中学生でも手が届く京大入試問題（４２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１１年度京大入試問題（前期、理系）です。

問題は、
「以下の問いに答えよ。ただし、

が無理数であることは使ってよい。

（１） 有理数ｐ、ｑ、ｒ について、

ならば、ｐ＝ｑ＝ｒ＝０であることを示せ。

（２） 実数係数の２次式

について、

のいずれかは無理数であることを示せ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


から

で、この両辺を２乗すると、

になり、これを変形すると、

です。

このとき［２］の右辺は有理数ですから、左辺が有理数になるためには、
ｑｒ＝０
になります。

（ⅰ） ｑ＝０の場合
［１］は、

になり、［３］の右辺は有理数なので、左辺が有理数になるためには、
ｒ＝０
で、したがって、
ｐ＝ｑ＝ｒ＝０
になります。

（ⅱ） ｒ＝０の場合
［１］は、

になり、［４］の右辺は有理数なので、左辺が有理数になるためには、
ｑ＝０
で、したがって、
ｐ＝ｑ＝ｒ＝０
になります。

以上から、有理数ｐ、ｑ、ｒについて、［１］が成り立つならば、ｐ＝ｑ＝ｒ＝０ であることを示すことができました。

続いて（２）です。


です。

ここで、［５］が有理数であるならば、
ａ＋ｂ は有理数　　　　　　　　　　　　［★］
になります。

すると［６］から

は有理数で、
ａ＝－２　　　　　　　　　　　　　　　［８］
になります。

このとき［７］は、

で、これが有理数ならば、ｂは無理数になります。

すると、［８］から ａ＋ｂ は無理数になり、これは［★］に反します。

以上から［５］、［６］、［７］が同時に有理数になることなく、したがって、

のいずれかは無理数になります。


（２）は（１）の結果を利用するほうが明快かもしれません。