする円の通過する部分とは異なることに注意しましょう）
▲図１．輪の中心が辺ＢＣ上をＢからＣまで動いたとき輪が通過する部分です
この斜線部分の面積は、全体の面積（陸上競技のトラックの形をした部分の面積）から、Ｂを中心とする半径６ｃｍの円ＢとＣを中心とする半径６ｃｍの円Ｃの共通部分Ｘの面積を引いたもので、ここから図２に書き入れた数値を使って、それぞれを計算していきます。
▲図２．輪の中心が辺ＢＣ上をＢからＣまで動いたとき輪が通過する部分の面積を計算します
● 全体の面積
全体の図形は、左右にある２つの半円と中央部の長方形を合わせた図形なので、
から、
です。
● ２つの円の共通部分Ｘの面積
２つの円の共通部分Ｘの図形は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形から一辺６ｃｍの正三角形を除いた図形４個と、一辺６ｃｍの正三角形２個を合わせた図形です。
したがって、２つの円の共通部分Ｘの面積は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形４個の面積から正三角形ＡＢＣ２個の面積を引いたものになるので、
です。
以上から、斜線部分の面積は、
で、これが（１）の答えです。
続いて（２）です。
（１）と同じように、輪の中心が辺ＡＢ上をＢからＡまで動いたとき、輪が通過しない部分は、図３の左側の図に示した円Ｂと円Ａの共通部分Ｙで、輪の中心が辺ＡＣ上をＡからＣまで動いたとき、輪が通過しない部分は、図３の右側の図に示した円Ａと円Ｃの共通部分Ｚです。
▲図３．輪の中心が辺ＡＢおよび辺ＡＣを動くとき輪が通過しない部分はそれぞれＹとＺになります
これから、輪の中心が辺ＡＢ上をＢからＡまで動いたのち、辺ＡＣ上をＡからＣまで動いたとき、輪が通過しない部分はＹとＺの共通部分になり、したがって、輪が通過する部分は、図４の斜線部分になります。
▲図４．輪の中心が辺ＢＡおよび辺ＡＣ上をＢ→Ａ→Ｃまで動いたとき輪が通過する部分です
この斜線部分の面積は、全体の面積から、半径６ｃｍの円Ａ、Ｂ、Ｃの共通部分の面積を引いたもので、ここから図５に書き入れた数値を使って、それぞれを計算していきます。
▲図５．輪の中心が辺ＢＡおよび辺ＡＣ上をＢ→Ａ→Ｃまで動いたとき輪が通過する部分の面積を計算します
● 全体の面積
全体の図形は、中央上の半径６ｃｍ、中心角１２０°の扇形と左右下にある半径６ｃｍ、中心角１５０°の２つの扇形と１辺６ｃｍの正方形２個と１辺６ｃｍの正三角形２個を合わせた図形なので、
から、
です。
● ３つの円の共通部分の面積
３つの円の共通部分の図形は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形から一辺６ｃｍの正三角形を除いた図形３個と、一辺６ｃｍの正三角形１個を合わせた図形です。
したがって、３つの円の共通部分の面積は、半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形３個の面積から正三角形ＡＢＣ２個の面積を引いたものになるので、
です。
以上から、斜線部分の面積は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。