中学生でも手が届く東大入試問題（１５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１４年度東大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「 円周上に ｍ 個の赤い点と ｎ 個の青い点を任意の順序に並べる。これらの点により、円周は ｍ＋ｎ 個の弧に分けられる。このとき、これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は偶数であることを証明せよ。ただし、ｍ≧１、ｎ≧１であるとする。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１は、ｍ 個の赤い点と ｎ 個の青い点を円周上に並べた一例です。

▲図１．ｍ 個の赤い点と ｎ 個の青い点を円周上に並べた例です

ここで赤い点に注目し、図２のように、赤い点が続いて並んでいる部分を順にグループ１（ｇ1）、グループ２（ｇ2）、グループ３（ｇ3）、・・・、グループｋ（ｇｋ）とします。このとき、ｋは１以上ｍ以下の整数です。

▲図２．赤い点が並んでいる部分を順にｇ1、ｇ2、ｇ3、・・・、ｇｋとします

そこで各グループにおける隣り合う２個の点を考えると、グループの両端の２個の点は、グループの外側の青い点と隣り合わせになり、その他は赤い点同士が隣り合わせになります。

つまり、各グループの外側に隣接する２個の弧が、両端の色が異なる弧になり、その個数は ２ｋ です。

このとき、ｋは整数ですから、２ｋ は偶数になります。

以上から、両端の点の色が異なる弧の数は偶数になります。


簡単な問題です。