２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「下図のような正十角形がある。

全体の面積が１のとき、斜線部の面積を求めよ。」
です。

図１のように、正十角形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、ＣＨとＤＩの交点をＯ、ＡＤとＢＥの交点をＫ、ＢＤとＣＫの交点をＬとし、左側の図の斜線部の図形をその面積が等しい図形に変形していきましょう。

図１．左側の図の斜線部の図形をその面積が等しい図形に変形します

● 左側の図→中央の図
△ＧＨＩ≡△ＢＣＤから、左側の図の斜線部の図形の面積と中央の図の斜線部の図形の面積は等しくなります。

● 中央の図→右側の図
ＡＤ//ＢＣ、ＢＥ//ＣＤ、ＢＣ＝ＣＤから四角形ＢＣＤＫはひし形です。

すると△ＢＣＬ≡△ＤＫＬから、△ＢＣＤの面積と△ＣＤＫの面積は等しく、したがって、中央の図の斜線部の図形の面積と右側の図の斜線部の図形の面積は等しくなります。

このとき、対角線ＣＨは正十角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪの対称の軸なので、
ＣＨ⊥ＢＤ
で、一方、ひし形ＢＣＤＫの対角線は垂直に交わるので、
ＣＫ⊥ＢＤ
になり、したがって、ＫはＣＨ上に存在します。

あとは図２のように、新しく作った図形を、正十角形の隣り合う２つの頂点とOを結んでできる、その面積が０．１の４つの三角形に分割すればお仕舞です。このとき、四角形ＡＫＯＪは平行四辺形なので、△ＯＡＪ≡△ＡＯＫです。

▲図２．面積０．１の正十角形の隣り合う２つの頂点とOを結んでできる４つの三角形に分割しました

以上から、問題に与えられた図の斜線部の面積は ０．１×４＝ ０．４ で、これが答えです。


簡単な問題です。