（420）「象の鼻が長い。」の「多義性」について。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）　　　Ａ
１　　（２）　　∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ　　　　２ＵＥ
　４　（４）　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　Ａ
１４　（５）　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ）　　　　　　３４ＭＴＴ
１４　（６）　　　　～鼻ａｂ∨～象ｂ　　　　　　５ド・モルガンの法則
１４　（７）　　　　　鼻ａｂ→～象ｂ　　　　　　６含意の定義
１　　（８）　～長ａ→鼻ａｂ→～象ｂ　　　　　　４７ＣＰ
　　９（９）　　　　　鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　Ａ
　　９（ア）　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　９＆Ｅ
１　９（イ）　　　　　鼻ａｂ→～象ｂ　　　　　　８アＭＰＰ
　　９（ウ）　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　９＆Ｅ
１　９（エ）　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　イウＭＰＰ
１　　（オ）　　　　　鼻ａｂ＆～長ａ→～象ｂ　　９エＣＰ
１　　（カ）　　∀ｙ（鼻ａｙ＆～長ａ→～象ｙ）　オＵＩ
１　　（キ）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆～長ｘ→～象ｙ）　カＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆～長ｘ→～象ｙ）　Ａ
１　　（２）　　∀ｙ（鼻ａｙ＆～長ａ→～象ｙ）　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　鼻ａｂ＆～長ａ→～象ｂ　　２ＵＥ
　４　（４）　　　　　　　　　　　　　　象ｂ　　Ａ
　４　（５）　　　　　　　　　　　　～～象ｂ　　４ＤＮ
１４　（６）　　　～（鼻ａｂ＆～長ａ）　　　　　３５ＭＴＴ
１４　（７）　　　　～鼻ａｂ∨　長ａ　　　　　　６ド・モルガンの法則
１４　（８）　　　　　鼻ａｂ→　長ａ　　　　　　７含意の定義
１　　（９）　　象ｂ→鼻ａｂ→　長ａ　　　　　　４８ＣＰ
　　ア（ア）　　　　　鼻ａｂ＆　象ｂ　　　　　　Ａ
　　ア（イ）　　象ｂ　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
１　ア（ウ）　　　　　鼻ａｂ→　長ａ　　　　　　９イＭＰＰ
　　ア（エ）　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
１　ア（オ）　　　　　　　　　　長ａ　　　　　　ウエＭＰＰ
１　　（カ）　　　　　鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ　　　　アオＭＰＰ
１　　（キ）　　∀ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）　　　カＵＩ
１　　（ク）∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）　　　キＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆  象ｙ→　長ｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆～長ｘ→～象ｙ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長い。
② すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｘが長くないならば、ｙは象ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① 鼻は、象ならば長い。
② 鼻は、長くないならば象ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
｛象、兎、馬｝であるならば、
① 鼻は、象ならば長く、長くないならば象ではない。
② 耳は、兎ならば長く、長くないならば兎ではない。
③ 顔は、馬ならば長く、長くないならば馬ではない。
従って、
（04）により、
（05）
① 鼻は、象が長い。
② 耳は、兎が長い。
③ 顔は、馬が長い。
従って、
（02）～（05）により、
（06）
①｛象、兎、馬｝であるならば、
①  象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）。
②  兎の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（耳ｘｙ＆兎ｙ→長ｘ）。
③  馬の顔が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（顔ｘｙ＆馬ｙ→長ｘ）。
然るに、
（07）
（ⅳ）
１　（１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝　Ａ
１　（２）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～（象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝　１ＵＥ
１　（３）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～（象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　１ＵＥ
１　（４）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　（５）　　　　　　　　　　　　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　３＆Ｅ
　６（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　Ａ
　６（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～長ｂ　　６ＤＮ
１６（８）　　　　　　　　　　　　　　～～（象ａ＆鼻ｂａ）　　　　　　５７ＭＴＴ
１６（９）　　　　　　　　　　　　　　　　（象ａ＆鼻ｂａ）　　　　　　８ＤＮ
１　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ→（象ａ＆鼻ｂａ）　　　　６９ＣＰ
１　（イ）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ→（象ａ＆鼻ｂａ）　　　　４ア＆Ｉ
１　（ウ）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ→（象ａ＆鼻ｙａ）｝　　　イＵＩ
１　（エ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ→（象ｘ＆鼻ｙｘ）｝　　　ウＵＩ
（ⅴ）
１　（１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ→（象ｘ＆鼻ｙｘ）｝　　　Ａ
１　（２）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆長ｙ→（象ａ＆鼻ｙａ）｝　　　２ＵＥ
１　（３）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆長ｂ→（象ａ＆鼻ｂａ）　　　　２ＵＥ
１　（４）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　（５）　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ→（象ａ＆鼻ｂａ）　　　　３＆Ｅ
　６（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ）　　　　Ａ
１６（７）　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　　　　　　５６ＭＴＴ
１　（８）　　　　　　　　　　　　　　　～（象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　６７ＣＰ
１　（９）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆～（象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　４８＆Ｉ
１　（ア）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆～（象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝　９ＵＩ
１　（イ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝　アＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
④ 象の鼻が長い。⇔
④ 象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。⇔
④ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝⇔
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象であってｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
⑤ 象の鼻が長い。⇔
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆長ｙ→（象ｘ＆鼻ｙｘ）｝⇔
⑤ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙが長いならば、ｘは象であって、ｙはｘの鼻である。
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（09）
④｛象の鼻、机の天板、机の抽斗｝であるならば、
④  象の鼻が長い。⇔
④  象の鼻は長く、象の鼻以外（机の天板、机の抽斗）は長くない。⇔
④  ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝⇔
④ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象であってｙがｘの鼻でないならば、ｙは長くない。
（10）
（ⅵ）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝　Ａ
１　　（２）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（～象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　１ＵＥ
１　　（４）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　３＆Ｅ
　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　Ａ
　６　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～長ｂ　　６ＤＮ
１６　（８）　　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ＆鼻ｂａ）　　　　　  ５７ＭＰＰ
１６　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ∨～鼻ｂａ　　　　　    ８ド・モルガンの法則
１６　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　  ～鼻ｂａ∨象ａ　　　　　　  ９交換法則
１６　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　  鼻ｂａ→象ａ　　　　　　  ア含意の定義
１　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　  長ｂ→鼻ｂａ→象ａ　　　　　    ６イＣＰ
　　エ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　  （鼻ｂａ＆長ｂ)　　　　　　 Ａ
　　エ（オ）　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　  　エ＆Ｅ
１　エ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　  鼻ｂａ→象ａ　　　　　  　ウオＭＰＰ
　　エ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　  鼻ｂａ　　　　　　　　  　エ＆Ｅ
１　エ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　　  カキＭＰＰ
１　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ｂａ＆長ｂ）→象ａ　　　　エクＣＰ
１　　（コ）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（鼻ｂａ＆長ｂ）→象ａ　　　　４ケ＆Ｉ
１　　（サ）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（鼻ｙａ＆長ｂ）→象ａ｝　　　コＵＩ
１　　（シ）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝　    サＵＩ
（ⅶ）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝　    Ａ
１　　（２）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（鼻ｙａ＆長ｂ）→象ａ｝　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（鼻ｂａ＆長ｂ）→象ａ　　　　２ＵＥ
１　　（４）　　　　　象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ｂａ＆長ｂ）→象ａ　　　　３＆Ｅ
　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　Ａ
１６　（７）　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　　　５６ＭＴＴ
１６　（８）　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
１６　（９）　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　８含意の定義
１　　（ア）　　　　　　　　　　　～象ａ→鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　６９ＣＰ
　　イ（イ）　　　　　　　　　　（～象ａ＆鼻ｂａ）　　　　　　　　　　　Ａ
　　イ（ウ）　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
１　イ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　アウＭＰＰ
　　イ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
１　イ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　エオＭＰＰ
１　　（キ）　　　　　　　　　　（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　　　　　　イカＣＰ
１　　（ク）　　　　  象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　４キ＆Ｉ
１　　（ケ）　　∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（～象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝　クＵＩ
１　　（コ）∀ｘ∀ｙ｛象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ＆（～象ａ＆鼻ｙａ）→～長ｙ｝　ケＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
⑥ 象の鼻が長い。⇔
⑥ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
⑥ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝⇔
⑥ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
⑦ 象の鼻が長い。⇔
⑦ 象の鼻は長く、鼻が長いならば象である。⇔
⑦ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝⇔　　　
⑦ すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘは象である。
に於いて、
⑥＝⑦ である。
然るに、
（12）
⑥｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝であるならば、
⑥  象の鼻が長い。⇔
⑥  象の鼻は長く、象以外の鼻（兎の鼻、馬の鼻）は長くない。⇔
⑥  ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝⇔
⑥  すべてのｘとｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象ではなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。
従って、
（06）（09）（12）により、
（13）
①｛象、兎、馬｝であるならば、
①  象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）。
④｛象の鼻、机の天板、机の抽斗｝であるならば、
④  象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
⑥｛象の鼻、　兎の鼻、　馬の鼻｝であるならば、
⑥  象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝。
といふ、ことになる。
然るに、
（14）
①｛象、兎、馬｝であるならば、
①  象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）。
に関しては、「正確」には、
⑥｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝であるならば、
⑥  象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ｝。
といふ、ことであるため、
①≒⑥ である。
然るに、
（15）
④  象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆～（象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
⑥  象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∀ｙ｛象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ＆　～象ｘ＆鼻ｙｘ　→～長ｙ｝。
に関しては、
④｛象の鼻、机の天板、机の抽斗｝であるならば、
⑥｛象の鼻、　兎の鼻、　馬の鼻｝であるならば、
であるため、
①≒⑤ ではなく、
④≠⑥ である。
（16）
④ ～（象ｘ＆鼻ｙｘ）
⑥   ～象ｘ＆鼻ｙｘ
は、「正確」には、
④ ～（象ｘ＆鼻ｙｘ）
⑥ ～（象ｘ）＆鼻ｙｘ
であって、
④ は、「象の鼻以外」であって、
⑥ は、「象以外の鼻」であるため、
④≠⑥ である。