（415）「馬には動物の頭がある」の「述語論理」。

（01）
１　　　（１）　　　∀ｘ｛動物ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ）｝　Ａ
　２　　（２）　　　∀ｘ（馬ｘ→動物ｘ）　　　　　　Ａ
１　　　（３）　　　　　　動物ａ→∃ｙ（頭ｙａ）　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　　　　馬ａ→動物ａ　　　　　　　２ＵＥ
　　５　（５）　　　　　　馬ａ　　　　　　　　　　　Ａ
　２５　（６）　　　　　　　　　動物ａ　　　　　　　４５ＭＰＰ
１２５　（７）　　　　　　　　　　∃ｙ（頭ｙａ）　　３６ＭＰＰ
　　　８（８）　　　　　　　　　　　　　頭ｂａ　　　Ａ
　２５８（９）　　　　　　　　　頭ｂａ＆動物ａ　　　６８＆Ｉ
　２５８（ア）　　　　　　∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ）　　９ＥＩ
１２５　（イ）　　　　　　∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ）　　７８ＥＥ
１２　　（ウ）　　　馬ａ→∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ）　　５イＣＰ
１２　　（エ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ＆動物ｘ）｝　ウＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（１）すべてのｘについて、ｘが動物であるならば、あるｙはｘの頭である。然るに、
（２）すべてのｘについて、ｘが馬ならば、ｘは動物である。従って、
（エ）すべてのｘについて、ｘが馬ならば、あるｙはｘの頭であって、ｘは動物である。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（１）すべての動物には頭がある。然るに。
（２）すべての馬は動物である。故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（04）
「何々の」というのも重視したいものである。
すべての馬が動物であれば、馬の頭はすべて動物の頭である。（ド・モルガンの例）
というようなのに備えて、「何々の」に対しても敏感であることが望ましい。
以上のように、条件分で道理を表わすことわざで了解事項となるものは、ガノニヲの範囲である。
（三上章、日本語の論理、1963年、３８頁）
（05）
ド・モルガンが、明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のわくぐみのなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名なまた簡単な論証がある。
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（E.J.ﾚﾓﾝ 著、竹尾治一郎・浅野楢英、論理学初歩、1973年、１６７頁）
There is a famous and simple argument, cited by de Morgan as an example of a kind of reasoning which, though patently sound, could not be handled within the framework of traditional logic. It runs
（１）All horses are animals; therefore all horses' heads are animals' head.
（E.J.Lemmon, Beginning Logic、2002年、第10版、P131）
１２３　∀ｘ（馬ｘ→動物ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動物ｙ＆頭ｘｙ）｝
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動物ｘ）　　 　　　　　　　　　　　 Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ｂｙ）　 　　　　　　　　　　　　 Ａ
　　３（３）　　　　　　馬ａ＆頭ｂａ　　　　　　　　　　　　　 　 Ａ
　　３（４）　　　　　　馬ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　　　　　　　頭ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　馬ａ→動物ａ　　　 　　　　　　　　　　　 １ＵＥ
１　３（７）　　　　　　　　　動物ａ　　　　　　　　　　　　　　　４６ＭＰＰ
１　３（８）　　　　　　　　　動物ａ＆頭ｂａ　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ
１　３（９）　　　　　　∃ｙ（動物ｙ＆頭ｙａ）　　　　　　　　　　８ＥＩ
１２　（ア）　　　　　　∃ｙ（動物ｙ＆頭ｙａ）　　　　　　　　　　２３９ＥＥ
１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ｂｙ）→∃ｙ（動物ｙ＆頭ｂｙ）　　２アＣＰ１　　
１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動物ｙ＆頭ｘｙ）｝　イＵＩ
（E.J.ﾚﾓﾝ 著、竹尾治一郎・浅野楢英、論理学初歩、1973年、１６７頁改）
従って、
（05）により、
（06）
（１）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、ｘは動物である。然るに、
（２）あるｙは馬であって、任意のｂはｙの頭である。従って、
（ウ）すべてのｘについて、あるｙが馬であって、ｘがｙの頭であるならば、あるｙは動物であって、ｘはｙの頭である。
（〃）すべてのｘについて、あるｙが馬であって、ｘが馬（ｙ）の頭であるならば、ある馬（ｙ）は動物であって、ｘは動物（ｙ）の頭である。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
（１）すべての馬は動物である。然るに、
（２）ある馬には頭がある。従って、
（ウ）すべての馬の頭は動物の頭である。
といふ「推論」は「妥当」である。
（08）
１　　　（１）　　　　∀ｘ（馬ｘ→動物ｘ）　　 　　 Ａ
　２　　（２）　　　　∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ）｝　Ａ
１　　　（３）　　　　　　　馬ａ→動物ａ　　　　　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　　　　　馬ａ→∃ｙ（頭ｙａ）　　２ＵＥ
　　５　（５）　　　　　　　馬ａ　　　　　　　　　　Ａ
１　５　（６）　　　　　　　　　　動物ａ　　　　　　３５ＭＰＰ
　２５　（７）　　　　　　　　　　∃ｙ（頭ｙａ）　　４５ＭＰＰ
　　　８（８）　　　　　　　　　　　　　頭ｂａ　　　７ＵＥ
１　５８（９）　　　　　　　　　頭ｂａ＆動物ａ　　　６８＆Ｉ
１　５８（ア）　　　　　　∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ）　　９ＥＩ
１２５　（イ）　　　　　　∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ）　　７８ＥＥ
１２　　（ウ）　　　馬ａ→∃ｙ（頭ｙａ＆動物ａ）　　５イＣＰ
１２　　（エ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ＆動物ｘ）｝　ウＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
（１）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、ｘは動物である。然るに、
（２）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、あるｙはｘの頭である。従って、
（エ）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、あるｙはｘの頭であって、ｘは動物である。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（09）により、
（10）
（１）すべての馬は動物ある。然るに。
（２）すべての馬には頭がある。故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」も「妥当」である。
従って、
（03）（10）により、
（11）
（１）すべての動物には頭がある。然るに。
（２）すべての馬は動物である。　故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」も、
（１）すべての馬は動物ある。然るに。
（２）すべての馬には頭がある。故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」も「妥当」である。
従って、
（11）により、
（12）
（１）すべての動物には頭がある。
といふ「仮定」を行はなくとも、
（１）すべての馬が、動物であって、
（２）すべての馬に頭があるならば、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
従って、
（12）により、
（13）
（１）すべての動物には頭がある。
といふ「命題」が「真（本当）」でなくとも、
（１）すべての馬は動物ある。然るに、
（２）すべての馬には頭がある。故に、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
（１）仮に、頭が無い動物がゐたとしても、
（１）すべての馬が、動物であって、
（２）すべての馬に頭があるならば、
（エ）すべての馬には動物の頭がある。
然るに、
（15）
（１）頭が無い動物がゐる。
といふことは、「常識」としては、有り得ない。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「非常識でない」といふことと、「論理的に正しい」ことは「同じ」ではない。
従って、
（17）
「論理的な正しさ」とは、「形式として正しさ」であって、「命題（の内容）の正しさ」ではない。