こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成24年度年東大入試問題(前期、文理共通)を取り上げます。(正月なので双六風の問題にしました)
問題は、
「図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋P、Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。」
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/01/24/f209b013e52246388f61e2d9fad57a66.jpg)
▲問題図
です。
下図のように部屋Rを置き、n秒後に部屋P、Q、Rに球がある確率を
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/25/0b/016e0df4b67b77015106a4bbdbb0e1f9.jpg)
として連立漸化式をつくれば簡単そうです。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3c/87/af9e6a08fd8ec4583851539756d83a76.jpg)
▲図.部屋Rを置きました
まず、nが奇数のとき、球は部屋P、Q、R以外の部屋にあるので、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/52/6d/c8c212c0cddf34547721601ef8ff7e06.jpg)
です。
次に、nが偶数のとき、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1f/71/e54ae058c146f475e944fff89ca0f031.jpg)
で、部屋QとRは部屋Pから見て対称な位置にあるので、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1d/85/edf332dc9ca67fdc85cc6a3c51507b3e.jpg)
が成り立ちます。
ここから、球が部屋P、Q、Rにあって、2秒後に部屋Qにある確率を計算しましょう。
[1]部屋Pから部屋Qに移動する確率
・1秒後に部屋Pの右下の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1/2)
ですから、
(部屋Pから部屋Qに移動する確率)=1/3×1/2=1/6
です。
[2]部屋Qから部屋Qに移動する確率
・1秒後に部屋Qの上の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1/2)
・1秒後に部屋Qの右下の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1)
・1秒後に部屋Qの左下の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1/2)
の和ですから、
(部屋Qから部屋Qに移動する確率)=1/3×1/2+1/3+1/3×1/2=2/3
です。
[3]部屋Rから部屋Qに移動する確率
・1秒後に部屋Rの右の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1/2)
ですから、
(部屋Rから部屋Qに移動する確率)=1/3×1/2=1/6
です。
これらから、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/37/41/90bf560ae36597862053fbbf5fc168b0.jpg)
が成り立ちます。
続いて、(1)(2)(3)から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/15/b3/33af3e56b8faeab2187e0dcb52060c4f.jpg)
を消去しましょう。
(1)から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/71/da/bf040ac5fe3592c245be0a34b24690e7.jpg)
で、これと(2)から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/2b/c0/7670af4a7baf0a2833f483c16ea2575d.jpg)
で、さらに(3)に(2)、(4)を代入して整理すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/62/b3/83f81dca4ae75e9f24622d89e685bbce.jpg)
になります。
(5)の特性方程式
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3e/9c/70ca89929e3a1dffac67c34bca10727a.jpg)
から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/09/52/dfa816bf296dfbf4fa810e17d1caa6de.jpg)
なので、(5)は、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/75/b7/6328ed3fa9da1a3ef8709c52a3ae272c.jpg)
と変形でき、これから、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/27/1d/556dca1ce82d175b08761b45b52d2978.jpg)
です。
ここで、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/37/1e/3e1e1f7526f0e8d4fa3f2cba37cd1ccf.jpg)
なので、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/53/cd/ebceeef2798df44a58efed23032e68ac.jpg)
です。
以上から、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/09/5a/86d8f427ad14c8b2a09f9beca14795f5.jpg)
で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、平成24年度年東大入試問題(前期、文理共通)を取り上げます。(正月なので双六風の問題にしました)
問題は、
「図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋P、Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。」
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/01/24/f209b013e52246388f61e2d9fad57a66.jpg)
▲問題図
です。
下図のように部屋Rを置き、n秒後に部屋P、Q、Rに球がある確率を
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/25/0b/016e0df4b67b77015106a4bbdbb0e1f9.jpg)
として連立漸化式をつくれば簡単そうです。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3c/87/af9e6a08fd8ec4583851539756d83a76.jpg)
▲図.部屋Rを置きました
まず、nが奇数のとき、球は部屋P、Q、R以外の部屋にあるので、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/52/6d/c8c212c0cddf34547721601ef8ff7e06.jpg)
です。
次に、nが偶数のとき、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1f/71/e54ae058c146f475e944fff89ca0f031.jpg)
で、部屋QとRは部屋Pから見て対称な位置にあるので、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1d/85/edf332dc9ca67fdc85cc6a3c51507b3e.jpg)
が成り立ちます。
ここから、球が部屋P、Q、Rにあって、2秒後に部屋Qにある確率を計算しましょう。
[1]部屋Pから部屋Qに移動する確率
・1秒後に部屋Pの右下の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1/2)
ですから、
(部屋Pから部屋Qに移動する確率)=1/3×1/2=1/6
です。
[2]部屋Qから部屋Qに移動する確率
・1秒後に部屋Qの上の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1/2)
・1秒後に部屋Qの右下の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1)
・1秒後に部屋Qの左下の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1/2)
の和ですから、
(部屋Qから部屋Qに移動する確率)=1/3×1/2+1/3+1/3×1/2=2/3
です。
[3]部屋Rから部屋Qに移動する確率
・1秒後に部屋Rの右の部屋に移動し(確率1/3)、2秒後に部屋Qに移動する(確率1/2)
ですから、
(部屋Rから部屋Qに移動する確率)=1/3×1/2=1/6
です。
これらから、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/37/41/90bf560ae36597862053fbbf5fc168b0.jpg)
が成り立ちます。
続いて、(1)(2)(3)から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/15/b3/33af3e56b8faeab2187e0dcb52060c4f.jpg)
を消去しましょう。
(1)から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/71/da/bf040ac5fe3592c245be0a34b24690e7.jpg)
で、これと(2)から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/2b/c0/7670af4a7baf0a2833f483c16ea2575d.jpg)
で、さらに(3)に(2)、(4)を代入して整理すると、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/62/b3/83f81dca4ae75e9f24622d89e685bbce.jpg)
になります。
(5)の特性方程式
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3e/9c/70ca89929e3a1dffac67c34bca10727a.jpg)
から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/09/52/dfa816bf296dfbf4fa810e17d1caa6de.jpg)
なので、(5)は、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/75/b7/6328ed3fa9da1a3ef8709c52a3ae272c.jpg)
と変形でき、これから、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/27/1d/556dca1ce82d175b08761b45b52d2978.jpg)
です。
ここで、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/37/1e/3e1e1f7526f0e8d4fa3f2cba37cd1ccf.jpg)
なので、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/53/cd/ebceeef2798df44a58efed23032e68ac.jpg)
です。
以上から、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/09/5a/86d8f427ad14c8b2a09f9beca14795f5.jpg)
で、これが答えです。
簡単な問題です。
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