(01)
「量化子の関係」により、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w(長w→鼻wx∨牙wx)}
② ∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w(長w→鼻wx∨牙wx)}
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① である。
然るに、
(02)
(ⅱ)
1 (1)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w(長w→鼻wx∨牙wx)} A
2 (2) ~{象a→∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)} A
3 (3) ~象a∨{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)} A
3 (4) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa) 3含意の定義
23 (5) ~{象a→∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)}&
{象a→∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)} 24&I
2 (6)~[~象a∨{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)}] 35RAA
2 (7) 象a&~{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)} 6ド・モルガンの法則
2 (8) 象a 7&E
2 (9) ~{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)& ∀w(長w→鼻wa∨牙wa)} 7&E
2 (ア) ~∃y(鼻ya&長y)∨~∃z(牙za&長z)∨~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) 9ド・モルガンの法則
2 (イ) ∃y(鼻ya&長y)→~∃z(牙za&長z)∨~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) ア含意の定義
2 (ウ) ∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(牙za&長z)→~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) イ含意の定義
エ (エ) ∃y(鼻ya&長y)& ∃z(牙za&長z) A
エ (オ) ∃y(鼻ya&長y) エ&E
2 エ (カ) ∃z(牙za&長z)→~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) ウオMPP
エ (キ) ∃z(牙za&長z) エ&E
2 エ (ク) ~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) カキMPP
2 エ (ケ) ∃w~(長w→鼻wa∨牙wa) ク量化子の関係
コ (コ) ~(長d→鼻da∨牙da) A
サ(サ) ~長d∨鼻da∨牙da A
サ(シ) 長d→鼻da∨牙da サ含意の定義
コサ(ス) ~(長d→鼻da∨牙da)&
(長d→鼻da∨牙da) コシ&I
コ (セ) ~(~長d∨鼻da∨牙da) サスRAA
コ (ソ) 長d&~鼻da&~牙da セ、ド・モルガンの法則
コ (シ) ~鼻da&~牙da&長d ソ交換法則
コ (ス) ∃w(~鼻wa&~牙wa&長w) シEI
2 エ (ソ) ∃w(~鼻wa&~牙wa&長w) ケコスEE
2 (タ) ∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)→∃w(~鼻wa&~牙wa&長w) エソCP
2 (チ) 象a&∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)→∃w(~鼻wa&~牙wa&長w) 8タ&I
2 (ツ)∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)} チEI
1 (テ)∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)} 12ツEE
(ⅲ)
1 (1)∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)} A
2 (2) 象a&∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)→∃w(~鼻wa&~牙wa&長w) A
2 (3) 象a 2&E
4 (4) ∃y(鼻ya&長y) A
5 (5) ∃z(牙za&長z) A
24 (6) 象a&∃y(鼻ya&長y) 34&I
245 (7) 象a&∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z) 56&I
245 (8) ∃w(~鼻wa&~牙wa&長w) 27MPP
9 (9) ~鼻da&~牙da&長d A
9 (ア) 長d&~鼻da&~牙da 9交換法則
9 (イ) ~(~長d∨鼻da∨牙da) ア、ド・モルガンの法則
ウ(ウ) 長d→鼻da∨牙da A
ウ(エ) ~長d∨鼻da∨牙da ウ含意の定義
9ウ(オ) ~(~長d∨鼻da∨牙da)&
(~長d∨鼻da∨牙da) イエ&I
9 (カ) ~(長d→鼻da∨牙da) ウオRAA
9 (キ) ∃w~(長w→鼻wa∨牙wa) カEI
245 (ク) ∃w~(長w→鼻wa∨牙wa) 89キEE
245 (ケ) ~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) ク量化子の関係
24 (コ) ∃z(牙za&長z)→~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) 5ケCP
24 (サ) ~∃z(牙za&長z)∨~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) コ含意の定義
2 (シ) ∃y(鼻ya&長y)→~∃z(牙za&長z)∨~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) 4サCP
2 (ス) ~∃y(鼻ya&長y)∨~∃z(牙za&長z)∨~∀w(長w→鼻wa∨牙wa) シ含意の定義
2 (セ) ~{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)} ス、ド・モルガンの法則
2 (ソ) 象a&~{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)} 2セ&I
2 (タ)~[~象a∨{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)}] ソ、ド・モルガンの法則
チ(チ) 象a→ ∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa) A
チ(ツ) ~象a∨{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)} チ含意の定義
2 チ(テ)~[~象a∨{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)}]&
[~象a∨{∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)}] タツ&I
2 (ト) ~{象a→ ∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)} チテRAA
2 (ナ)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w(長w→鼻wx∨牙wx)} トEI
1 (ニ)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w(長w→鼻wx∨牙wx)} 12ナEE
従って、
(02)により、
(03)
② ∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w( 長w→ 鼻wx∨牙wx)}
③ ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)}
に於いて、
②=③ である。
従って、
(01)(02)(03)より、
(04)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w( 長w→ 鼻wx∨牙wx)}
② ∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w( 長w→ 鼻wx∨牙wx)}
③ ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)}
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
②=③ である。
従って、
(04)により、
(05)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w( 長w→ 鼻wx∨牙wx)}
② ∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w( 長w→ 鼻wx∨牙wx)}
③ ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)}
に於いて、
② は、① の「否定」であり、
③ も、① の「否定」である。
従って、
(05)により、
(06)
「二重否定」により、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w( 長w→ 鼻wx∨牙wx)}
② ∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w( 長w→ 鼻wx∨牙wx)}
③ ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)}
④ ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)}
に於いて、
①=④ である。
従って、
(06)により、
(07)
「番号」を付け直すと、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w( 長w→ 鼻wx∨牙wx)}
② ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)}
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、あるzはxの牙であって、zも長く、すべてのwについて、wが長いならば、wはxの鼻であるか、または、xの牙である。
② あるxが象であって、あるyがxの鼻であって、yが長く、あるzがxの牙であって、zも長いならば、あるwがxの鼻でも、牙でもなく、尚且つ、wが長い。といふことはない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(08)
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、あるzはxの牙であって、zも長く、すべてのwについて、wが長いならば、wはxの鼻であるか、または、xの牙である。
② あるxが象であって、あるyがxの鼻であって、yが長く、あるzがxの牙であって、zも長いならば、あるwがxの鼻でも、牙でもなく、尚且つ、wが長い。といふことはない。
に於いて、
①=② である。
といふことは、
① 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
② 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
といふこと、すなはち、
① 象は、鼻と牙が長い。
② 象は、鼻と牙が長い。
といふことに、他ならない。
然るに、
(08)により、
(09)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w( 長w→ 鼻wx∨牙wx)}
② ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)→∃w(~鼻wx&~牙wx&長w)}
に於いて、
① 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
② 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
であるが故に、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z( 長z→ 鼻zx)}
② ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)}
であるならば、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
である。
然るに、
(10)
「対偶(Contraposition)」は「等しい」ため、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z( 長z→ 鼻zx)}
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
に於いて、
①=② である。
然るに、
(11)
(ⅱ)
1 (1) ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
1 (2) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 1UE
3 (3) ∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)} A
4 (4) 象a&∃y(鼻ya&長y)&∃z(~鼻za& 長z) A
4 (5) 象a 4&E
1 4 (6) ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 25MPP
1 4 (7) ∀z(~鼻za→~長z) 6&E
1 4 (8) ~鼻ba→~長b 7UE
4 (9) ∃z(~鼻za& 長z) 4&E
ア(ア) ~鼻ba& 長b A
ア(イ) ~鼻ba ア&E
1 4ア(ウ) ~長b 8イMPP
ア(エ) 長b ア&E
1 4ア(オ) ~長b&長b ウエ&I
1 4 (カ) ~長b&長b 9アオEE
13 (キ) ~長b&長b 34カEE
1 (ク)~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)} 3キRAA
(ⅲ)
1 (1)~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx&長z)} A
1 (2)∀x~{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx&長z)} 1含意の定義
1 (3) ~{象a&∃y(鼻ya&長y)&∃z(~鼻za&長z)} 2UE
1 (4) ~象a∨~∃y(鼻ya&長y)∨~∃z(~鼻za&長z) 3ド・モルガンの法則
1 (5)~象a∨{~∃y(鼻ya&長y)∨~∃z(~鼻za&長z)} 4結合法則
1 (6) 象a→ ~∃y(鼻ya&長y)∨~∃z(~鼻za&長z) 5含意の定義
7 (7) 象a A
17 (8) ~∃y(鼻ya&長y)∨~∃z(~鼻za&長z) 67MPP
17 (9) ∃y(鼻ya&長y)→~∃z(~鼻za&長z) 8含意の定義
ア (ア) ∃y(鼻ya&長y) A
17ア (イ) ~∃z(~鼻za&長z) 9アMPP
17ア (ウ) ∀z~(~鼻za&長z) イ量化子の関係
17ア (エ) ~(~鼻ba&長b) ウUE
17ア (オ) ~~鼻ba∨~長b エ、ド・モルガンの法則
17ア (カ) ~鼻ba→~長b オ含意の定義
17ア (キ) ∀z(~鼻za→~長z) カUI
17 (ク) ∃y(鼻ya&長y)→∀z(~鼻za→~長z) アキCP
1 (ケ) 象a→∃y(鼻ya&長y)→∀z(~鼻za→~長z) 7クCP
コ(コ) 象a&∃y(鼻ya&長y) A
コ(サ) 象a コ&E
コ(シ) ∃y(鼻ya&長y) コ&E
1 コ(ス) ∃y(鼻ya&長y)→∀z(~鼻za→~長z) ケサMPP
1 コ(セ) ∀z(~鼻za→~長z) シスMPP
1 コ(ソ) ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) シセ&I
1 (タ) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) サソCP
1 (チ)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} タUI
従って、
(11)により、
(12)
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
③ ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
②=③ である。
従って、
(10)(11)(12)により、
(13)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z( 長z →鼻zx)}
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
③ ~∃x{象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zが長いならば、zはxの鼻である}。
② すべてのxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない}。
③ あるxが{象であって、あるyはxの鼻であって、yが長く、あるzがxの鼻でなくて、zが長い。}といふことはない。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(14)
① すべてのxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zが長いならば、zはxの鼻である}。
② すべてのxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない}。
③ あるxが{象であって、あるyはxの鼻であって、yが長く、あるzがxの鼻でなくて、zが長い。}といふことはない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことに、他ならない。
然るに、
(15)
①{象の鼻、象の鼻以外}に於いて、
①{象の鼻} は長く、
①{象の鼻以外}は長くない。
といふことは、
① 象は、鼻が長い。
といふことに、他ならない。
従って、
(01)~(16)により、
(17)
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻と牙が長い。
といふ「日本語」は、例へば、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w[~(鼻wx∨牙wx)→~長w]}。
といふ「述語論理」に、相当する。
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