（403）「ＡとＢの積集合が空集合である」場合の「命題論理」の「謎」。

（01）
① 　　Ａ→　Ｂ　＆　～Ａ→～Ｂ
② 　　Ａ→　Ｂ　＆　　Ｂ→　Ａ　：対偶
③ ～（Ａ＆～Ｂ）＆～（Ｂ＆～Ａ）：条件法の法則
④ （～Ａ∨  Ｂ）＆（～Ｂ∨  Ａ）：ド・モルガンの法則
に於いて、すなはち、
① ＡであるならばＢであって、ＡでないならばＢでない。
② ＡであるならばＢであって、ＢであるならばＡである。
③ Ａであって、　Ｂでない。といふことはなく、Ｂであって、Ａでない。といふことはない。
④ Ａでないか　　Ｂであり、　Ｂでないか、Ａである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（02）
② Ａ→Ｂ＆Ｂ→Ａ
② ＡであるならばＢであって、ＢであるならばＡである。
として、「ＡとＢが集合」であるならば、
② 集合Ａと集合Ｂは等しい。
従って、
（01）（02）により、
（03）
④（～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨Ａ）
④ ＡでないかＢであり、ＢでないかＡである。
として、「ＡとＢが集合」であるならば、
④ 集合Ａと集合Ｂは等しい。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「番号」を付け直すと、
①    Ａ→Ｂ　＆　　Ｂ→Ａ  ⇔ 集合Ａと集合Ｂは等しい。
②（～Ａ∨Ｂ）＆（～Ｂ∨Ａ）⇔ 集合Ａと集合Ｂは等しい。
従って、
（04）により、
（05）
①   　  ～（Ａ→Ｂ＆Ｂ→Ａ）　    ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
② ～｛（～Ａ∨Ｂ）＆（～Ｂ∨Ａ）｝⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１　　　（１）～｛（～Ａ∨Ｂ）＆　（～Ｂ∨Ａ）｝　Ａ
１　　　（２）　～（～Ａ∨Ｂ）∨～（～Ｂ∨Ａ）　　１ド・モルガンの法則
　３　　（３）　～（～Ａ∨Ｂ）　　　　　　　　　　Ａ
　３　　（４）　　　Ａ＆～Ｂ　　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）　　（Ａ＆～Ｂ）∨　（Ｂ＆～Ａ）　　４∨Ｉ
　　６　（６）　　　　　　　　　～（～Ｂ∨Ａ）　　Ａ
　　６　（７）　　　　　　　　　　　Ｂ＆～Ａ　　　６ド・モルガンの法則　　　
　　６　（８）　　（Ａ＆～Ｂ）∨　（Ｂ＆～Ａ）　　７∨Ｉ
１　　　（９）　　（Ａ＆～Ｂ）∨　（Ｂ＆～Ａ）　　２３５６８∨Ｉ
（ⅲ）
１　　　（１）　　（Ａ＆～Ｂ）∨　（Ｂ＆～Ａ）　　Ａ
　２　　（２）　　（～Ａ∨Ｂ）＆　（～Ｂ∨Ａ）　　Ａ
　　３　（３）　　　Ａ＆～Ｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　～Ａ∨Ｂ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（５）　　　　Ａ→Ｂ　　　　　　　　　　　４含意の定義
　　３　（６）　　　　Ａ　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　２３　（７）　　　　　　Ｂ　　　　　　　　　　　５６ＭＰＰ
　　３　（８）　　　　　～Ｂ　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　２３　（９）　　　Ｂ＆～Ｂ　　　　　　　　　　　７８＆Ｉ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　Ｂ＆～Ａ　　　Ａ
　２　　（イ）　　　　　　　　　　　～Ｂ∨Ａ　　　２＆Ｅ
　２　　（ウ）　　　　　　　　　　　　Ｂ→Ａ　　　イ含意の定義
　　　ア（エ）　　　　　　　　　　　　　～Ａ　　　ア＆Ｅ
　２　ア（オ）　　　　　　　　　　　～Ｂ　　　　　ウエＭＴＴ
　　　ア（カ）　　　　　　　　　　　Ｂ　　　　　　ア＆Ｅ
　２　ア（キ）　　　　　　　　　　　Ｂ＆～Ｂ　　　オカ＆Ｉ
１２　　（ク）　　　Ｂ＆～Ｂ　　　　　　　　　　　１３９アキ∨Ｅ
１　　　（ケ）～｛（～Ａ∨Ｂ）＆　（～Ｂ∨Ａ）｝　２クＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
② ～｛（～Ａ∨　Ｂ）＆（～Ｂ∨　Ａ）｝
③     （　Ａ＆～Ｂ）∨（　Ｂ＆～Ａ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
①     ～（Ａ→　Ｂ　＆　　Ｂ→　Ａ）　⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
② ～｛（～Ａ∨　Ｂ）＆（～Ｂ∨　Ａ）｝⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
③     （　Ａ＆～Ｂ）∨（　Ｂ＆～Ａ）　⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
然るに、
（09）
「集合Ａと集合Ｂの和集合」＝
「Ａの要素であってＢの要素でない要素からなる集合（Ａ＆～Ｂ）」＋
「Ａの要素であってＢの要素である要素からなる集合（Ａ＆　Ｂ）」＋
「Ｂの要素であってＡの要素でない要素からなる集合（Ｂ＆～Ａ）」。
従って、
（09）により、
（10）
「集合Ａと集合Ｂの和集合」＝
「Ａの要素であってＢの要素でない要素からなる集合（Ａ＆～Ｂ）」∨
「Ａの要素であってＢの要素である要素からなる集合（Ａ＆　Ｂ）」∨
「Ｂの要素であってＡの要素でない要素からなる集合（Ｂ＆～Ａ）」。
に於いて、
「Ａの要素であってＢの要素である要素からなる集合（Ａ＆　Ｂ）」が、
「空集合（φ）」であるならば、
「集合Ａと集合Ｂの和集合」＝
「Ａの要素であってＢの要素でない要素からなる集合（Ａ＆～Ｂ）」∨
「Ｂの要素であってＡの要素でない要素からなる集合（Ｂ＆～Ａ）」。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
①     ～（Ａ→　Ｂ　＆　　Ｂ→　Ａ）　 ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
② ～｛（～Ａ∨　Ｂ）＆（～Ｂ∨　Ａ）｝ ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
③     （　Ａ＆～Ｂ）∨（　Ｂ＆～Ａ）　 ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
④「集合Ａと集合Ｂの積集合が、空集合。」⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
従って、
（11）により、
（12）
「集合Ａと集合Ｂが等しくない。」といふことと、
「集合Ａと集合Ｂの積集合が、空集合である。」といふことは、「同じ」である。
然るに、
（13）

（高等学校数学A/集合と論理）
に於いて、
「ｘが、Ａの要素であって、Ｂの要素である。」ならば、
「集合Ａと集合Ｂの積集合は、空集合ではなく」、尚且つ、「集合Ａと集合Ｂは、同じではない。」
従って、
（12）（13）により、
（14）
「集合Ａと集合Ｂが等しくない。」といふことと、
「集合Ａと集合Ｂの積集合が、空集合である。」といふことは、「同じ」であって、尚且つ、「同じ」ではない。
従って、
（15）
（01）～（12）と（13）は、「矛盾」するものの、私には、どうしてさうなるのかが、分からない。