２０２１年日本数学オリンピック予選の問題（６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｐ、Ｑがあり、三角形ＡＣＰの垂心と三角形ＡＢＱの垂心は一致している。ＡＢ＝１０、ＡＣ＝１１、ＢＰ＝５、ＣＱ＝６のとき、辺ＢＣの長さを求めよ。
ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

△ＡＢＣは、ＡＢ＝１０、ＡＣ＝１１、ＢＣ≧ＣＱ＝６なので、∠Ｂ，∠Ｃ＜９０°になり、このとき、Ａから辺ＢＣに下した垂線の足をＤとすると、辺ＢＣ上のＰ、Ｑ、Ｄの位置関係は、図１ー１のように、
Ｂ－Ｐ－Ｑ－Ｄ－Ｃ
Ｂ－Ｐ－Ｄ－Ｑ－Ｃ
Ｂ－Ｄ－Ｐ－Ｑ－Ｃ
と並ぶ場合と、図１－２のように、
Ｂ－Ｑ－Ｐ－Ｄ－Ｃ
Ｂ－Ｑ－Ｄ－Ｐ－Ｃ
Ｂ－Ｄ－Ｑ－Ｐ－Ｃ
と並ぶ場合があります。（図では、△ＡＣＰ、△ＡＢＱの垂心をそれぞれＨCとＨBで表しました）

▲図１－１．ＰがＱよりＢ側にある場合のＢ、Ｐ、Ｑ、Ｄ、Ｃの考えられる位置関係

▲図１－２．ＱがＰよりＢ側にある場合のＢ、Ｑ、Ｐ、Ｄ、Ｃの考えられる位置関係

これらの図１－１、２の両端の場合、２つの三角形の組合せが鋭角三角形と鈍角三角形になり、それぞれの垂心が三角形の内部と外部に存在することになります。

ここでは、△ＡＣＰの垂心ＨCと△ＡＢＱの垂心ＨBは、辺ＢＣの上側と下側に分かれ、２つの垂心が一致することはありません。

これに対して、２つの図の中央の場合、２つの三角形の組合せが鋭角三角形同士または鈍角三角形同士になり、それぞれの垂心が三角形の内部と外部に存在することになります。

ここでは、ＨBとＨCは、辺ＢＣの上側または下側のどちらかになり、２つの垂心が一致する可能性があります。

つまり、図１ー１の中央のようにＢ－Ｐ－Ｄ－Ｑ－Ｃと並んだ場合と、図１－２の中央のようにＢ－Ｑ－Ｄ－Ｐ－Ｃと並んだ場合の２つの場合を調べる必要があることになるのですが、実は、これらの２つの場合の辺ＢＣの長さは同じになります。

そこで、ここでは図１－１の中央のようにＢ－Ｐ－Ｄ－Ｑ－Ｃと並んだ場合を調べていきます。（Ｂ－Ｑ－Ｄ－Ｐ－Ｃの場合も以下の方法で解けます）

初めに図２のように、問題の図を描きました。

▲図２．問題の図を描きました

ここで図３のように、Ａから下した垂線の足をＤ、△ＡＣＰと△ＡＢＱの垂心をＨ、ＰＨとＡＣの交点をＥ、ＱＨとＡＢの交点をＦとします。

▲図３．Ｄ、Ｈ、Ｅ、Ｆ定めました

すると図４に示すように、∠ＡＤＢ＝∠ＱＤＨ、∠ＢＡＤ＝９０°－∠Ｂ＝∠ＢＱＦ＝∠ＨＱＤから、△ＡＢＤ∽△ＱＨＤです。

▲図４．△ＡＢＤ∽△ＱＨＤです

したがって、

が成り立ちます。

一方、図５に示すように、∠ＡＤＣ＝∠ＰＤＨ、∠ＣＡＤ＝９０°－∠Ｃ＝∠ＣＰＥ＝∠ＨＰＤから、△ＡＣＤ∽△ＰＨＤです。

▲図５．△ＡＣＤ∽△ＰＨＤです

したがって、

が成り立ちます。

すると（１）と（２）から

になります。

このとき、直角三角形ＡＢＤに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入し整理して、

を得ます。

さらに、直角三角形ＡＣＤに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入し整理して、

を得ます。

ここで、（４）－（３）から

になり、したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。