（426）「象は鼻と牙が長い」の「述語論理」。

（01）
「量化子の関係」により、
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① である。
然るに、
（02）
（ⅱ）
１　　　　　（１）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝　　Ａ
　２　　　　（２）　　～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝　　Ａ
　　３　　　（３）　　～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝　　Ａ
　　３　　　（４）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　　３含意の定義
　２３　　　（５）　　～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝　　２４＆Ｉ
　２　　　　（６）～［～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝］　３５ＲＡＡ
　２　　　　（７）　　象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝　　６ド・モルガンの法則
　２　　　　（８）　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　２　　　　（９）　　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆　∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝　７＆Ｅ
　２　　　　（ア）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　９ド・モルガンの法則
　２　　　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　ア含意の定義
　２　　　　（ウ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　イ含意の定義
　　　エ　　（エ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　エ　　（オ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
　２　エ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　ウオＭＰＰ
　　　エ　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
　２　エ　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　カキＭＰＰ
　２　エ　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｗ～（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　ク量化子の関係
　　　　コ　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ）　　Ａ
　　　　　サ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ　　　Ａ
　　　　　サ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ　　　サ含意の定義
　　　　コサ（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ）＆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ）　　コシ＆Ｉ
　　　　コ　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ）　　サスＲＡＡ
　　　　コ　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｄ＆～鼻ｄａ＆～牙ｄａ　　　セ、ド・モルガンの法則
　　　　コ　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｄａ＆～牙ｄａ＆長ｄ　　　ソ交換法則
　　　　コ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ）　　シＥＩ
　２　エ　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ）　　ケコスＥＥ
　２　　　　（タ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ）　　エソＣＰ
　２　　　　（チ）　　　象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ）　　８タ＆Ｉ
　２　　　　（ツ）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝　チＥＩ
１　　　　　（テ）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝　１２ツＥＥ
（ⅲ）
１　　　　　（１）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝　Ａ
　２　　　　（２）　　　象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ）　　Ａ
　２　　　  （３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４　　　（４）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　
　２４　　　（６）　　　象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３４＆Ｉ
　２４５　　（７）　　　象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５６＆Ｉ
　２４５　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｗ（～鼻ｗａ＆～牙ｗａ＆長ｗ）　　２７ＭＰＰ
　　　　９　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｄａ＆～牙ｄａ＆長ｄ　　　Ａ
　　　　９　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｄ＆～鼻ｄａ＆～牙ｄａ　　　９交換法則
　　　　９　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ）　　ア、ド・モルガンの法則
　　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ　　　Ａ
　　　　　ウ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ　　　ウ含意の定義
　　　　９ウ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～長ｄ∨鼻ｄａ∨牙ｄａ）　　イエ＆Ｉ
　　　　９　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（長ｄ→鼻ｄａ∨牙ｄａ）　　ウオＲＡＡ
　　　　９　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｗ～（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　カＥＩ
　２４５　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｗ～（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　８９キＥＥ
　２４５　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　ク量化子の関係
　２４　　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）→～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　５ケＣＰ
　２４　　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　コ含意の定義
　２　　　　（シ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　４サＣＰ
　２　　　　（ス）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）∨～∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　シ含意の定義
　２　　　　（セ）　　　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝　ス、ド・モルガンの法則
　２　　　　（ソ）　　　象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝　２セ＆Ｉ
　２　　　　（タ）～［～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝］　ソ、ド・モルガンの法則　
　　　　　チ（チ）　　　象ａ→　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）　　　Ａ
　　　　　チ（ツ）　　～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝　　チ含意の定義
　２　　　チ（テ）～［～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝］＆
　　　　　　　　　　［～象ａ∨｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝］　タツ＆Ｉ
　２　　　　（ト）　～｛象ａ→　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ）｝　　チテＲＡＡ
　２　　　　（ナ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝　　トＥＩ
１　　　　　（ニ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝　　１２ナＥＥ
従って、
（02）により、
（03）
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（　長ｗ→　鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
③ 　∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）（03）より、
（04）
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（　長ｗ→　鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（　長ｗ→　鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
③ 　∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（　長ｗ→　鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（　長ｗ→　鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
③ 　∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
② は、① の「否定」であり、
③ も、① の「否定」である。
従って、
（05）により、
（06）
「二重否定」により、
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（　長ｗ→　鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（　長ｗ→　鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
③ 　∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を付け直すと、
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（　長ｗ→　鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚはｘの牙であって、ｚも長く、すべてのｗについて、ｗが長いならば、ｗはｘの鼻であるか、または、ｘの牙である。
② あるｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、あるｚがｘの牙であって、ｚも長いならば、あるｗがｘの鼻でも、牙でもなく、尚且つ、ｗが長い。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚはｘの牙であって、ｚも長く、すべてのｗについて、ｗが長いならば、ｗはｘの鼻であるか、または、ｘの牙である。
② あるｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、あるｚがｘの牙であって、ｚも長いならば、あるｗがｘの鼻でも、牙でもなく、尚且つ、ｗが長い。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
② 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
といふこと、すなはち、
① 象は、鼻と牙が長い。
② 象は、鼻と牙が長い。
といふことに、他ならない。
然るに、
（08）により、
（09）
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（　長ｗ→　鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）→∃ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ＆長ｗ）｝
に於いて、
① 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
② 象は、鼻と牙は長く、鼻と牙以外は長くない。
であるが故に、
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（　長ｚ→　鼻ｚｘ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
であるならば、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
である。
然るに、
（10）
「対偶（Contraposition）」は「等しい」ため、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（　長ｚ→　鼻ｚｘ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　　（２）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　３　　（３）　∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　Ａ
　　４　（４）　　　　象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　Ａ
　　４　（５）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１　４　（６）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　２５ＭＰＰ
１　４　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　６＆Ｅ
１　４　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　７ＵＥ
　　４　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　４＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　Ａ
　　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　　ア＆Ｅ
１　４ア（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　８イＭＰＰ
　　　ア（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　ア＆Ｅ
１　４ア（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　ウエ＆Ｉ
１　４　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　９アオＥＥ
１３　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　３４カＥＥ
１　　　（ク）～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　３キＲＡＡ
（ⅲ）
１　　　（１）～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　Ａ
１　　　（２）∀ｘ～｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　１含意の定義
１　　　（３）　　～｛象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）｝　２ＵＥ
１　　　（４）　～象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　３ド・モルガンの法則
１　　　（５）～象ａ∨｛～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）｝　４結合法則
１　　　（６）　象ａ→　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　５含意の定義
　７　　（７）　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１７　　（８）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　６７ＭＰＰ
１７　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　８含意の定義
　　ア　（ア）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１７ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　９アＭＰＰ
１７ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ～（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　イ量化子の関係
１７ア　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ＆長ｂ）　　ウＵＥ
１７ア　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　エ、ド・モルガンの法則
１７ア　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　オ含意の定義
１７ア　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　カＵＩ
１７　　（ク）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　アキＣＰ
１　　　（ケ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　７クＣＰ
　　　コ（コ）　　　象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　コ（サ）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コ＆Ｅ
　　　コ（シ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　コ＆Ｅ
１　　コ（ス）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ケサＭＰＰ
１　　コ（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　シスＭＰＰ
１　　コ（ソ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　シセ＆Ｉ
１　　　（タ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　サソＣＰ
１　　　（チ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　タＵＩ
従って、
（11）により、
（12）
②   ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆  長ｚ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（　長ｚ　→鼻ｚｘ）｝
② 　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆  長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚが長いならば、ｚはｘの鼻である｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
③ あるｘが｛象であって、あるｙはｘの鼻であって、ｙが長く、あるｚがｘの鼻でなくて、ｚが長い。｝といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（14）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚが長いならば、ｚはｘの鼻である｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
③ あるｘが｛象であって、あるｙはｘの鼻であって、ｙが長く、あるｚがｘの鼻でなくて、ｚが長い。｝といふことはない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことに、他ならない。
然るに、
（15）
①｛象の鼻、象の鼻以外｝に於いて、
①｛象の鼻｝　　は長く、
①｛象の鼻以外｝は長くない。
といふことは、
① 象は、鼻が長い。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（16）により、
（17）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻と牙が長い。
といふ「日本語」は、例へば、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ［～（鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）→～長ｗ］｝。
といふ「述語論理」に、相当する。