高校入試問題Ｒ３（２）[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和３年度灘高の問題です。

問題は、
「ａ、ｂは等式
　
を満たしている。

（１） ｐ＝２ａｂ＋３ａ＋４ とする。

をａのみを用いて表せ。

（２）ａ、ｂはどちらも、０でない整数とする。等式①を満たすａ、ｂの値を求めよ。」
です。


です。

また、①から

で、これを〈１〉に代入すると、

で、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

（１）の答えから、

が成り立ちます。

いま

で、このときａ、ｂは整数なのでｐは整数になり、したがって、〈２〉を満たすｐ－ａとｐ＋ａの組（ｐ－ａ，ｐ＋ａ）は、
（±１，±１６）、（±２，±８）、（±４，±４）、（±８，±２）、（±１６，±１）[複合同順]
です。

一方、
・ ｐ－ａとｐ＋ａの偶奇は一致し、また、それらの積が偶数（１６）なので、ｐ－ａとｐ＋ａはともに偶数
・ ｐ－ａ＝ｐ＋ａのとき、ａ＝０
であることから、（±２，±８）または（±８，±２）が残ります。

ここから場合分けして調べていきます。

● （ｐ－ａ，ｐ＋ａ）＝（±２，±８）の場合
ｐ－ａ＝±２、ｐ＋ａ＝±８ から、（ｐ，ａ）は（５，３）または（－５，－３）で、これらを〈３〉に代入すると、

・（ｐ，ａ）＝（５，３）のとき

で、ｂは整数なので不適です。

・（ｐ，ａ）＝（－５，－３）のとき
－５＝２×（－３）×ｂ＋３×（－３）＋４
→ｂ＝０
で、ｂ≠０なので不適です。

●（ｐ－ａ，ｐ＋ａ）＝（±８，±２）の場合
ｐ－ａ＝±８、ｐ＋ａ＝±２から、（ｐ，ａ）は（５，－３）または（－５，３）で、これらを〈３〉に代入すると、

・（ｐ，ａ）＝（５，ー３）のとき

で、ｂは整数なので不適です。

・（ｐ，ａ）＝（－５，３）のとき
－５＝２×３×ｂ＋３×３＋４
→ｂ＝－３
で、これは条件を満たします。

以上から、等式①を満たすａ、ｂの値は ａ＝３、ｂ＝－３で、これが（２）の答えです。


簡単な問題です。