（01）
①｛象、机｝
に於いて、
①｛象が動物である。｝は、「本当」である。
ｃｆ.
Which is an animal?
（02）
②｛象、兎｝
に於いて、
②｛象が動物である。｝は、「ウソ」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
①｛象、□｝
に於いて、
① □が動物でない。ならば、そのときに限って、
①｛象が動物である。｝は、「本当」である。
従って、
（03）により、
（04）
① 象が動物である。⇔
① 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）により、
（05）
① 鼻が長い。⇔
① 鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
といふ「推論」、すなはち、
（１）象は鼻が長い。然るに、
（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（３）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（10）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝の「否定」、すなはち、
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝を「計算」すると、次（11）の通りである。
（11）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
４ （４） ～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
４ （５） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４含意の定義
３４ （６） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝＆
｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３５＆Ｉ
３ （７）～［～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝］ ４６ＲＡＡ
３ （８） 象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ４ド・モルガンの法則
３ （９） 象ａ ８＆Ｅ
３ （ア） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ８＆Ｅ
３ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア、ド・モルガンの法則
９ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
９ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
イ （オ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
イ （カ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） オ含意の定義
イ （キ） ～鼻ｂａ＆長ｂ カ、ド・モルガンの法則
イ （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） キ、ＥＩ
９ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） エオキＥＥ
９ （コ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ケ∨Ｉ
サ（サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
サ（シ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） サ∨Ｉ
３ （ス） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） イウコサシ∨Ｅ
３ （セ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ス含意の定義
３ （ソ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ９セ＆Ｉ
３ （タ） ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ ソＥＩ
１ （チ） ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ ２３タＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
２４ （５） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
２４ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ２５ＭＰＰ
７ （７） ～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
７ （８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～（～象ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７ （ア） ∃ｚ～（～象ｚａ→～長ｚ） ９ＥＩ
２４ （イ） ∃ｚ～（～象ｚａ→～長ｚ） ６７アＥＥ
２４ （ウ） ～∀ｚ（～象ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
２ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～象ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
２ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
２ （カ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ オ、ド・モルガンの法則
２ （キ） 象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ２カ＆Ｉ
２ （ク） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ キ、ド・モルガンの法則
２ （ケ） ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ク、含意の定義
２ （コ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ケＥＩ
１ （サ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １２コＥＥ
１ （シ）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ サ量化子の関係
従って、
（11）により、
（12）
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（10）（12）により、
（13）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② あるｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、あるｚが、ｘの鼻以外で、長い。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（15）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② あるｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、あるｚが、ｘの鼻以外で、長い。といふことはない。
といふことは、要するに、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
従って、
（09）（15）により、
（16）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「意味」であって、
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「日本語」は、「述語論理」で書くならば、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝。
といふ「意味」である。
然るに、
（17）
日本語で典型な文（センテンス）は「Ⅹは」で始まる題述関係の文です。公式で一括して
Ⅹハ、本ウンヌン。
題目 述部
と書くことできます。題目の提示「Ⅹは」は、だいたい「Ⅹニツイテ言エバ」の心持ちです。上の「Ⅹニツイテ」は中味の予告です。下の「言エバ」は話し手の態度の宣言であり、これが述部の言いきり（文末）と呼応します。
後者、すなわち文末と呼応して一文を完成する仕事が「ハ」の本務です。前者、すなわち中味への関与の仕方は「ハ」の兼務です。「Ⅹハ」には。本務と兼務の両面があることを知り、始終それを念頭に置くことが大切です（三上章、象は鼻が長い、1992年第21版、８頁）。
然るに、
（18）
① ∀ｘ｛象ｘ→・・・・・。
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、・・・・・。
といふことは、
① すべての象について、象をｘとするならば、・・・・・。
といふことである。
（19）
① すべての象について、象をｘとするならば、・・・・・。
といふことは、
① 象ニツイテ言エバ、・・・・・。
といふ、ことである。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
題目の提示「Ⅹは」は、だいたい「Ⅹニツイテ言エバ」の心持ちです。
といふ「言ひ方」は、私にも、分からない、わけではない。
然るに、
（21）
題目の提示「Ⅹは」は、だいたい「Ⅹニツイテ言エバ」の心持ちです。上の「Ⅹニツイテ」は中味の予告です。下の「言エバ」は話し手の態度の宣言であり、これが述部の言いきり（文末）と呼応します。後者、すなわち文末と呼応して一文を完成する仕事が「ハ」の本務です。前者、すなわち中味への関与の仕方は「ハ」の兼務です。「Ⅹハ」には。本務と兼務の両面があることを知り、始終それを念頭に置くことが大切です。
といふ場合の、「本務と兼務」といふ「言ひ方」は、結局の所、私には、「難しすぎて」、全く理解できない。
（22）
「象は」は主語であり、「鼻がながい」全体が述語をなしていると、みなすわけにはいかないだろうか。そうだとすれば、「鼻がながい」が連語をなしていて、それを主語と述語にわける必要はない。「述語節」というみ方にも根拠はあるわけである。形態論的にみたら、主格がふたつあっても、文論的には、主語はひとつしかないのである（三上章、象は鼻が長い、1992年第21版、２２７頁：増補―批判と反批判）。
然るに、
（23）
① 象は動物である＝∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
といふ「命題」に於ける、
① 動物ｘ
に対して、
① 動物ｘ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）。
といふ「代入（Substitution）」を行へば、
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「命題」になる。
従って、
（23）により、
（24）
① 象は動物である＝∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
② 象は鼻が長い ＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於ける、
① 動物である＝動物ｘ
② 鼻が長い ＝∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
に於いて、
① は「述語」であるが、
② は「述語」ではない。
といふ風には、「述語論理的」には、言へない。
従って、
（22）（23）（24）により、
（25）
「象は」は主語であり、「鼻がながい」全体が述語をなしている。
といふ「理解」は、「述語論理的」には、「正しい」。
従って、
（24）（25）により、
（26）
① 象は動物である＝∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
② 象は鼻が長い ＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
① 象は は、「主語」であり、
② 象は も、「主語」である。
といふ主張は、少なくとも、「述語論理的」には、「正しい」。
（27）
① 象は動物である＝∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
② 象は鼻が長い ＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「日本語」は、「述語論理」としては、両方とも、
③ ∀ｘ（象ｘ→Ｐ）。
といふ「文型」であって、
③ 象ｘ は「主語」であり、
③ Ｐ は「述語」である。