（417）「象は鼻が長い」の「象」は「主語」であると「述語論理」。

（01）
　象は　鼻が長い。
「象」はこの文の主題です。「鼻は長い」は全体で「象の説明」を行っているという構造をしています。これがもし「象の鼻が長い」であれば、単に「象の鼻＝長い」といっているだけで、「象」が主題となっているとは言えません。ところが、「象は鼻が長い」にすると、「象について言えば、鼻が長い」という意味になります。
（橋本陽介、日本語の謎を解く、2016年、１４１・１４２頁）
然るに、
（02）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。⇔
① すべての象について、象をｘとするならば、ｘは動物である。⇔
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）⇔
① 象は動物である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
　　　「象は」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
「∀ｘ｛象ｘ」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
然るに、
（04）
② Elephants are animals.      ⇔
② ∀ｘ（ELEPHANTｘ→ANIMALｘ）⇔
② For all x, if x is an elephant then x is an animal. ⇔
② すべての象について、象をｘとするならば、ｘは動物である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
　　 「象は」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
「Elephants」は「（すべての）象について言えば、」という意味である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
　　 「象は」が「主題」であるならば、
「Elephants」も「主題」である。
然るに、
（07）
② Elephants are animals.
に於いて、
② Elephants　は「主語」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① 象は動物である。
② Elephants are animals.
に於いて、
「Elephants」が「主語」であるならば、
　　 「象は」も「主語」である。
（09）
（ⅲ）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝　Ａ
１　　（２）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　２ＵＥ
１　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　３＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　Ａ
　５　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～長ｂ　　５ＤＮ
１５　（７）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆鼻ｂａ）　　　　　４６ＭＴＴ
１５　（８）　　　　　　　　　　　　　　　象ａ∨～鼻ｂａ　　　　　　７ド・モルガンの法則
１５　（９）　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨象ａ　　　　　　８交換法則
１５　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→象ａ　　　　　　９含意の定義
１　　（イ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ→鼻ｂａ→象ａ　　　　　　５アＣＰ
　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　Ａ
　　ウ（エ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１　ウ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→象ａ　　　　　　イエＭＰＰ
　　ウ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１　ウ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　　　　　オカＭＰＰ
１　　（ク）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ　　　　　　ウキＣＰ
１　　（ケ）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（コ）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ　　　　クケ＆Ｉ
１　　（サ）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙａ→象ａ｝　　　コＵＩ
１　　（シ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙｘ→象ｘ｝　　　サＵＩ
１　　（〃）すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長く、ｙがｘの鼻ならば、ｘは象である。　サＵＩ
１　　（〃）象の鼻ならば長く、長い鼻ならば、象である。　　　　　　　サＵＩ
（ⅳ）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙｘ→象ｘ｝　　　Ａ
１　　（２）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ＆鼻ｙａ→象ａ｝　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ　　　　２ＵＥ
１　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆鼻ｂａ→象ａ　　　　３＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　Ａ
１５　（６）　　　　　　　　　　　　　～（長ｂ＆鼻ｂａ）　　　　　　４５ＭＴＴ
１５　（７）　　　　　　　　　　　　　～長ｂ∨～鼻ｂａ　　　　　　　６ド・モルガンの法則
１５　（８）　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　７交換法則
１５　（９）　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　８含意の定義
１　　（ア）　　　　　　　　　　～象ａ→鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　５９ＣＰ
　　イ（イ）　　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　イ（ウ）　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
１　イ（エ）　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　アウＭＰＰ
　　イ（オ）　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
１　イ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　エオＭＰＰ
１　　（キ）　　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　イカＣＰ
１　　（ク）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（ケ）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　キク＆Ｉ
１　　（コ）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ｝　ケＵＩ
１　　（サ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝　コＵＩ
１　　（〃）すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
従って、
（09）により、
（10）
③ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝
④ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆　長ｙ＆鼻ｙｘ→　象ｘ｝
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長く、ｙがｘの鼻ならば、ｘは象である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長く、ｙがｘの鼻ならば、ｘは象である。
に於いて、すなはち、
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
④ 象の鼻は長く、長い鼻ならば象である。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（12）
｛馬、兎、象｝であるならば、
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
④ 象の鼻は長く、長い鼻ならば象である。
然るに、
（13）
｛馬、兎、象｝であるならば、
① 顔は、馬は長く、馬以外（兎と象）は長くない。
② 耳は、兎は長く、兎以外（馬と象）は長くない。
③ 鼻は、象は長く、象以外（馬と兎）は長くない。
従って、
（13）により、
（14）
｛馬、兎、象｝であるならば、
① 馬の顔が長く、
② 兎の耳が長く、
③ 象の鼻が長い。
従って、
（10）～（14）により、
（15）
③ 象の鼻が長い。⇔
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
③ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝⇔
③ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（15）により、
（16）
④ 象の鼻は長い。⇔
④ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ｝⇔
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（15）（16）により、
（17）
「番号」を付け直すと、
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「等式」が成立する。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
① の｛変域（ドメイン）｝は｛象｝だけであって、
② の｛変域（ドメイン）｝は｛馬｝＆｛兎｝＆｛象｝である。
従って、
（19）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
① は、「象」だけを「取り上げてゐる」が、
② は、「象、兎、馬」に「言及」してゐる。
従って、
（19）により、
（20）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
① は、「象の鼻」を「話題（主題）」にしてゐるが、
② は、「象の鼻と、その他の鼻」を「話題（主題）」にしてゐる。
従って、
（20）により、
（21）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、「象の鼻」を「主題」にしてゐるのは、「どちらか」と問はれるならば、
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
が、さうである。
然るに、
（08）により、
（22）
① 象の鼻は長い。⇔ 象の鼻は長い。
に於いても、
①「象の鼻」は、「主語（Subject）」である。
然るに、
（23）
② 象の鼻が長い。⇔ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
であるが故に、
③ 　　鼻が長い。⇔ 　　鼻は長く、鼻以外は長くない。
でなければ、ならない。
従って、
（23）により、
（24）
③ 　　鼻が長い。⇔ 　　鼻は長く、鼻以外は長くない。
であるが故に、
③ 象は鼻が長い。⇔ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
でなければ、ならない。
従って、
（24）により、
（25）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（26）
② 兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。⇔
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳でないならば、ｚは長くないが、ｚはｘの鼻ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（27）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　４７ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５８ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　６　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
１　　６　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　エＵＥ
　２　６　　（カ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
　２　６　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　クＵＥ
　２　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　ケ＆Ｅ
　　　　　キ（サ）　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ
　２　６　キ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　コサＭＰＰ
１２　６　キ（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　　　　　オシＭＰＰ
　　　　ウ　（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１２　６ウキ（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ　
１２　６ウ　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カキソＥＥ　
１２　６　　（チ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イウタＥＥ
１２３　　　（ツ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３６チＥＥ
１２　　　　（テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３ツＲＡＡ
１２　　　　（ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ量化子の関係
１２　　　　（ナ）　　～（象ａ＆兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　トＵＥ
１２　　　　（ニ）　　～象ａ∨～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ヌ）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ニ交換法則
１２　　　　（ネ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヌ含意の定義
１２　　　　（ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ネＵＩ
１２　　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。　　　　　　　　　　　　ネＵＩ
１２　　　　（〃）兎は象ではない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ネＵＩ
従って、
（25）（26）（27）により、
（28）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
１２　　　　（ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ネＵＩ
といふ「推論」、すなはち、
　　　　　　（１）象は鼻が長い。然るに、
　　　　　　（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
　　　　　　（３）兎は象ではない。　
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（25）～（28）により、
（29）
「逆」に言へば、
　　　　　　（１）象は鼻が長い。然るに、
　　　　　　（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
　　　　　　（３）兎は象ではない。　
といふ「推論」は、「妥当」であるが故に、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」は、「正しい」。
従って、
（29）により、
（30）
仮に、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、「マチガイ」であるならば、「述語論理（Predicate logic）そのもの」が、「正しくはない」。
然るに、
（31）
「一階述語論理の完全性定理」によれば、「述語論理（Predicate logic）」は、「完全」である。
従って、
（30）（31）により、
（32）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」は、「正しい」。