（01）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
然るに、
（02）
① 私は、タゴール記念会の理事長であるが、
② タゴール記念会の理事長は、「一人」だけである。然るに、
③ 倉田氏は私ではない。従って、
④ タゴール記念会ならば、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ］｝
② ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
③ ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ）
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝
といふ「述語論理」は、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、私はｘの理事長である。
② すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
③ あるｚは倉田といふが、ｚは私ではない。
④ すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは倉田であって、ｚはｘの理事長ではない。
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（04）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ］｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （３） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ］ １ＵＥ
２ （４） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２ＵＥ
５ （５） Ｔ会の会員ａ Ａ
１ ５ （６） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ］ ３５ＭＰＰ
７ （７） 私ｂ＆理事長ｂａ Ａ
７ （８） 私ｂ ７＆Ｅ
２５ （９） ∃ｙ［理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ４５ＭＰＰ
ア （ア） 理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
ア （イ） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ア＆Ｅ
ア （ウ） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ウＵＥ
エ （エ） ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ） Ａ
オ （オ） 倉田ｃ＆～私ｃ Ａ
オ （カ） 倉田ｃ カ＆Ｅ
オ （キ） ～私ｃ カ＆Ｅ
ク（ク） ｂ＝ｃ Ａ
オク（ケ） ～私ｂ キク＝Ｅ
７ オク（コ） ～私ｂ＆私ｂ ８ケ＆Ｉ
７ オ （サ） ｂ≠ｃ クコＲＡＡ
７ア オ （シ） ～理事長ｃａ ウサＭＴＴ
７ア オ （ス） 倉田ｃ＆～理事長ｃａ カシ＆Ｉ
７ア オ （セ） ∃ｚ（倉田ｃ＆～理事長ｃａ） スＥＩ
７アエ （ソ） ∃ｚ（倉田ｃ＆～理事長ｃａ） エオセＥＥ
２５７ エ （タ） ∃ｚ（倉田ｃ＆～理事長ｃａ） ９アソＥＥ
１２５ エ （チ） ∃ｚ（倉田ｃ＆～理事長ｃａ） ６７タＥＥ
１２ エ （ツ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（倉田ｃ＆～理事長ｃａ） ５チＣＰ
１２ エ （テ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ ツＵＩ
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 私は、タゴール記念会の理事長であるが、
② タゴール記念会の理事長は、「一人」だけである。然るに、
③ 倉田氏は私ではない。従って、
④ タゴール記念会ならば、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「日本語」として、「妥当」であり、
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ］｝
② ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
③ ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ）∴
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝
といふ「推論」は、「述語論理」として、「妥当」である。
然るに、
（06）
② ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
といふ「１行」を除いた、
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ］｝
③ ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ）∴
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝
といふ「論証（Argument）」は、「述語論理」としては、固より、「証明不能」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 私は、タゴール記念会の理事長であるが、
③ 倉田氏は私ではない。従って、
④ タゴール記念会ならば、倉田氏は理事長ではない。
といふ「論証（Argument）」が、「日本語」として、「妥当」であるならば、その場合は、
② タゴール記念会の理事長は、「一人」だけである。
といふことが、「暗黙の前提」になってゐる。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① タゴール記念会は、私が理事です。然るに、
③ 倉田氏は私ではない。従って、
④ タゴール記念会ならば、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」が、「日本語」として、「妥当」であるならば、その場合は、
② タゴール記念会の理事長は、「一人」だけである。⇔
② ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
② すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふことが、「暗黙の前提」になってゐる。
従って、
（08）により、
（09）
① タゴール記念会は、私が理事です。
といふ「日本語」は、
① タゴール記念会は、一人、私だけが理事です。
といふ、「意味」になる。
従って、
（01）（09）により、
（10）
① タゴール記念会は、私が理事です。
① タゴール記念会の理事長は私です。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ、「意味」になる。
従って、
（10）により、
（11）
① 私が理事です。
① 理事長は私です。
といふ「日本語」は、
① 私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
といふ、「意味」になる。
従って、
（12）
三上章先生は、まず最初に、
① 私は理事長であり、私以外は理事長ではない。
といふ「意味」である所の、
① 私が理事です。
① 理事長は私です。
といふ「日本語の文法」を論じるべきである。
然るに、
（13）
「三上章、象は鼻が長い、1960年」、「三上章、日本語の論理、1963年」等を読む限り、三上章先生は、
ＡはＢである＝ＡはＢである。
ＡがＢである＝ＡはＢであり、Ａ以外はＢではない。
といふことには、気付いてゐないし、仮に、気付いてゐたとしても、重視は、してゐない。
（14）
助詞「は」の代行の性質とは、たとえば、「大根は葉を捨てます」（料理番組）の場合、この「は」は「大根の葉」の「の」の代わり（代行）であるという考え方です。これによって、「象は鼻が長い」も「象の鼻が長いこと」の意味であり、「この本は父が買ってくれた」も「この本を父が買ってくれた」の意味であるという、簡単な説明ができるようになるのです。そして、なぜ代行するのかといいうと、それは、文の《題目》を示すためであるというふうに話が進行し、日本語には主語がなく、《題目》を中核とした言語であるという著者の主張が展開されていきます。日本語の「は」の性格を初めて明確化した著書として、この本は現在の学界でも広く知られています（象は鼻が長い - 青山学院大学 文学部）。
（15）
１ （１）∀ｘ｛大根ｘ→∃ｙ（葉ｙｘ）＆∃ｚ（あなたｚ＆捨ｚｙ）｝ Ａ
２ （２）∃ｚ（あなたｚ＆～捨ｚｙ） Ａ
１ （３） 大根ａ→∃ｙ（葉ｙａ）＆∃ｚ（あなたｚ＆捨ｚｙ） １ＵＥ
４ （４） 大根ａ Ａ
１ ４ （５） ∃ｙ（葉ｙａ）＆∃ｚ（あなたｚ＆捨ｚｙ） ３４ＭＰＰ
１ ４ （６） ∃ｚ（あなたｚ＆捨ｚｙ） ５＆Ｅ
７ （７） あなたｃ＆捨ｃｙ Ａ
７ （８） 捨ｃｙ ７＆Ｅ
９（９） あなたｃ＆～捨ｃｙ Ａ
９（ア） ～捨ｃｙ ９＆Ｅ
７９（イ） ～捨ｃｙ＆捨ｃｙ ８ア＆Ｉ
２ ７ （ウ） ～捨ｃｙ＆捨ｃｙ ２９イＥＥ
１２４ （エ） ～捨ｃｙ＆捨ｃｙ ６７ウＥＥ
１２ （オ） ～大根ａ ４エＲＡＡ
１２ （カ）∃ｘ～大根ｘ オＥＩ
１２ （〃）あるｘは大根でない。 オＥＩ
従って、
（15）により、
（16）
（１）あなたは、大根の葉を捨てます。 然るに、
（２）あなたは、その葉を、捨てない。 従って、
（カ）あるｘは、大根ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① 大根は葉を捨てます。⇔
① ∀ｘ｛大根ｘ→∃ｙ（葉ｙｘ）＆∃ｚ（あなたｚ＆捨ｚｙ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが大根であるならば、あるｙはｘの葉であって、あるｚはあなたであって、ｚはｙを捨てます。
といふ「意味」である。
といふことこそが、「大事」なのであって、『この「は」は「大根の葉」の「の」の代わり（代行）であるという考え方です。』といふことは、どうでも良いと、考へます。
（01）
① 象は鼻は長い。
② 兎は耳は長い。
といふのであれば、
①「象の鼻以外」については、何も言ってはゐない。
②「兎の耳以外」については、何も言ってはゐない。
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻は長い。
② 兎は耳は長い。
といふのであれば、
① 象は、鼻だけでなく、耳も長い。のかも知れないし、
② 兎は、耳だけでなく、鼻も長い。のかも知れない。
然るに、
（03）
① 象は、鼻だけでなく、耳も長い。のかも知れないし、
② 兎は、耳だけでなく、鼻も長い。のかも知れない。
といふのであれば、
① 象は、鼻と耳が長い。のかも知れないし、
② 象も、鼻と耳が長い。のかも知れない。
然るに、
（04）
① 象は、鼻と耳が長い。のかも知れないし、
② 象も、鼻と耳が長い。のかも知れない。
といふのであれば、
① 象は鼻は長い（が、耳も長い？）。然るに、
② 兎は耳は長い（が、鼻も長い？）。故に、
③ 兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（05）
① 象は鼻は長い。然るに、
② 兎は耳は長い。故に、
③ 兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」ではなく、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。故に、
③ 兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。
② 兎は耳が長い。
といふのであれば、
①「象の鼻以外は、長くない。」と言ってゐて、
②「兎の耳以外は、長くない。」と言ってゐる。
従って、
（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。
② 兎は耳が長い。
ではなく、
① 象が鼻は長い。
② 兎が耳は長い。
といふのであれば、
①「象以外は、鼻は長くない。」と言ってゐて、
②「兎以外は、耳は長くない。」と言ってゐる。
従って、
（07）により、
（08）
① 象が鼻は長い。
② 兎が耳は長い。
といふのであれば、
①「象は、鼻は長く、象以外は、鼻は長くない」と言ってゐて、
②「兎は、耳は長く、兎以外は、耳は長くない」と言ってゐる。
然るに、
（09）
① 象以外は、鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長い、といふことはない。
然るに、
（10）
「対偶（Contraposition）」は「等しい」が故に、
① 象以外は、鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長い、といふことはない。
といふ「命題」は、
② 鼻が長いならば、象である。⇔
② ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝⇔
② すべてのｘについて、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、ｘは象である。
といふ「命題」に「等しい」。
然るに、
（11）
③ 象は鼻は長い。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象でないならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 象は鼻は長く、象以外は、鼻は長くない。
② 象は鼻は長く、鼻が長いならば象である。
に於いて、すなはち、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
といふ「論理式」は、「省略記号（Abbreviation）」を用ひて、
③ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象でないならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。
といふ風に、書くことが、出来る。
従って、
（12）（13）により、
（14）
「番号」を付け直すと、
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、ｘは象である。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｘは象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長い、といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（15）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｘは象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長い、といふことはない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、象以外は、鼻は長くない。
といふ、ことである。
従って、
（08）（14）（15）により、
（16）
① 象が鼻は長い。⇔
① 象は、鼻は長く、象以外は、鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
① すべてのｘについて、ｘが象でないならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。⇔
① すべてのｘについて、ｘが象でないならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、ｘは象である。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（17）
① すべてのｘがＦである。といふことはない。
といふことは、
② あるｘはＦでない（Ｆでないｘが存在する）。
といふ、ことである。
ｃｆ.
（ⅱ）
１ （１） ～∀ｘＦｘ Ａ
２ （２） ～∃ｘ～Ｆｘ Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ～Ｆｘ ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ～Ｆｘ＆∃ｘ～Ｆｘ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘＦｘ ６ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘＦｘ＆∀ｘＦｘ １７＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ～Ｆｘ ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ～Ｆｘ アＤＮ
すべてのｘがＦであるわけではない。├ あるｘはＦでない。
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ～Ｆｘ Ａ
２ （２） ～Ｆａ Ａ
３（３） ∀ｘＦｘ Ａ
３（４） Ｆａ ３ＵＥ
２３（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
２ （６） ～∀ｘＦｘ ３５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘＦｘ １２６ＥＥ
あるｘはＦでない。├ すべてのｘがＦであるわけではない。
従って、
（16）（17）により、
（18）
「量化子の関係」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① である。
然るに、
（19）
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （３）～［象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］∨～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ２ド・モルガンの法則
２ （４） ［象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］→～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ３含意の定義
５ （５） ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
２５ （６） ～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ４５ＭＰＰ
７ （７） 象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
７ （８） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７含意の定義
２５７ （９） ～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］＆
［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ６８＆Ｉ
２５ （ア） ～［象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ７９ＲＡＡ
２５ （イ） ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） アド・モルガンの法則
２ （ウ） ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝→ ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５イＣＰ
エ（エ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
エ（オ） 象ａ エ＆Ｅ
２ エ（カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） → ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ウオＭＰＰ
エ（キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） エ＆Ｅ
２ エ（ク） ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カキＭＰＰ
２ （ケ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） エクＣＰ
２ （コ） ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ケＥＩ
１ （サ） ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ １２コＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３ （３） 象ａ Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２５ＭＰＰ
２３ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４６ＣＰ
２ （８） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３７ＣＰ
９ （９） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
２ ９ （ア） ～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ８アＭＰＰ
２ ９ （イ） ～［象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ イ、ド・モルガンの法則
ウ（ウ） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
ウ（エ） 象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ウオ含意の定義
２ ９ウ（オ） ～［象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］＆
［象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ イエ＆Ｉ
２ ９ （カ） ～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ウオＲＡＡ
２ （キ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ９カＣＰ
２ （ク） ～［象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］∨～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ キ含意の定義
２ （ケ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ＆ ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ク、ド・モルガンの法則
２ （コ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） ＆ ～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ケＥＩ
１ （サ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） ＆ ～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ １２コＥＥ
従って、
（19）により、
（20）
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
「量化子の関係」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① であり、
②＝③ である。
従って、
（21）により、
（22）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
③ の「否定」は、① である。
従って、
（23）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
① の「否定」は、③ に「等しく」、
③ の「否定」は、① に「等しい」。
従って、
（23）により、
（24）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であるが、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長い、といふことはない。
③ ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって、長い。といふ、そのやうなｘは存在しない。
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（25）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であるが、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長い、といふことはない。
③ ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって、長い。といふ、そのやうなｘは存在しない。
といふことは、
① 象は鼻は長く、象以外は、鼻は長くない。
③ 象は鼻は長く、兎の鼻は、長くない。
といふ、ことである。
従って、
（16）（25）により、
（26）
① 象が鼻は長い。⇔
① 象は、鼻は長く、象以外は、鼻は長くない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（27）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
１ （５） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
６（６） 兎ａ Ａ
２６（７） ～象ａ ４６ＭＰＰ
１２６（８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５７ＭＰＰ
１２６（９） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ８量化子の関係
１２６（ア） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ９ＵＥ
１２６（イ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ア、ド・モルガンの法則
１２６（ウ） 鼻ｂａ→～長ｂ イ含意の定義
１２６（エ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ウＵＩ
１２ （オ） 兎ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６エＣＰ
１２ （カ）∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ オＵＩ
従って、
（27）により、
（28）
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
（２）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
（カ）∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（１）象は、鼻は長く、象以外は、鼻は長くない。 然るに、
（２）兎は象ではない。 従って、
（カ）兎は、鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（29）
伝統的論理学を速水滉『論理学』（１６）で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九刷一万部中の一冊で、なお引続き刊行だろうから、前後かなり多く読者を持つ論理学書と考えられる。新興の記号論理学の方は、沢田充茂の『現代論理学入門』（62）を参照することにする（三上章、日本語の論理、1963年、４頁）。
然るに、
（30）
三上章先は、「象は鼻が長い」や、「象が鼻は長い」や、「鼻は象が長い」や、「象も鼻は長い。」といった「日本語」を、自分自身で、「現代論理学の言葉（述語論理）」に訳されてゐるわけではない。
（31）
三上章先生は、「三上章、日本語の論理、1963年」の中で、「英語」と「日本語」を比較されることはあっても、「現代論理学の言葉（述語論理）」と比較して、「日本語」を、論じてゐるわけではない。
（01）
「量化子の関係」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① である。
然るに、
（02）
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝ Ａ
２ （２） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝ Ａ
３ （３） ～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝ Ａ
３ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ３含意の定義
２３ （５） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝＆
｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６）～［～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝］ ３５ＲＡＡ
２ （７） 象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝ ６ド・モルガンの法則
２ （８） 象ａ ７＆Ｅ
２ （９） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆ ∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝ ７＆Ｅ
２ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ９ド・モルガンの法則
２ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ア含意の定義
２ （ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） イ含意の定義
エ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ） Ａ
エ （オ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） エ＆Ｅ
２ エ （カ） ∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ウオＭＰＰ
エ （キ） ∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ） エ＆Ｅ
２ エ （ク） ～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） カキＭＰＰ
２ エ （ケ） ∃ｗ～（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ク量化子の関係
コ （コ） ～（長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ） Ａ
サ（サ） ～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ Ａ
サ（シ） 長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ サ含意の定義
コサ（ス） ～（長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ）＆
（長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ） コシ＆Ｉ
コ （セ） ～（～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ） サスＲＡＡ
コ （ソ） 長ｄ＆～鼻ｄａ＆～牙ｄａ セ、ド・モルガンの法則
コ （シ） ～鼻ｄａ＆～牙ｄａ＆長ｄ ソ交換法則
コ （ス） ∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ） シＥＩ
２ エ （ソ） ∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ） ケコスＥＥ
２ （タ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ） エソＣＰ
２ （チ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ） ８タ＆Ｉ
２ （ツ）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝ チＥＩ
１ （テ）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝ １２ツＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ） Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
５ （５） ∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ） Ａ
２４ （６） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
２４５ （７） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ） ５６＆Ｉ
２４５ （８） ∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ） ２７ＭＰＰ
９ （９） ～鼻ｄａ＆～牙ｄａ＆長ｄ Ａ
９ （ア） 長ｄ＆～鼻ｄａ＆～牙ｄａ ９交換法則
９ （イ） ～（～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ） ア、ド・モルガンの法則
ウ（ウ） 長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ Ａ
ウ（エ） ～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ ウ含意の定義
９ウ（オ） ～（～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ）＆
（～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ） イエ＆Ｉ
９ （カ） ～（長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ） ウオＲＡＡ
９ （キ） ∃ｗ～（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） カＥＩ
２４５ （ク） ∃ｗ～（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ８９キＥＥ
２４５ （ケ） ～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ク量化子の関係
２４ （コ） ∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ５ケＣＰ
２４ （サ） ～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） コ含意の定義
２ （シ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ４サＣＰ
２ （ス） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） シ含意の定義
２ （セ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝ ス、ド・モルガンの法則
２ （ソ） 象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝ ２セ＆Ｉ
２ （タ）～［～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝］ ソ、ド・モルガンの法則
チ（チ） 象ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） Ａ
チ（ツ） ～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝ チ含意の定義
２ チ（テ）～［～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝］＆
［～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝］ タツ＆Ｉ
２ （ト） ～｛象ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝ チテＲＡＡ
２ （ナ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝ トＥＩ
１ （ニ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝ １２ナＥＥ
従って、
（02）により、
（03）
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）（03）より、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
② は、① の「否定」であり、
③ も、① の「否定」である。
従って、
（05）により、
（06）
「二重否定」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を付け直すと、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚはｘの牙であって、ｚも長く、すべてのｗについて、ｗが長いならば、ｗはｘの鼻であるか、または、ｘの牙である。
② あるｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、あるｚがｘの牙であって、ｚも長いならば、あるｗがｘの鼻でも、牙でもなく、尚且つ、ｗが長い。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚはｘの牙であって、ｚも長く、すべてのｗについて、ｗが長いならば、ｗはｘの鼻であるか、または、ｘの牙である。
② あるｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、あるｚがｘの牙であって、ｚも長いならば、あるｗがｘの鼻でも、牙でもなく、尚且つ、ｗが長い。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
② 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
といふこと、すなはち、
① 象は、鼻と牙が長い。
② 象は、鼻と牙が長い。
といふことに、他ならない。
然るに、
（08）により、
（09）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
① 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
② 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
であるが故に、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
であるならば、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
である。
然るに、
（10）
「対偶（Contraposition）」は「等しい」ため、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ→ 鼻ｚｘ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
４ （４） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
４ （５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２５ＭＰＰ
１ ４ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６＆Ｅ
１ ４ （８） ～鼻ｂａ→～長ｂ ７ＵＥ
４ （９） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４＆Ｅ
ア（ア） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
ア（イ） ～鼻ｂａ ア＆Ｅ
１ ４ア（ウ） ～長ｂ ８イＭＰＰ
ア（エ） 長ｂ ア＆Ｅ
１ ４ア（オ） ～長ｂ＆長ｂ ウエ＆Ｉ
１ ４ （カ） ～長ｂ＆長ｂ ９アオＥＥ
１３ （キ） ～長ｂ＆長ｂ ３４カＥＥ
１ （ク）～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ３キＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ １含意の定義
１ （３） ～｛象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）｝ ２ＵＥ
１ （４） ～象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３ド・モルガンの法則
１ （５）～象ａ∨｛～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）｝ ４結合法則
１ （６） 象ａ→ ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ５含意の定義
７ （７） 象ａ Ａ
１７ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ６７ＭＰＰ
１７ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ８含意の定義
ア （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１７ア （イ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ９アＭＰＰ
１７ア （ウ） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆長ｚ） イ量化子の関係
１７ア （エ） ～（～鼻ｂａ＆長ｂ） ウＵＥ
１７ア （オ） ～～鼻ｂａ∨～長ｂ エ、ド・モルガンの法則
１７ア （カ） ～鼻ｂａ→～長ｂ オ含意の定義
１７ア （キ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カＵＩ
１７ （ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） アキＣＰ
１ （ケ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７クＣＰ
コ（コ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
コ（サ） 象ａ コ＆Ｅ
コ（シ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） コ＆Ｅ
１ コ（ス） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ケサＭＰＰ
１ コ（セ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） シスＭＰＰ
１ コ（ソ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） シセ＆Ｉ
１ （タ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） サソＣＰ
１ （チ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ タＵＩ
従って、
（11）により、
（12）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（ 長ｚ →鼻ｚｘ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚが長いならば、ｚはｘの鼻である｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
③ あるｘが｛象であって、あるｙはｘの鼻であって、ｙが長く、あるｚがｘの鼻でなくて、ｚが長い。｝といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（14）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚが長いならば、ｚはｘの鼻である｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
③ あるｘが｛象であって、あるｙはｘの鼻であって、ｙが長く、あるｚがｘの鼻でなくて、ｚが長い。｝といふことはない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことに、他ならない。
然るに、
（15）
①｛象の鼻、象の鼻以外｝に於いて、
①｛象の鼻｝ は長く、
①｛象の鼻以外｝は長くない。
といふことは、
① 象は、鼻が長い。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（16）により、
（17）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻と牙が長い。
といふ「日本語」は、例へば、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ［～（鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）→～長ｗ］｝。
といふ「述語論理」に、相当する。
（01）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。故に、
③ 兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（02）
① 象は鼻と耳が長い。然るに、
② 兎も鼻と耳が長い。故に、
③ 兎は象かも知れない（Rabbits may be elephants）。
といふ「推測」は、「マチガイ」ではない。
然るに、
（03）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長いが、兎の耳は鼻である。故に、
③ 象も兎も鼻が長い。故に、
④ 兎は象かも知れない（Rabbits may be elephants）。
といふ「推測」も、「マチガイ」ではない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。故に、
③ 兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」が「妥当」であるといふことは、は、「厳密」に言へば、
① 象は鼻は長いが、鼻以外は長くない。然るに、
② 兎は耳は長いが、耳以外は長くなく、兎の耳は鼻ではない。故に、
③ 兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」が「妥当」であるといふことに、他ならない。
然るに、
（05）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
といふ「推論」、すなはち、
（１）象は鼻が長い。然るに、
（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（３）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。故に、
③ 兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」は、「妥当」であると、するならば、その一方で、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（08）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。故に、
③ 兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
三上章先生であらうと、金谷武洋先生であらうと、田中智恵子先生であらうと、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（10）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（10）により、
（11）
② 象は鼻が長いが、象の鼻は耳ではない。⇔
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くないが、象の鼻は耳ではない。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ＆鼻ｚｘ→～耳ｚｘ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くないが、ｚはｘの耳ではない。
に於いて、
② ｘ＝象
の「意味」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ＆鼻ｚｘ→～耳ｚｘ）｝。
といふ「論理式の全体」に及んでゐて、
② ｙ＝鼻
の「意味」は、
② ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
といふ「命題関数」だけにしか、及んでゐない。
従って、
（11）により、
（12）
② 象は鼻が長いが、象の鼻は耳ではない。⇔
② 象は鼻は長いが、鼻以外は長くなく、象の鼻は耳ではない。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ＆鼻ｚｘ→～耳ｚｘ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くないが、ｚはｘの耳ではない。
といふ「命題（文）」に於ける、
②「主語（MAIN WORD）」は、
② ｘ＝象 であって、
② ｙ＝鼻 ではない。
然るに、
（13）
③ 象は動物である。⇔
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば。ｘは動物である。
といふ「命題（文）」に於いて、
③ 動物ｘ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ＆鼻ｚｘ→～耳ｚｘ）
といふ「代入（Substituition）」を行ふと、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ＆鼻ｚｘ→～耳ｚｘ）｝。
といふ「命題（文）」になる。
然るに、
（14）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ＆鼻ｚｘ→～耳ｚｘ）｝。
に於いて、
③ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ＆鼻ｚｘ→～耳ｚｘ）＝動物ｘ
といふ「代入（Substituition）」を行ふと、
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
といふ「命題（文）」になる。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ＆鼻ｚｘ→～耳ｚｘ）｝。
に於いて、
③ ∀ｘ（象ｘ→ と
② ∀ｘ｛象ｘ→ に、「区別」は無い。
従って、
（15）により、
（16）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「視点」からすれば、
③ 象は（動物である）。
② 象は｛鼻は長いが、鼻以外は長くなく、象の鼻は耳ではない｝。
に於いて、
③ 象は と、
② 象は に、「区別」は無い。
然るに、
（17）
象は 鼻が長い。
「象」はこの文の主題です。「鼻は長い」は全体で「象の説明」を行っているという構造をしています。これがもし「象の鼻が長い」であれば、単に「象の鼻＝長い」といっているだけで、「象」が主題となっているとは言えません。ところが、「象は鼻が長い」にすると、「象について言えば、鼻が長い」という意味になります。
（橋本陽介、日本語の謎を解く、2016年、１４１・１４２頁）
然るに、
（18）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。⇔
③ すべての象について、象をｘとするならば、ｘは動物である。⇔
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
③ 象は動物である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
「象は」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
「∀ｘ｛象ｘ」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
然るに、
（20）
④ Elephants are animals. ⇔
④ ∀ｘ（ELEPHANTｘ→ANIMALｘ）⇔
④ For all x, if x is an elephant then x is an animal. ⇔
④ すべての象について、象をｘとするならば、ｘは動物である。
従って、
（19）（20）により、
（21）
「象は」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
「Elephants」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
従って、
（17）（21）により、
（22）
「象は」が「主題」であるならば、
「Elephants」も「主題」である。
然るに、
（23）
② Elephants are animals.
に於いて、
② Elephants は「主語（Subject）」である。
従って、
（22）（23）により、
（24）
① 象は動物である。
② Elephants are animals.
に於いて、
「Elephants」が「主語」であるならば、
「象は」も「主語」である。
然るに、
（25）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（～象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （４） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （５） （～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ ３＆Ｅ
６ （６） ∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝ Ａ
６ （７） 兎ａ→～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ） １ＵＥ
８ （８） 兎ａ Ａ
６８ （９） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ） ７８ＭＰＰ
６８ （ア） ～象ａ ９＆Ｅ
６８ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ） ９＆Ｅ
ウ（ウ） 鼻ｂａ Ａ
６８ウ（エ） ～象ａ＆鼻ｂａ アウ＆Ｉ
１６８ウ（オ） ～長ｂ ５エＭＰＰ
１６８ウ（カ） 鼻ｂａ＆～長ｂ ウオ＆Ｉ
１６８ウ（キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） カＥＩ
１６８ （ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） イウキＥＥ
１６ （ケ） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ８クＣＰ
１６ （コ） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ ケＵＩ
従って、
（25）により、
（26）
（１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
（６） ∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝。
（コ） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（１）すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
（６）すべてのｘについて、 ｘが兎であるならば、ｘは象ではなく、あるｙはｘの鼻である。
（コ）すべてのｘについて、 ｘが兎であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（27）
（１）象の鼻＿長い。 然るに、
（６）兎は象ではないが、鼻がある。 従って、
（コ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（28）
Ｑ：Which nose is long ? Is it elephant's or rabbit's ?
Ａ：象の鼻が長い。
であって、
Ｑ：Which nose is long ? Is it elephant's or rabbit's ?
Ａ：象の鼻は長い。
ではない。
然るに、
（28）
Ｑ：Which nose is long ? Is it elephant's or rabbit's ?
Ａ：象の鼻が長い。
といふのであれば、
Ａ：象の鼻が長い＝象の鼻は長く、象以外（兎の鼻）は長くない。
といふことに、ならざるを得ない。
従って、
（25）～（28）により、
（29）
② 象の鼻が長い。⇔
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
② ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝⇔
② すべてのｘとｙについて｛ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（07）（29）により、
（30）
① 象は鼻が長い＝象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象の鼻が長い＝象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「等式」が、成立するものの、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
のやうな「命題」を、「排他的命題（exclusive proposition）」といふ。
然るに、
（31）
③ お前が言ふな。⇔
③（他の人間はともかく、他ならぬ）お前が言ふな。⇔
③（他の人間はともかく、お前以外ではない所の）お前が言ふな。
であるため、かうした「言ひ方」も、「排他的命題」であると、することが、出来る。
従って、
（01）～（31）により、
（32）
「～が」といふ「日本語」は、第一義的に、「排他的命題の主語」を表す。
（01）
①｛象｝であるならば、
① 象は動物である。
然るに、
（02）
②｛象、兎、ライオン｝であるならば、
② 象も動物である。
② 兎も動物である。
② ライオンも動物である。
然るに、
（03）
③｛象、机、パソコン｝であるならば、
③ 象が動物である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は動物である＝象は動物である。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外（兎、ライオン）も動物である。
③ 象が動物である＝象は動物であり、象以外（机、パソコン）は動物でない。
従って、
（04）により、
（05）
① 象は動物である＝象は動物である。
② 象も動物である＝象は動物である＋象以外も動物である。
③ 象が動物である＝象は動物である＋象以外は動物でない。
に於いて、
①と②は、「矛盾」せず、
①と③も、「矛盾」せず、
②と③は、「矛盾」する。
従って、
（05）により、
（06）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象も動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
③ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
に於いて、
①と②は、「矛盾」せず、
①と③も、「矛盾」せず、
②と③は、「矛盾」する。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１ （３） ～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） １＆
４ （４） ～象ａ＆動物ａ Ａ
４ （５） ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） ４ＥＩ
１４ （６） ～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）＆
∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） ３５＆Ｉ
１ （７） ～（～象ａ＆動物ａ） ４６ＲＡＡ
１ （８） 象ａ∨～動物ａ ７ド・モルガンの法則
９ （９） 象ａ Ａ
９ （ア） ～～象ａ ９ＤＮ
９ （イ） ～～象ａ∨～動物ａ ア∨Ｉ
ウ（ウ） ～動物ａ Ａ
ウ（エ） ～～象ａ∨～動物ａ ウ∨Ｉ
１ （オ） ～～象ａ∨～動物ａ ８９イウエ∨Ｅ
１ （カ） ～象ａ→～動物ａ オ含意の定義
１ （キ） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） カＵＩ
１ （ク）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ２キ＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ２キ＆Ｉ
１ （２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１ （３） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１ （４） ～象ａ→～動物ａ ３ＵＥ
１ （５） ～～象ａ∨～動物ａ ４含意の定義
１ （６） ～（～象ａ＆動物ａ） ５ド・モルガンの法則
７ （７） ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） Ａ
８ （８） ～象ａ＆動物ａ Ａ
１ ８ （９） ～（～象ａ＆動物ａ）＆
（～象ａ＆動物ａ） ６８＆Ｉ
１７ （ア） ～（～象ａ＆動物ａ）＆
（～象ａ＆動物ａ） ７８９ＥＥ
１ （イ） ～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） ７アＲＡＡ
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） ２イ＆Ｉ
（08）
（ⅳ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１（３） 象ａ→動物ａ ２ＵＥ
１（４） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） １＆Ｅ
１（５） ～象ａ→～動物ａ ４ＵＥ
１（６） 象ａ→動物ａ＆～象ａ→～動物ａ ３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ） ６ＵＩ
（ⅴ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２） 象ａ→動物ａ＆～象ａ→～動物ａ １ＵＥ
１（３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１（４）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ３ＵＩ
１（５） ～象ａ→～動物ａ ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ４６＆Ｉ
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
④ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）。
⑤ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ）。
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
然るに、
（10）
（ⅵ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１ （４） ～（～象ａ→～動物ａ） ２＆Ｅ
５（５） 象ａ∨～動物ａ Ａ
５（６） ～象ａ→～動物ａ ５含意の定義
１５（７） ～（～象ａ→～動物ａ）＆
（～象ａ→～動物ａ） ４６＆Ｉ
１ （８） ～（象ａ∨～動物ａ） ５７ＲＡＡ
１ （９） ～象ａ＆ 動物ａ ８ド・モルガンの法則
１ （ア） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） ９ＥＩ
１ （イ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ３アＵＩ
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ａ＆ 動物ａ） アイ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２ＵＥ
１ （４） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） １＆Ｅ
５ （５） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
６（６） ～象ａ→～動物ａ Ａ
５ （７） ～象ａ ５＆Ｅ
５６（８） ～動物ａ ６７ＭＰＰ
６（９） 動物ａ ５＆Ｅ
５６（ア） ～動物ａ＆動物ａ ８９＆Ｉ
５ （イ） ～（～象ａ→～動物ａ） ６アＲＡＡ
１５ （ウ） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） ３イ＆Ｉ
１５ （エ） ∀ｘ｛象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）｝ ウＵＩ（は、違反である。）
従って、
（10）により、
（11）
② 象も動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
⑥ 象＿動物である≡∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝。
に於いて、
⑥ ならば、② であるが、
② ならば、⑥ ではない。
従って、
（06）（09）（11）により、
（12）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象も動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
③ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
④ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）。
⑤ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ）。
⑥ 象＿動物である≡∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝。
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である（象は動物である）。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｘは象ではなくて、動物である（象も動物である）。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｘが象ではなくて、動物である、といふことはない（象が動物である）。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘについて、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない（象が動物である）。
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない（象が動物である）。
⑥ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない、といふことはない（象＿動物である）。
に於いて、
①「象は」は、どれとも、「矛盾」しない。
②「象も」と「象が」は、「矛盾」する。
③「象が」と、
④「象が」と、
⑤「象が」は、「同じ（等値）」である。
⑥ ならば、② であるが、② ならば、⑥ ではない。
（01）
① 鼻は 象は 長い。
② 鼻ならば、象ならば、長い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
③ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ→象ｙ→長ｘ）⇔
③ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻ならば、ｙが象ならば、ｘは長い。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 鼻は 象は 長い。
② 鼻ならば、象ならば、長い。
③ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ→象ｙ→長ｘ）⇔
③ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻ならば、ｙが象ならば、ｘは長い。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ→象ｙ→長ｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ａｙ→象ｙ→長ａ） １ＵＥ
１ （３） 鼻ａｂ→象ｂ→長ａ １ＵＥ
４ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ Ａ
４ （５） 鼻ａｂ ４＆Ｅ
１４ （６） 象ｂ→長ｂ ３５ＭＰＰ
４ （７） 象ｂ ４＆Ｅ
１４ （８） 長ｂ ６７ＭＰＰ
１ （９） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ ４８ＣＰ
１ （ア） ∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ｙ） ９ＵＩ
１ （イ）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ） アＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ｙ） １ＵＥ
１ （３） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ ２ＵＥ
４ （４） 鼻ａｂ Ａ
５（５） 象ｂ Ａ
４５（６） 鼻ａｂ＆象ｂ ４５＆Ｉ
１４５（７） 長ｂ ３６ＭＰＰ
１４ （８） 象ｂ→長ｂ ５７ＣＰ
１ （９） 鼻ａｂ→象ｂ→長ｂ ４８ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
③ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ→象ｙ→長ｘ）
④ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻ならば、 ｙが象ならば、ｘは長い。
④ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長い。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① 鼻は 象は 長い。
② ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ＆鼻ａｙ＆～象ｙ→～長ａ） １ＵＥ
１ （３） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ＆鼻ａｂ＆～象ｂ→～長ａ ２ＵＥ
１ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
１ （５） 鼻ａｂ＆～象ｂ→～長ａ ３＆Ｅ
６ （６） 長ａ Ａ
６ （７） ～～長ａ ６ＤＮ
１６ （８） ～（鼻ａｂ＆～象ｂ） ５７ＭＴＴ
１６ （９） ～鼻ａｂ∨ 象ｂ ８ド・モルガンの法則
１６ （ア） 象ｂ∨～鼻ａｂ ９交換法則
イ （イ） 象ｂ Ａ
イ （ウ） ～～象ｂ イＤＮ
イ （エ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ ウ∨Ｉ
オ （オ） ～鼻ａｂ Ａ
オ （カ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ オ∨Ｉ
１６ （キ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ アイエオカ∨Ｅ
１６ （ク） ～象ｂ→～鼻ａｂ キ含意の定義
１ （ケ） 長ａ→～象ｂ→～鼻ａｂ ６クＣＰ
コ（コ） ～象ｂ＆長ａ Ａ
コ（サ） 長ａ コ＆Ｅ
１ コ（シ） ～象ｂ→～鼻ａｂ ケサＭＰＰ
コ（ス） ～象ｂ コ＆Ｅ
１ コ（セ） ～鼻ａｂ シスＭＰＰ
１ （ソ） ～象ａ＆長ｂ→～鼻ａｂ コセＣＰ
１ （タ） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ＆～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ４ソ＆Ｉ
１ （チ） ∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ＆～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ） タＵＩ
１ （ツ）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ） チＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ＆～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ） １ＵＥ
１ （３） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ＆～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ２ＵＥ
１ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
１ （５） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
６ （６） 鼻ａｂ Ａ
６ （７） ～～鼻ａｂ ６ＤＮ
１６ （８） ～（～象ｂ＆長ａ） ５７ＭＴＴ
１６ （９） 象ｂ∨～長ａ ８ド・モルガンの法則
ア （ア） 象ｂ Ａ
ア （イ） ～～象ｂ アＤＮ
ア （ウ） ～～象ｂ∨～長ａ イ∨Ｉ
エ （エ） ～長ａ Ａ
エ （オ） ～～象ｂ∨～長ａ エ∨Ｉ
１６ （カ） ～～象ｂ∨～長ａ ９アウエオ∨Ｅ
１６ （キ） ～象ｂ→～長ａ カ含意の定義
１ （ク） 鼻ａｂ→～象ｂ→～長ａ ６キＣＰ
ケ（ケ） 鼻ａｂ＆～象ｂ Ａ
ケ（コ） 鼻ａｂ ケ＆Ｅ
１ ケ（サ） ～象ｂ→～長ａ クコＭＰＰ
ケ（シ） ～象ｂ ケ＆Ｅ
１ ケ（ス） ～長ａ サシＭＰＰ
１ （セ） 鼻ａｂ＆～象ｂ→～長ａ ケスＣＰ
１ （ソ） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ＆鼻ａｂ＆～象ｂ→～長ａ ４セ＆Ｉ
１ （タ） ∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ＆鼻ａｙ＆～象ｙ→～長ａ） ソＵＩ
１ （チ）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ） タＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
③ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ）
④ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）
に於いて、
③ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象以外であれば、ｘは長くはない。
④ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象以外であって、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（09）
③ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、
④ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、
といふことは、
③ 象の鼻は長く、
④ 象の鼻は長く、
といふ、ことである。
然るに、
（10）
③ ｘがｙの鼻であって、ｙが象以外であれば、ｘは長くはない。
④ ｙが象以外であって、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない。
といふことは、
③ 象以外の鼻は長くない。
④ 象以外で長いのは鼻ではない。
といふ、ことである。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
「番号」を付け直すと、
① ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）
に於いて、すなはち、
① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
② 象の鼻は長く、象以外で長いのは鼻ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
｛象、兎、馬｝であるならば、
① 鼻は、象が長く、
② 耳は、兎が長く、
③ 顔は、馬が長い。
然るに、
（13）
｛象、兎、馬｝であるならば、
① 象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くない。
② 兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くない。
③ 馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① 鼻は、象が長い。⇔
① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ）⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象以外であれば、ｘは長くはない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（15）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ＆鼻ａｙ＆～象ｙ→～長ａ） １ＵＥ
１ （３） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ＆鼻ａｂ＆～象ｂ→～長ａ ２ＵＥ
１ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
１ （５） 鼻ａｂ＆～象ｂ→～長ａ ３＆Ｅ
６ （６） ∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
６ （７） 兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） １ＵＥ
８ （８） 兎ｂ Ａ
６８ （９） ～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ７８ＭＰＰ
６８ （ア） ～象ｂ ９＆Ｅ
６８ （イ） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ９＆Ｅ
ウ（ウ） 鼻ａｂ Ａ
６８ウ（エ） ～象ｂ＆鼻ａｂ アウ＆Ｉ
６８ウ（カ） 鼻ａｂ＆～象ｂ エ交換法則
１６８ウ（キ） ～長ａ ５カＭＰＰ
１６８ウ（ク） 鼻ａｂ＆～長ａ ウキ＆Ｉ
１６８ウ（ケ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） クＥＩ
１６８ （コ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） イウケＥＥ
１６ （サ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ８コＣＰ
１６ （シ） ∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝ サＵＩ
従って、
（14）（15）により、
（16）
（１）すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象以外であれば、ｘは長くはない。
（６）すべてのｙについて、ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘはｙの鼻である。
（シ）すべてのｙについて、ｙが兎であるならば、あるｘはｙの鼻であって、ｙは長くない。
といふ「推論」、すなはち、
（１）鼻は、象が長い。 然るに、
（６）兎は象ではないが、鼻がある。 従って、
（シ）兎には鼻があるが、長くはない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（06）（14）（16）により、
（17）
① 鼻は、象は長い≡∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ）。
② 鼻は、象が長い≡∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ）。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（18）
① ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ）
といふ「論理式」は、「連言（＆）の、連言（＆）」であるため、「正確」には、
① ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ）｝
と書くのが、「正しい」。
然るに、
（19）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（18）（19）により、
（20）
① ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ）｝
に於いて、
①「ｘ＝鼻」といふ「語の意味」は、∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ）｝の「全体」に及んでゐて、
②「ｘ＝鼻」といふ「語の意味」は、∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ）｝の「全体」に及んでゐる。
従って、
（17）～（20）により、
（21）
① 鼻は、象は長い≡∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｙ）｝。
② 鼻は、象が長い≡∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ＆鼻ｘｙ＆～象ｙ→～長ｘ）｝。
に於いて、
①「鼻は」は、「主語（MAIN WORD）」である。
②「鼻は」は、「主語（MAIN WORD）」である。
（01）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（～象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （４） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （５） （～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ ３＆Ｅ
６ （６） ∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝ Ａ
６ （７） 兎ａ→～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ） １ＵＥ
８ （８） 兎ａ Ａ
６８ （９） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ） ７８ＭＰＰ
６８ （ア） ～象ａ ９＆Ｅ
６８ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ） ９＆Ｅ
ウ（ウ） 鼻ｂａ Ａ
６８ウ（エ） ～象ａ＆鼻ｂａ アウ＆Ｉ
１６８ウ（オ） ～長ｂ ５エＭＰＰ
１６８ウ（カ） 鼻ｂａ＆～長ｂ ウオ＆Ｉ
１６８ウ（キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） カＥＩ
１６８ （ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） イウキＥＥ
１６ （ケ） 兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ８クＣＰ
１６ （コ） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ ケＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝
（６） ∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝
（コ） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝
といふ「推論」、すなはち、
（１）すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
（６）すべてのｘについて、 ｘが兎であるならば、ｘは象ではなく、あるｙはｘの鼻である。
（コ）すべてのｘについて、 ｘが兎であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（１）象の鼻＿長い。 然るに、
（６）兎は象ではないが、鼻がある。 従って、
（コ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
Ｑ：Which nose is longer, an elephant or a rabbit ?
Ａ：象の鼻が長い。
であって、
Ｑ：Which nose is longer, an elephant or a rabbit ?
Ａ：象の鼻は長い。
ではない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（１）象の鼻が長い。 然るに、
（６）兎は象ではないが、鼻がある。 従って、
（コ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 象の鼻が長い。⇔
① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（06）により、
（07）
① 象の鼻が長い＝象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
であって、
② 象の鼻が長い＝象の鼻 is long．
ではない。
然るに、
（08）
象は 鼻が長い。
「象」はこの文の主題です。「鼻は長い」は全体で「象の説明」を行っているという構造をしています。これがもし「象の鼻が長い」であれば、単に「象の鼻＝長い」といっているだけで、「象」が主題となっているとは言えません。ところが、「象は鼻が長い」にすると、「象について言えば、鼻が長い」という意味になります。
（橋本陽介、日本語の謎を解く、2016年、１４１・１４２頁）
然るに、
（09）
橋本陽介先生が言ふ「象の鼻＝長い」といふのは、「象の鼻 is long.」といふことであると、思はれる。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
橋本陽介先生の言ふ、
これがもし「象の鼻が長い」であれば、単に「象の鼻＝長い」といっているだけである。
といふ言ひ方は、「正しく」はない。
（01）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ） １ＵＥ
１ （３） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ２ＵＥ
４ （４） ～長ａ Ａ
１４ （５） ～（鼻ａｂ＆象ｂ） ３４ＭＴＴ
１４ （６） ～鼻ａｂ∨～象ｂ ５ド・モルガンの法則
１４ （７） 鼻ａｂ→～象ｂ ６含意の定義
１ （８） ～長ａ→鼻ａｂ→～象ｂ ４７ＣＰ
９（９） 鼻ａｂ＆～長ａ Ａ
９（ア） ～長ａ ９＆Ｅ
１ ９（イ） 鼻ａｂ→～象ｂ ８アＭＰＰ
９（ウ） 鼻ａｂ ９＆Ｅ
１ ９（エ） ～象ｂ イウＭＰＰ
１ （オ） 鼻ａｂ＆～長ａ→～象ｂ ９エＣＰ
１ （カ） ∀ｙ（鼻ａｙ＆～長ａ→～象ｙ） オＵＩ
１ （キ）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆～長ｘ→～象ｙ） カＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆～長ｘ→～象ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ａｙ＆～長ａ→～象ｙ） １ＵＥ
１ （３） 鼻ａｂ＆～長ａ→～象ｂ ２ＵＥ
４ （４） 象ｂ Ａ
４ （５） ～～象ｂ ４ＤＮ
１４ （６） ～（鼻ａｂ＆～長ａ） ３５ＭＴＴ
１４ （７） ～鼻ａｂ∨ 長ａ ６ド・モルガンの法則
１４ （８） 鼻ａｂ→ 長ａ ７含意の定義
１ （９） 象ｂ→鼻ａｂ→ 長ａ ４８ＣＰ
ア（ア） 鼻ａｂ＆ 象ｂ Ａ
ア（イ） 象ｂ ア＆Ｅ
１ ア（ウ） 鼻ａｂ→ 長ａ ９イＭＰＰ
ア（エ） 鼻ａｂ ア＆Ｅ
１ ア（オ） 長ａ ウエＭＰＰ
１ （カ） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ アオＭＰＰ
１ （キ） ∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ） カＵＩ
１ （ク）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ） キＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆ 象ｙ→ 長ｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆～長ｘ→～象ｙ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長い。
② すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｘが長くないならば、ｙは象ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① 鼻は、象ならば長い。
② 鼻は、長くないならば象ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
｛象、兎、馬｝であるならば、
① 鼻は、象ならば長く、長くないならば象ではない。
② 耳は、兎ならば長く、長くないならば兎ではない。
③ 顔は、馬ならば長く、長くないならば馬ではない。
従って、
（04）により、
（05）
① 鼻は、象が長い。
② 耳は、兎が長い。
③ 顔は、馬が長い。
従って、
（02）～（05）により、
（06）
①｛象、兎、馬｝であるならば、
① 象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）。
② 兎の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（耳ｘｙ＆兎ｙ→長ｘ）。
③ 馬の顔が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（顔ｘｙ＆馬ｙ→長ｘ）。
然るに、
（07）
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～（象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～（象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （４） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （５） ～（象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ ３＆Ｅ
６（６） 長ｂ Ａ
６（７） ～～長ｂ ６ＤＮ
１６（８） ～～（象ａ＆鼻ｂａ） ５７ＭＴＴ
１６（９） （象ａ＆鼻ｂａ） ８ＤＮ
１ （ア） 長ｂ→（象ａ＆鼻ｂａ） ６９ＣＰ
１ （イ） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ→（象ａ＆鼻ｂａ） ４ア＆Ｉ
１ （ウ） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ→（象ａ＆鼻ｙａ）｝ イＵＩ
１ （エ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ→（象ｘ＆鼻ｙｘ）｝ ウＵＩ
（ⅴ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ→（象ｘ＆鼻ｙｘ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ→（象ａ＆鼻ｙａ）｝ ２ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ→（象ａ＆鼻ｂａ） ２ＵＥ
１ （４） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （５） 長ｂ→（象ａ＆鼻ｂａ） ３＆Ｅ
６（６） ～（象ａ＆鼻ｂａ） Ａ
１６（７） ～長ｂ ５６ＭＴＴ
１ （８） ～（象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ ６７ＣＰ
１ （９） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～（象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ ４８＆Ｉ
１ （ア） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～（象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝ ９ＵＩ
１ （イ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ アＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
④ 象の鼻が長い。⇔
④ 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。⇔
④ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝⇔
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象であってｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
⑤ 象の鼻が長い。⇔
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ→（象ｘ＆鼻ｙｘ）｝⇔
⑤ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長いならば、ｘは象であって、ｙはｘの鼻である。
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（09）
④｛象の鼻、机の天板、机の抽斗｝であるならば、
④ 象の鼻が長い。⇔
④ 象の鼻は長く、象の鼻以外（机の天板、机の抽斗）は長くない。⇔
④ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝⇔
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象であってｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
（10）
（ⅵ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（～象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ １ＵＥ
１ （４） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （５） （～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ ３＆Ｅ
６ （６） 長ｂ Ａ
６ （７） ～～長ｂ ６ＤＮ
１６ （８） ～（～象ａ＆鼻ｂａ） ５７ＭＰＰ
１６ （９） 象ａ∨～鼻ｂａ ８ド・モルガンの法則
１６ （ア） ～鼻ｂａ∨象ａ ９交換法則
１６ （イ） 鼻ｂａ→象ａ ア含意の定義
１ （ウ） 長ｂ→鼻ｂａ→象ａ ６イＣＰ
エ（エ） （鼻ｂａ＆長ｂ) Ａ
エ（オ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ エ（カ） 鼻ｂａ→象ａ ウオＭＰＰ
エ（キ） 鼻ｂａ エ＆Ｅ
１ エ（ク） 象ａ カキＭＰＰ
１ （ケ） （鼻ｂａ＆長ｂ）→象ａ エクＣＰ
１ （コ） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（鼻ｂａ＆長ｂ）→象ａ ４ケ＆Ｉ
１ （サ） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（鼻ｙａ＆長ｂ）→象ａ｝ コＵＩ
１ （シ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ サＵＩ
（ⅶ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（鼻ｙａ＆長ｂ）→象ａ｝ １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（鼻ｂａ＆長ｂ）→象ａ ２ＵＥ
１ （４） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （５） （鼻ｂａ＆長ｂ）→象ａ ３＆Ｅ
６ （６） ～象ａ Ａ
１６ （７） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ５６ＭＴＴ
１６ （８） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ７ド・モルガンの法則
１６ （９） 鼻ｂａ→～長ｂ ８含意の定義
１ （ア） ～象ａ→鼻ｂａ→～長ｂ ６９ＣＰ
イ（イ） （～象ａ＆鼻ｂａ） Ａ
イ（ウ） ～象ａ イ＆Ｅ
１ イ（エ） 鼻ｂａ→～長ｂ アウＭＰＰ
イ（オ） 鼻ｂａ イ＆Ｅ
１ イ（カ） ～長ｂ エオＭＰＰ
１ （キ） （～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ イカＣＰ
１ （ク） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ ４キ＆Ｉ
１ （ケ） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（～象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝ クＵＩ
１ （コ）∀ｘ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（～象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝ ケＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
⑥ 象の鼻が長い。⇔
⑥ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
⑥ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝⇔
⑥ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
⑦ 象の鼻が長い。⇔
⑦ 象の鼻は長く、鼻が長いならば象である。⇔
⑦ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝⇔
⑦ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘは象である。
に於いて、
⑥＝⑦ である。
然るに、
（12）
⑥｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝であるならば、
⑥ 象の鼻が長い。⇔
⑥ 象の鼻は長く、象以外の鼻（兎の鼻、馬の鼻）は長くない。⇔
⑥ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝⇔
⑥ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
従って、
（06）（09）（12）により、
（13）
①｛象、兎、馬｝であるならば、
① 象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）。
④｛象の鼻、机の天板、机の抽斗｝であるならば、
④ 象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
⑥｛象の鼻、 兎の鼻、 馬の鼻｝であるならば、
⑥ 象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝。
といふ、ことになる。
然るに、
（14）
①｛象、兎、馬｝であるならば、
① 象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）。
に関しては、「正確」には、
⑥｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝であるならば、
⑥ 象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝。
といふ、ことであるため、
①≒⑥ である。
然るに、
（15）
④ 象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
⑥ 象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆ ～象ｘ＆鼻ｙｘ →～長ｙ｝。
に関しては、
④｛象の鼻、机の天板、机の抽斗｝であるならば、
⑥｛象の鼻、 兎の鼻、 馬の鼻｝であるならば、
であるため、
①≒⑤ ではなく、
④≠⑥ である。
（16）
④ ～（象ｘ＆鼻ｙｘ）
⑥ ～象ｘ＆鼻ｙｘ
は、「正確」には、
④ ～（象ｘ＆鼻ｙｘ）
⑥ ～（象ｘ）＆鼻ｙｘ
であって、
④ は、「象の鼻以外」であって、
⑥ は、「象以外の鼻」であるため、
④≠⑥ である。
（01）
① 象は、鼻が長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻が長い。
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
４ （４） ～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
４ （５） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４含意の定義
３４ （６） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝＆
｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３５＆Ｉ
３ （７） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ４６ＲＡＡ
３ （８） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ７ド・モルガンの法則
３ （９） 象ａ ８＆Ｅ
３ （ア） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ８＆Ｅ
３ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア、ド・モルガンの法則
３ （ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ含意の定義
エ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３ エ （オ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウエＭＰＰ
３ エ （カ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） オ量化子の関係
キ （キ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ク（ク） 鼻ｂａ∨～長ｂ Ａ
ク（ケ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ク、含意の定義
キク（コ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ）＆
（～鼻ｂａ→～長ｂ） キケ＆Ｉ
キ （サ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） クコＲＡＡ
キ （シ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ サ、ド・モルガンの法則
キ （ス） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） シＥＩ
３ エ （セ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） カキスＥＥ
３ （ソ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） エセＣＰ
３ （タ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９ソ＆Ｉ
３ （チ）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ タＥＩ
１ （ツ）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ２３チＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
２５ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４５ＭＰＰ
７ （７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７ （８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～鼻ｂａ→～長ｂ Ａ
９ （ア） 鼻ｂａ∨～長ｂ ９含意の定義
７９ （イ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ）＆
（鼻ｂａ∨～長ｂ） ８ア＆Ｉ
７ （ウ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ９イＲＡＡ
７ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウＥＩ
２５ （オ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７エＥＥ
２５ （カ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オ量化子の関係
２ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５カＣＰ
２ （ク） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） キ含意の定義
２ （ケ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ コ、ド・モルガンの法則
２ （コ） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３ケ＆Ｉ
２ （サ）～｛～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ コ、ド・モルガンの法則
シ（シ） 象ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
シ（ス） ～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ シ含意の定義
２ シ（セ）～｛～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝＆
～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ サス＆Ｉ
２ （ソ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ シセＲＡＡ
２ （タ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １２タＥＥ
１ （ツ）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ チ量化子の関係
従って、
（03）により、
（04）
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝。
において、
① の「否定」は、② であり、
②＝③ である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝⇔
③ あるｘが象であり、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの、鼻以外であって、長い。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
③ の「否定」は、① である。
然るに、
（07）
③ あるｘが象であり、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの、鼻以外であって、長い。
といふことは、
③ 象（ｘ）は、鼻（ｙ）は長く、鼻以外（ｚ）も長い。
といふ、ことである。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 象は、鼻が長い。
③ 象は、鼻は長く、 鼻以外も長い。
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
③ の「否定」は、④ である。
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① 象は、鼻が長い。
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
に於いて、
①＝④ である。
然るに、
（10）
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
といふことは、
④ 象は、鼻は長く、 鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
然るに、
（01）により、
（11）
もう一度、確認すると、
① 象は、鼻が長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
従って、
（05）（10）（11）により、
（12）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
①＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
４ （４） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
４ （５） 象ａ ４＆Ｅ
４ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４＆Ｅ
１ ４ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２５ＭＰＰ
１ ４ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
１ ４ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７＆Ｅ
１ ４ （ア） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ６８ＭＰＰ
１ ４ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＥ
ウ（ウ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
ウ（エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ（オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ４ウ（カ） ～長ｂ イエＭＰＰ
１ ４ウ（キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１ ４ （ク） 長ｂ＆～長ｂ アウキＥＥ
１３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３４クＥＥ
１ （コ）～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ３ケＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝ ２ＵＥ
４ （４） ～［象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
４ （５） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４含意の定義
１４ （６） ～｛象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝＆
｛象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝ ３５＆Ｉ
１ （７）～｛～［象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝ ４６ＲＡＡ
１ （８） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
９ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
１ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ８＆Ｅ
１ ９ （ウ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） アイ＆Ｉ
１ （エ） ～［象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ９ウＲＡＡ
オ （オ） 象ａ Ａ
カ （カ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
オカ （キ） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） オカ＆Ｉ
１ オカ （ク） ～［象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］＆
［象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ エキ＆Ｉ
１ オ （ケ） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カクＲＡＡ
１ オ （コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ケＤＮ
１ （サ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） オコＣＰ
１ （シ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８＆Ｅ
１ （ス） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） シ量化子の関係
１ （セ） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） スＵＥ
１ （ソ） 鼻ｂａ∨～長ｂ セ、ド・モルガンの法則
１ （タ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ソ含意の定義
１ （チ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） タＵＩ
ツ（ツ） 象ａ Ａ
１ ツ（テ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） サツＭＰＰ
１ ツ（ト） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） チテ＆Ｉ
１ （ナ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ツトＣＰ
１ （ニ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ナＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
④ あるｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、あるｚが、ｘの、鼻以外であって、長い。といふことはない。
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
①＝④ であり、それ故、「二重否定律（ＤＮ）」により、
②＝③ である。
（01）
①｛象の鼻、兎の鼻、犬の鼻｝であるならば、
① 象の鼻が長い。
従って、
（02）
①｛象の鼻、兎の鼻、犬の鼻｝に於いて、
① 象の鼻が長い。
といふことは、
①｛象の鼻｝は長い。
①｛兎の鼻｝は長くない。
①｛犬の鼻｝は長くない。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
①｛象、兎、犬｝に於いて、
① 象の鼻が長い。
といふことは、
① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象の鼻が長い。⇔
① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ ２量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝ Ａ
５ （５） ～｛象ａ＆鼻ｂａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ｝ Ａ
５ （６） ～（象ａ＆鼻ｂａ→長ｙ）∨～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ５ド・モルガンの法則
５ （７） （象ａ＆鼻ｂａ→長ｙ）→～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ６含意の定義
８ （８） （象ａ＆鼻ｂａ→長ｙ） Ａ
５８ （９） ～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ７８ＭＰＰ
ア （ア） ～（～象ａ＆鼻ｂａ）∨～長ｂ） Ａ
ア （イ） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ア含意の定義
５８ア （ウ） ～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ）＆
～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ９イ＆Ｉ
５８ （エ） ～［～（～象ａ＆鼻ｂａ）∨～長ｂ］ アウＲＡＡ
５８ （オ） （～象ａ＆鼻ｂａ）＆ 長ｂ エ、ド・モルガンの法則
５８ （カ） （～象ａ＆鼻ｂａ ＆ 長ｂ） オ結合法則
５ （キ） （象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆ 長ｂ） ８カＣＰ
５ （ク） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆ 長ｙ）｝ キＥＩ
４ （ケ） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆ 長ｙ）｝ ４５クＥＥ
４ （コ）∃ｘ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙｘ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ ケＥＩ
１ （サ）∃ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ ３４コＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）→（～象ａ＆鼻ｙａ＆ 長ｙ）｝ Ａ
３ （３） （象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）→（～象ａ＆鼻ｂａ＆ 長ｂ） Ａ
４ （４） （象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ） ３４ＭＰＰ
３４ （５） （～象ａ＆鼻ｂａ＆ 長ｂ） ３４ＣＰ
６ （６） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ Ａ
３４ （７） ～象ａ＆鼻ｂａ ５＆Ｅ
３４６ （８） ～長ｂ ６７ＭＰＰ
６ （９） 長ｂ ５＆Ｅ
３４６ （ア） ～長ｂ＆長ｂ ８９＆Ｉ
３４ （イ） ～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ６ＲＡＡ
３ （ウ） （象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）→～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ４イＣＰ
３ （エ） ～（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）∨～（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） ウ含意の定義
３ （オ） ～｛象ａ＆鼻ｂａ→長ｙ ＆ ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ｝ エ、ド・モルガンの法則
３ （カ） ∃ｙ～｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝ オＥＩ
２ （キ） ∃ｙ～｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝ ２３カＥＩ
２ （ク）∃ｘ∃ｙ～｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ キＥＩ
１ （ケ）∃ｘ∃ｙ～｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ １２クＥＥ
１ （コ）∃ｘ～∀ｘ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ ケ量化子の関係
１ （サ）～∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ コ量化子の関係
従って、
（05）により、
（06）
② ～∀ｘ∀ｙ｛ 象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ ｝
③ ∃ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① 象の鼻が長い。
② ～∀ｘ∀ｙ｛ 象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ ＆ ～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ ｝。
③ ∃ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝。
に於いて、
① の「否定」は、
② であり、
②＝③ である。
然るに、
（08）
③ ∃ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）→（～象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
③ あるｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。ならば、ｘは象ではなくて、ｙはｘの鼻であって、ｙは長い。
といふことは、
③ 象の鼻が長いならば、象以外にも、鼻の長い動物がゐる。
といふ、ことである。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 象の鼻が長い。
③ 象以外にも、鼻の長い動物がゐる。
に於いて、
① と ③ は、「矛盾」する。
従って、
（09）により、
（10）
① 象の鼻が長い。
③ 象の鼻は長く、象以外に、鼻の長い動物はゐない。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
① 象の鼻が長い。
といふ「日本語」は、
③ 象の鼻は長く、象以外に、鼻の長い動物はゐない。
といふ、「意味」である。
従って、
（11）により、
（12）
｛象、兎、犬、貔｝に於いて、
① 象の鼻が長い。
といふのであれば、
③ 貔の鼻は、長くはない。
従って、
（12）により、
（13）
｛象、兎、犬、熊｝に於いて、
① 象の鼻が長い。
といふのであれば、
③ 熊の鼻は、長くはない。
（14）
「明日」は、
② 象は鼻が長い。⇔
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
の、「否定」を「計算」してみます。
（01）
象は 鼻が長い。
「象」はこの文の主題です。「鼻は長い」は全体で「象の説明」を行っているという構造をしています。これがもし「象の鼻が長い」であれば、単に「象の鼻＝長い」といっているだけで、「象」が主題となっているとは言えません。ところが、「象は鼻が長い」にすると、「象について言えば、鼻が長い」という意味になります。
（橋本陽介、日本語の謎を解く、2016年、１４１・１４２頁）
然るに、
（02）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。⇔
① すべての象について、象をｘとするならば、ｘは動物である。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① 象は動物である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「象は」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
「∀ｘ｛象ｘ」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
然るに、
（04）
② Elephants are animals. ⇔
② ∀ｘ（ELEPHANTｘ→ANIMALｘ）⇔
② For all x, if x is an elephant then x is an animal. ⇔
② すべての象について、象をｘとするならば、ｘは動物である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
「象は」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
「Elephants」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
「象は」が「主題」であるならば、
「Elephants」も「主題」である。
然るに、
（07）
② Elephants are animals.
に於いて、
② Elephants は「主語」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① 象は動物である。
② Elephants are animals.
に於いて、
「Elephants」が「主語」であるならば、
「象は」も「主語」である。
（09）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ２ＵＥ
１ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５） 長ｂ Ａ
５ （６） ～～長ｂ ５ＤＮ
１５ （７） ～（～象ａ＆鼻ｂａ） ４６ＭＴＴ
１５ （８） 象ａ∨～鼻ｂａ ７ド・モルガンの法則
１５ （９） ～鼻ｂａ∨象ａ ８交換法則
１５ （ア） 鼻ｂａ→象ａ ９含意の定義
１ （イ） 長ｂ→鼻ｂａ→象ａ ５アＣＰ
ウ（ウ） 長ｂ＆鼻ｂａ Ａ
ウ（エ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ウ（オ） 鼻ｂａ→象ａ イエＭＰＰ
ウ（カ） 鼻ｂａ ウ＆Ｅ
１ ウ（キ） 象ａ オカＭＰＰ
１ （ク） 長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ ウキＣＰ
１ （ケ） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （コ） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ クケ＆Ｉ
１ （サ） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙａ→象ａ｝ コＵＩ
１ （シ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙｘ→象ｘ｝ サＵＩ
１ （〃）すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長く、ｙがｘの鼻ならば、ｘは象である。 サＵＩ
１ （〃）象の鼻ならば長く、長い鼻ならば、象である。 サＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙｘ→象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙａ→象ａ｝ １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ ２ＵＥ
１ （４） 長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ ３＆Ｅ
５ （５） ～象ａ Ａ
１５ （６） ～（長ｂ＆鼻ｂａ） ４５ＭＴＴ
１５ （７） ～長ｂ∨～鼻ｂａ ６ド・モルガンの法則
１５ （８） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ７交換法則
１５ （９） 鼻ｂａ→～長ｂ ８含意の定義
１ （ア） ～象ａ→鼻ｂａ→～長ｂ ５９ＣＰ
イ（イ） ～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
イ（ウ） ～象ａ イ＆Ｅ
１ イ（エ） 鼻ｂａ→～長ｂ アウＭＰＰ
イ（オ） 鼻ｂａ イ＆Ｅ
１ イ（カ） ～長ｂ エオＭＰＰ
１ （キ） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ イカＣＰ
１ （ク） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ ３＆Ｅ
１ （ケ） 象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ キク＆Ｉ
１ （コ） ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝ ケＵＩ
１ （サ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ コＵＩ
１ （〃）すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
従って、
（09）により、
（10）
③ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆ 長ｙ＆鼻ｙｘ→ 象ｘ｝
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長く、ｙがｘの鼻ならば、ｘは象である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長く、ｙがｘの鼻ならば、ｘは象である。
に於いて、すなはち、
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
④ 象の鼻は長く、長い鼻ならば象である。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（12）
｛馬、兎、象｝であるならば、
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
④ 象の鼻は長く、長い鼻ならば象である。
然るに、
（13）
｛馬、兎、象｝であるならば、
① 顔は、馬は長く、馬以外（兎と象）は長くない。
② 耳は、兎は長く、兎以外（馬と象）は長くない。
③ 鼻は、象は長く、象以外（馬と兎）は長くない。
従って、
（13）により、
（14）
｛馬、兎、象｝であるならば、
① 馬の顔が長く、
② 兎の耳が長く、
③ 象の鼻が長い。
従って、
（10）～（14）により、
（15）
③ 象の鼻が長い。⇔
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
③ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝⇔
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（15）により、
（16）
④ 象の鼻は長い。⇔
④ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ｝⇔
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（15）（16）により、
（17）
「番号」を付け直すと、
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
① の｛変域（ドメイン）｝は｛象｝だけであって、
② の｛変域（ドメイン）｝は｛馬｝＆｛兎｝＆｛象｝である。
従って、
（19）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
① は、「象」だけを「取り上げてゐる」が、
② は、「象、兎、馬」に「言及」してゐる。
従って、
（19）により、
（20）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
① は、「象の鼻」を「話題（主題）」にしてゐるが、
② は、「象の鼻と、その他の鼻」を「話題（主題）」にしてゐる。
従って、
（20）により、
（21）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、「象の鼻」を「主題」にしてゐるのは、「どちらか」と問はれるならば、
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
が、さうである。
然るに、
（08）により、
（22）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
に於いても、
①「象の鼻」は、「主語（Subject）」である。
然るに、
（23）
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
であるが故に、
③ 鼻が長い。⇔ 鼻は長く、鼻以外は長くない。
でなければ、ならない。
従って、
（23）により、
（24）
③ 鼻が長い。⇔ 鼻は長く、鼻以外は長くない。
であるが故に、
③ 象は鼻が長い。⇔ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
でなければ、ならない。
従って、
（24）により、
（25）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（26）
② 兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。⇔
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳でないならば、ｚは長くないが、ｚはｘの鼻ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（27）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ネＵＩ
従って、
（25）（26）（27）により、
（28）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
といふ「推論」、すなはち、
（１）象は鼻が長い。然るに、
（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（25）～（28）により、
（29）
「逆」に言へば、
（１）象は鼻が長い。然るに、
（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」であるが故に、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」は、「正しい」。
従って、
（29）により、
（30）
仮に、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、「マチガイ」であるならば、「述語論理（Predicate logic）そのもの」が、「正しくはない」。
然るに、
（31）
「一階述語論理の完全性定理」によれば、「述語論理（Predicate logic）」は、「完全」である。
従って、
（30）（31）により、
（32）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」は、「正しい」。
（01）
（ａ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ→象ｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ→象ａ） １ＵＥ
１ （３） 鼻ｂａ＆長ｂ→象ａ ２ＵＥ
４ （４） ～象ａ Ａ
５ （５） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ５ （６） 象ａ ３５ＭＰＰ
１４５ （７） ～象ａ＆象ａ ４６＆Ｉ
１４ （８） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ５７ＲＡＡ
１４ （９） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ８ド・モルガンの法則
１４ （ア） 鼻ｂａ→～長ｂ ９含意の定義
１ （イ） ～象ａ→鼻ｂａ→～長ｂ ４アＣＰ
ウ（ウ） ～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
ウ（エ） ～象ａ ウ＆Ｅ
１ ウ（オ） 鼻ｂａ→～長ｂ イエＭＰＰ
ウ（カ） 鼻ｂａ ウ＆Ｅ
１ ウ（キ） ～長ｂ オカＭＰＰ
１ （ク） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ウキＣＰ
１ （ケ） ∀ｙ｛～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝ クＵＩ
１ （コ）∀ｘ∀ｙ｛～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ ケＵＩ
（ｂ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝ １ＵＥ
１ （３） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ２ＵＥ
４ （４） 鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
４ （５） 鼻ｂａ ４＆Ｅ
４ （６） 長ｂ ４＆Ｅ
７ （７） ～象ａ Ａ
４７ （８） ～象ａ＆鼻ｂａ ５７＆Ｅ
１４７ （９） ～長ｂ ３８ＭＰＰ
１４７ （ア） 長ｂ＆～長ｂ ６９＆Ｉ
１４ （イ） ～～象ａ ７アＲＡＡ
１４ （ウ） 象ａ イＤＮ
１ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ→象ａ ４ウＣＰ
１ （オ） ∀ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ→象ａ） エＵＩ
１ （カ） ∀ｘ∀ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ→象ｘ） オＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ａ）∀ｘ∀ｙ（ 鼻ｙｘ＆長ｙ→ 象ｘ）
（ｂ）∀ｘ∀ｙ（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（02）により、
（03）
｛象、兎、キリン｝であるとして、
① すべてのｘとｙについて、ｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、ｘは象である。
② すべてのｘとｙについて、ｙがｘの耳であって、ｙが長いならば、ｘは兎である。
③ すべてのｘとｙについて、ｙがｘの首であって、ｙが長いならば、ｘはキリンである。
といふ「命題」は、
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象ではなく、 ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
⑤ すべてのｘとｙについて、ｘが兎ではなく、 ｙがｘの耳であるならば、ｙは長くない。
⑥ すべてのｘとｙについて、ｘがキリンではなく、ｙがｘの首であるならば、ｙは長くない。
といふ「命題」に、「等しい」。
然るに、
（04）
｛象、兎、キリン｝であるとして、
① すべてのｘとｙについて、ｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、ｘは象である。
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
といふことは、
① 鼻が（の）長いのは象である。
④ 象の鼻以外は長くない。
といふことである。
然るに、
（05）
｛象、兎、キリン｝であるとして、
① 鼻が（の）長いのは象である。
④ 象の鼻以外は長くない。
といふことは「真（本当）」であり、
然るに、
（06）
① 鼻が（連体助詞）長いのは象である。
といふことは、
① 鼻は（係助詞）象が（格助詞）長い。
といふ、ことである。
従って、
（05）（06）により、
（07）
｛象、兎、キリン｝であるとして、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 首はキリンが長い。
④ 象の鼻以外は長くない。
⑤ 兎の耳以外は長くない。
⑥ キリンの首以外は長くない。
に於いて、
①＝④ であって、
②＝⑤ であって、
③＝⑥ である。
従って、
（07）により、
（08）
｛象、兎、キリン｝であるとして、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 首はキリンが長い。
④ 象の鼻以外は長くない。
⑤ 兎の耳以外は長くない。
⑥ キリンの首以外は長くない。
に於いて、
①＝④ であって、
②＝⑤ であって、
③＝⑥ である。
従って、
（08）により、
（09）
｛象、兎、キリン｝であるとして、
① 象の鼻が長い。
② 兎の耳が長い。
③ キリンの首が長い。
④ 象の鼻以外は長くない。
⑤ 兎の耳以外は長くない。
⑥ キリンの首以外は長くない。
に於いて、
①＝④ であって、
②＝⑤ であって、
③＝⑥ である。
従って、
（09）により、
（10）
｛象、兎、キリン｝であるとして、
① 象の鼻が長い。
② 兎の耳が長い。
③ キリンの首が長い。
④ 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
⑤ 兎の耳は長く、兎の耳以外は長くない。
⑥ キリンの首は長く、キリンの首以外は長くない。
に於いて、
①＝④ であって、
②＝⑤ であって、
③＝⑥ である。
従って、
（10）により、
（11）
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
に於いて、
①＝② である。
（01）
１ （１） ∀ｘ｛動物ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ（馬ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （３） 動物ａ→∃ｙ（頭ｙａ） １ＵＥ
２ （４） 馬ａ→動物ａ ２ＵＥ
５ （５） 馬ａ Ａ
２５ （６） 動物ａ ４５ＭＰＰ
１２５ （７） ∃ｙ（頭ｙａ） ３６ＭＰＰ
８（８） 頭ｂａ Ａ
２５８（９） 頭ｂａ＆動物ａ ６８＆Ｉ
２５８（ア） ∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ） ９ＥＩ
１２５ （イ） ∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ） ７８ＥＥ
１２ （ウ） 馬ａ→∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ） ５イＣＰ
１２ （エ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ＆動物ｘ）｝ ウＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（１）すべてのｘについて、ｘが動物であるならば、あるｙはｘの頭である。然るに、
（２）すべてのｘについて、ｘが馬ならば、ｘは動物である。従って、
（エ）すべてのｘについて、ｘが馬ならば、あるｙはｘの頭であって、ｘは動物である。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（１）すべての動物には頭がある。然るに。
（２）すべての馬は動物である。故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（04）
「何々の」というのも重視したいものである。
すべての馬が動物であれば、馬の頭はすべて動物の頭である。（ド・モルガンの例）
というようなのに備えて、「何々の」に対しても敏感であることが望ましい。
以上のように、条件分で道理を表わすことわざで了解事項となるものは、ガノニヲの範囲である。
（三上章、日本語の論理、1963年、３８頁）
（05）
ド・モルガンが、明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のわくぐみのなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名なまた簡単な論証がある。
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（E.J.ﾚﾓﾝ 著、竹尾治一郎・浅野楢英、論理学初歩、1973年、１６７頁）
There is a famous and simple argument, cited by de Morgan as an example of a kind of reasoning which, though patently sound, could not be handled within the framework of traditional logic. It runs
（１）All horses are animals; therefore all horses' heads are animals' head.
（E.J.Lemmon, Beginning Logic、2002年、第10版、P131）
１２３ ∀ｘ（馬ｘ→動物ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動物ｙ＆頭ｘｙ）｝
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動物ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ｂｙ） Ａ
３（３） 馬ａ＆頭ｂａ Ａ
３（４） 馬ａ ３＆Ｅ
３（５） 頭ｂａ ３＆Ｅ
１ （６） 馬ａ→動物ａ １ＵＥ
１ ３（７） 動物ａ ４６ＭＰＰ
１ ３（８） 動物ａ＆頭ｂａ ５７＆Ｉ
１ ３（９） ∃ｙ（動物ｙ＆頭ｙａ） ８ＥＩ
１２ （ア） ∃ｙ（動物ｙ＆頭ｙａ） ２３９ＥＥ
１ （イ） ∃ｙ（馬ｙ＆頭ｂｙ）→∃ｙ（動物ｙ＆頭ｂｙ） ２アＣＰ１
１ （ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動物ｙ＆頭ｘｙ）｝ イＵＩ
（E.J.ﾚﾓﾝ 著、竹尾治一郎・浅野楢英、論理学初歩、1973年、１６７頁改）
従って、
（05）により、
（06）
（１）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、ｘは動物である。然るに、
（２）あるｙは馬であって、任意のｂはｙの頭である。従って、
（ウ）すべてのｘについて、あるｙが馬であって、ｘがｙの頭であるならば、あるｙは動物であって、ｘはｙの頭である。
（〃）すべてのｘについて、あるｙが馬であって、ｘが馬（ｙ）の頭であるならば、ある馬（ｙ）は動物であって、ｘは動物（ｙ）の頭である。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
（１）すべての馬は動物である。然るに、
（２）ある馬には頭がある。従って、
（ウ）すべての馬の頭は動物の頭である。
といふ「推論」は「妥当」である。
（08）
１ （１） ∀ｘ（馬ｘ→動物ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ）｝ Ａ
１ （３） 馬ａ→動物ａ １ＵＥ
２ （４） 馬ａ→∃ｙ（頭ｙａ） ２ＵＥ
５ （５） 馬ａ Ａ
１ ５ （６） 動物ａ ３５ＭＰＰ
２５ （７） ∃ｙ（頭ｙａ） ４５ＭＰＰ
８（８） 頭ｂａ ７ＵＥ
１ ５８（９） 頭ｂａ＆動物ａ ６８＆Ｉ
１ ５８（ア） ∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ） ９ＥＩ
１２５ （イ） ∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ） ７８ＥＥ
１２ （ウ） 馬ａ→∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ） ５イＣＰ
１２ （エ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ＆動物ｘ）｝ ウＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
（１）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、ｘは動物である。然るに、
（２）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、あるｙはｘの頭である。従って、
（エ）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、あるｙはｘの頭であって、ｘは動物である。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（09）により、
（10）
（１）すべての馬は動物ある。然るに。
（２）すべての馬には頭がある。故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」も「妥当」である。
従って、
（03）（10）により、
（11）
（１）すべての動物には頭がある。然るに。
（２）すべての馬は動物である。 故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」も、
（１）すべての馬は動物ある。然るに。
（２）すべての馬には頭がある。故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」も「妥当」である。
従って、
（11）により、
（12）
（１）すべての動物には頭がある。
といふ「仮定」を行はなくとも、
（１）すべての馬が、動物であって、
（２）すべての馬に頭があるならば、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
従って、
（12）により、
（13）
（１）すべての動物には頭がある。
といふ「命題」が「真（本当）」でなくとも、
（１）すべての馬は動物ある。然るに、
（２）すべての馬には頭がある。故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
（１）仮に、頭が無い動物がゐたとしても、
（１）すべての馬が、動物であって、
（２）すべての馬に頭があるならば、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
然るに、
（15）
（１）頭が無い動物がゐる。
といふことは、「常識」としては、有り得ない。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「非常識でない」といふことと、「論理的に正しい」ことは「同じ」ではない。
従って、
（17）
「論理的な正しさ」とは、「形式として正しさ」であって、「命題（の内容）の正しさ」ではない。
（01）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） 私ｂ ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （９） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （ア） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ９ＵＥ
イ （イ） ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ） Ａ
ウ （ウ） 倉田ｃ＆～私ｃ Ａ
ウ （エ） 倉田ｃ ウ＆Ｅ
ウ （オ） ～私ｃ ウ＆Ｅ
カ（カ） ｂ＝ｃ Ａ
ウカ（キ） ～私ｂ オカ＝Ｅ
５ ウカ（ク） ～私ｂ＆私ｂ ７キ＆Ｉ
５ ウ （ケ） ｂ≠ｃ カクＲＡＡ
５ ウ （コ） ～理事長ｃａ アケＭＴＴ
５ ウ （サ） 倉田ｃ＆～理事長ｃａ エコ＆Ｉ
５ ウ （シ） ∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） サＥＩ
５イ （ス） ∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） イウシＥＥ
１３ イ （セ） ∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） ４５スＥＥ
１ イ （ソ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚａ） ３セＣＰ
１ イ （タ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ ソＵＩ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
② ∃ｚ（倉田ｚ＆～私ｚ）。従って、
③ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（倉田ｚ＆～理事長ｚｘ）｝。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。 然るに、
② あるｚは倉田であって、ｚは私ではない。 従って、
③ すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは倉田であって、ｚはｘの理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
① タゴール記念会は私が理事長です。 然るに、
② 倉田氏は私ではない。 従って、
③ タゴール記念会は、倉田氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① タゴール記念会は私が理事長です。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
① あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふことは、要するに、
① ｙ（私）以外に、ｚ（ｘの理事長）はゐない。
といふ、ことである。
然るに、
（08）
① ｙ（私）以外に、ｚ（ｘの理事長）はゐない。
といふことは、
① ｚ（ｘの理事長）はｙ（私）である。
といふ、ことである。
従って、
（01）（06）（08）により、
（09）
① タゴール記念会は私が理事長です。⇔
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて、ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて、ｚがｘの理事長であるならば、ｙはｚと「同一」である。
といふ「等式」からすれば、
よく知られているように、
① 私が理事長です。は、語順を変え、
② タゴール記念会の理事長は私です。
とすることが出来る。といふことは、「当然」である。
然るに、
（10）
① タゴール記念会は私が理事長です。
② タゴール記念会の理事長は私です。
に対して、
③ 私はタゴール記念会の理事長です。
といふ「言ひ方」も可能である。
従って、
（11）
① タゴール記念会は私が理事長です。
② タゴール記念会の理事長は私です。
③ 私はタゴール記念会の理事長です。
に於いて、
② は、③ の「逆」であり、
③ は、② の「逆」である。
従って、
（11）により、
（12）
④ タゴール記念会は私が会員です。
⑤ タゴール記念会の会員は私です。
⑥ 私はタゴール記念会の会員です。
に於いても、
⑤ は、⑥ の「逆」であり、
⑥ は、⑤ の「逆」である。
然るに、
（13）
②「タゴール記念会の理事長が、一人である」のに対して、仮に、
⑤「タゴール記念会の会員が、五千人である」とする。
然るに、
（14）
「逆は必ずしも真ならず（The reverse is not necessarily true）。」
といふことは、「真（本当）」である。
従って、
（10）～（14）により、
（15）
① タゴール記念会は私が理事長です。
② タゴール記念会の理事長は私です。
③ 私はタゴール記念会の理事長です。
④ タゴール記念会は私が会員です。
⑤ タゴール記念会の会員は私です。
⑥ 私はタゴール記念会の会員です。
に於いて、
① タゴール記念会は私が理事長です。
② タゴール記念会の理事長は私です。
③ 私はタゴール記念会の理事長です。
⑥ 私はタゴール記念会の会員です。
の「４つ」は、「真（本当）」であるが、
④ タゴール記念会は私が会員です。
⑤ タゴール記念会の会員は私です。
の「２つ」は、「偽（ウソ）」である。
従って、
（15）により、
（16）
① タゴール記念会は私が理事長です。
③ 私はタゴール記念会の理事長です。
に於ける、
① タゴール記念会は私が理事長です。
の場合は、
③ 私はタゴール記念会の理事長です。
を「選択」せずに、
① タゴール記念会は私が理事長です。
を「選択」して、
① タゴール記念会は私が理事長です。
といふ風に、言ってゐる。
然るに、
（06）（07）により、
（17）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
といふことは、
① タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
といふことに、他ならない。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
① 私が理事長です。
③ 私は理事長です。
に於いて、
① は、「私以外は理事長ではない。」といふことを、「強調した、言ひ方」であって、
③ は、「私以外は理事長ではない。」といふことを、「強調しない言ひ方」である。
といふ、ことになる。
従って、
（18）により、
（19）
② 私以外は理事長ではない。
といふことを、「強調」しようとする際には、
③ 私は理事長です。
よりも、
① 私が理事長です。
の方が、「相応しい言ひ方」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（20）
① 私が理事長です。
③ 私は理事長です。
に於いて、
①「私が」の「が」は「濁音」であって、
③「私は」の「は」は「清音」である。
然るに、
（21）
清音の方は、小さくきれいで速い感じで、コロコロと言うと、ハスの上を水玉がころがるような時の形容である。ゴロゴロと言うと、大きく荒い感じで、力士が土俵でころがる感じである（金田一春彦、日本語（上）、1988年、１３１頁）。もし濁音を発音するときの物理的・身体的な口腔の膨張によって「濁音＝大きい」とイメージがつくられているのだとしたら、面白いですね。この仮説が正しいとすると、なぜ英語話者や中国語話者も濁音に対して「大きい」というイメージを持っているか説明がつきます（川原繁人、音とことばの不思議な世界、2015年、１３頁）。
従って、
（20）（21）により、
（22）
① 私が理事長です。
③ 私は理事長です。
に於いて、
①「私が」の「が」は「濁音」であって、「濁音」は、「清音」よりも、「心理的な音量が大きく」、
③「私は」の「は」は「清音」であって、「清音」は、「濁音」よりも、「心理的な音量が小さい」。
従って、
（19）（22）により、
（23）
① 私が理事長です。
③ 私は理事長です。
に於いて、
①「私が」の「が」は「濁音」であって、「濁音」は、「清音」よりも、「心理的な音量が大きい」が故に、
② 私以外は理事長ではない。
といふことを、「強調」しようとする際には、
③ 私は理事長です。
よりも、
① 私が理事長です。
の方が、「相応しい言ひ方」である。
といふ、ことになる。
従って、
（23）により、
（24）
① 私が理事長です。
③ 私は理事長です。
に於いて、
③「私は」に対する、
①「私が」は、「強調形」である。
といふ、ことになる。
（01）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長く、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（02）
① Ａは鼻以外は長くない。
② Ｂは耳以外は長くない。
とするならば、
① Ａの鼻は長く、
② Ｂの鼻は長くない。
といふことになり、そのため、
③ ＡとＢは、「同じ対象」では、有り得ない。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長く、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、その実、
① 象は鼻以外は長くない。然るに、
② 兎は耳以外は長くなく、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」に、「等しい」。
然るに、
（04）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 兎は耳は長く、耳以外は長くなく、兎の耳は鼻ではない。
といふ「日本語」は。
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、
（05）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ネＵＩ
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
② 兎は耳は長く、耳以外は長くなく、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
③ ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「述語論理」としても、「妥当」である。
従って、
（03）（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長く、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」であるとする一方で、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
然るに、
（09）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長く、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① 象は鼻が長い。
② 兎は耳が長く、兎の耳は鼻ではない。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」が「妥当」である以上、三上章先生であらうと、金谷武洋先生であらうと、田中智恵子先生であらうと、誰であらうと、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
従って、
（10）により、
（11）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」の「第一の、意味」は、「述語論理」で書けば、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「意味」、すなはち、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、「意味」である。
然るに、
（12）
「三上章、象は鼻が長い、１９６０年」
「三上章、日本語の論理、１９６３年」
「竹林一志、主語・題目語をめぐる三上章の論」等を読む限り、三上章先生は、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」に、気付いてゐないか、気付いてはゐても、そのことを、無視してゐると、言はざるを得ない。