（01）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
１ （８） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ∨ Ｑ）≡Ｐが「真（本当）」であるか、Ｑが「真（本当）」である。といふことはない。
② ～Ｐ＆～Ｑ ≡Ｐは「偽（ウソ）」であり、 Ｑも「偽（ウソ）」である。
に於いて、
①＝② であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則（Ⅰ）」とする。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７Ｕ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
③ ～（ Ｐ＆ Ｑ）≡ＰとＱの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
④ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
に於いて、
③＝④ であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則（Ⅱ）」とする。
然るに、
（05）
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆ Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆ Ｑ）＆
（Ｐ＆ Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
１ （ク） Ｐ→～Ｑ ウキＣＰ
（ⅴ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～Ｐ ２６ＲＡＡ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
④ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑤ Ｐ→～Ｑ ≡Ｐが「真（本当）」であるならば、Ｑは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
③ ～（ Ｐ＆ Ｑ）≡ＰとＱの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
④ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑤ Ｐ→～Ｑ ≡Ｐが「真（本当）」であるならば、Ｑは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（07）により、
（08）
⑥ ～（ Ｑ＆ Ｐ）≡ＱとＰの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
⑦ ～Ｑ∨～Ｐ ≡ＱとＰの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑧ Ｑ→～Ｐ ≡Ｑが「真（本当）」であるならば、Ｐは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ ～（ Ｐ＆ Ｑ）≡ＰとＱの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
⑥ ～（ Ｑ＆ Ｐ）≡ＱとＰの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
④ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑦ ～Ｑ∨～Ｐ ≡ＱとＰの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
⑤ Ｐ→～Ｑ ≡Ｐが「真（本当）」であるならば、Ｑは「偽（ウソ）」である。
⑧ Ｑ→～Ｐ ≡Ｑが「真（本当）」であるならば、Ｐは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
③＝⑥＝④＝⑦＝⑤＝⑧ である。
然るに、
（10）
「二重否定」により、
～～Ｑ＝Ｑ である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
⑤ Ｐ→～Ｑ≡Ｐが「真（本当）」であるならば、Ｑは「偽（ウソ）」である。
⑧ Ｑ→～Ｐ≡Ｑが「真（本当）」であるならば、Ｐは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入」を行ふと、
⑤ Ｐ→ Ｑ≡ Ｐが「真（本当）」であるならば、～Ｑは「偽（ウソ）」である。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡～Ｑが「真（本当）」であるならば、 Ｐは「偽（ウソ）」である。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
然るに、
（12）
Ｐ≡Ｐである。
～Ｑ≡Ｑでない。
従って、
（11）（12）により。
（13）
⑤ Ｐ→ Ｑ≡「Ｐである」が「真（本当）」であるならば、「Ｑでない」は「偽（ウソ）」である。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡「Ｑでない」が「真（本当）」であるならば、「Ｐである」は「偽（ウソ）」である。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
然るに、
（14）
⑤「Ｐである」は「真（本当）」≡「Ｐである」
⑧「Ｑでない」は「真（本当）」≡「Ｑでない」
（15）
⑤「Ｑでない」は「偽（ウソ）」≡「Ｑである」
⑧「Ｐである」は「偽（ウソ）」≡「Ｐでない」
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
⑤ Ｐ→ Ｑ≡「Ｐである」ならば「Ｑである」。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡「Ｑでない」ならば「Ｐでない」。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
然るに、
（17）
⑤ Ｐ→ Ｑ≡「Ｐである」ならば「Ｑである」。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡「Ｑでない」ならば「Ｐでない」。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
といふことは、「対偶（Contraposition）」に、他ならない。
従って、
（03）～（17）により、
（18）
③ ～（ Ｐ＆ Ｑ）≡ＰとＱの、両方とも「真（本当）」である。といふことはない。
④ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ＰとＱの、少なくとも一方は「偽（ウソ）」である。
に於いて、
③＝④ である。
といふ「ド・モルガンの法則（Ⅱ）」が、成り立つが故に、
⑤ Ｐ→ Ｑ≡「Ｐである」ならば「Ｑである」。
⑧ ～Ｑ→～Ｐ≡「Ｑでない」ならば「Ｐでない」。
に於いて、
⑤＝⑧ である。
といふ「対偶」が成り立つ。