中学生でも手が届く東大入試問題（９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成２４年度年東大入試問題（前期、文理共通）を取り上げます。（正月なので双六風の問題にしました）

問題は、
「図のように、正三角形を９つの部屋に辺で区切り、部屋Ｐ、Ｑを定める。１つの球が部屋Ｐを出発し、１秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がｎ秒後に部屋Ｑにある確率を求めよ。」

▲問題図

です。

下図のように部屋Ｒを置き、ｎ秒後に部屋Ｐ、Ｑ、Ｒに球がある確率を

として連立漸化式をつくれば簡単そうです。

▲図．部屋Ｒを置きました

まず、ｎが奇数のとき、球は部屋Ｐ、Ｑ、Ｒ以外の部屋にあるので、

です。

次に、ｎが偶数のとき、

で、部屋ＱとＲは部屋Ｐから見て対称な位置にあるので、

が成り立ちます。

ここから、球が部屋Ｐ、Ｑ、Ｒにあって、２秒後に部屋Ｑにある確率を計算しましょう。

［１］部屋Ｐから部屋Ｑに移動する確率
・１秒後に部屋Ｐの右下の部屋に移動し（確率１/３）、２秒後に部屋Ｑに移動する（確率１/２）
ですから、
（部屋Ｐから部屋Ｑに移動する確率）＝１/３×１/２＝１/６
です。

［２］部屋Ｑから部屋Ｑに移動する確率
・１秒後に部屋Ｑの上の部屋に移動し（確率１/３）、２秒後に部屋Ｑに移動する（確率１/２）
・１秒後に部屋Ｑの右下の部屋に移動し（確率１/３）、２秒後に部屋Ｑに移動する（確率１）
・１秒後に部屋Ｑの左下の部屋に移動し（確率１/３）、２秒後に部屋Ｑに移動する（確率１/２）
の和ですから、
（部屋Ｑから部屋Ｑに移動する確率）＝１/３×１/２＋１/３＋１/３×１/２＝２/３
です。

［３］部屋Ｒから部屋Ｑに移動する確率
・１秒後に部屋Ｒの右の部屋に移動し（確率１/３）、２秒後に部屋Ｑに移動する（確率１/２）
ですから、
（部屋Ｒから部屋Ｑに移動する確率）＝１/３×１/２＝１/６
です。

これらから、

が成り立ちます。

続いて、（１）（２）（３）から

を消去しましょう。

（１）から

で、これと（２）から

で、さらに（３）に（２）、（４）を代入して整理すると、

になります。

（５）の特性方程式

から

なので、（５）は、

と変形でき、これから、

です。

ここで、

なので、

です。

以上から、

で、これが答えです。


簡単な問題です。