日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(273)「象が存在しない」ならば「すべての象は動物である。」といふ「命題」は「真」である(Ⅲ)。

2019-06-22 16:53:15 | 論理

(01)
(ⅰ)
1  (1)∀x(象x→ 動物x) A
1  (2)   象a→ 動物a  A
 3 (3)   象a&~動物a  A
  3 (4)   象a       3&E
 3 (5)      ~動物a  3&E
13 (6)       動物a  24MPP
13 (7)  ~動物a&動物a  56&I
1  (8) ~(象a&~動物a)  37RAA
1  (9) ~象a∨~~動物a  8ド・モルガンの法則
1  (ア)   ~象a∨動物a  9DN
1  (イ)∀x(~象x∨動物x) アUI
(ⅱ)
1     (1)∀x(~象x∨ 動物x)  A
1     (2)   ~象a∨ 動物a   1UE
 3    (3)    象a&~動物a   A
  4   (4)   ~象a        A
 3    (5)    象a        3&E
 34   (6)   ~象a&象a     45&I
  4   (7)  ~(象a&~動物a)  36RAA
   8  (8)        動物a   A
 3    (9)       ~動物a   3&E
 3 8  (ア)   動物a&~動物a   89&I
   8  (イ)  ~(象a&~動物a)  3アRAA
1     (ウ)  ~(象a&~動物a)  2478イ∨E
    エ (エ)    象a        A
     オ(オ)       ~動物a   A
    エオ(カ)    象a&~動物a   エカ&I
1   エオ(キ)  ~(象a&~動物a)&
            (象a&~動物a)  ウカ&I
1   エ (ク)      ~~動物a   オキRAA
1   エ (ケ)        動物a   クDN
1     (コ)    象a→ 動物a   エケCP
1     (サ) ∀x(象x→ 動物x)  コUI
従って、
(01)により、
(02)
①   ∀x(象x→ 動物x)
②  ∀x(~象x∨動物x)
に於いて、
①=② である。
(03)
(ⅰ)
1  (1) ∀x(象x→ 動物x) A
 2 (2) ∃x(象x&~動物x) A
1  (3)    象a→ 動物a  1UE
  4(4)    象a&~動物a  A
  4(5)    象a       4&E
  4(6)       ~動物a  4&E
1 4(7)        動物a  35MPP
1 4(8)   ~動物a&動物a  67&I
12 (9)   ~動物a&動物a  248EE
1  (ア)~∃x(象x&~動物x) 29RAA
(ⅲ)
1  (1)~∃x(象x&~動物x) A
1  (2)∀x~(象x&~動物x) 1量化子の関係
1  (3)  ~(象a&~動物a) 2UE
1  (4)  ~象a∨~~動物a  3ド・モルガンの法則
1  (5)   ~象a∨ 動物a  4DN
1  (6)    象a→ 動物a  5含意の定義
1  (7) ∀x(象x→ 動物x) 6UI
従って、
(03)により、
(04)
①   ∀x(象x→ 動物x)
③ ~∃x(象x&~動物x)
に於いて、
①=③ である。
従って、
(02)(04)により。
(05)
①   ∀x(象x→ 動物x)=すべてのxについて、xが象ならば、xは動物である。
②  ∀x(~象x∨動物x)=すべてのxについて、xは象でなくて動物でないか、xは動物であって象であるか、xは象でなくて動物である。
③ ~∃x(象x&~動物x)=あるxが、象であって、動物でない。といふことはない。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(06)
① ∀x(象x→ 動物x)=すべてのxについて、xが象ならば、xは動物である。
といふことは、
① すべての象は動物である=象であるxは、すべて、動物である。
といふことである。
従って、
(05)(06)により、
(07)
①   ∀x(象x→ 動物x)=すべての象は動物である。
②  ∀x(~象x∨動物x)=すべての象は動物である。
③ ~∃x(象x&~動物x)=すべての象は動物である。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(08)
{xの変域}={a、b、c} であるとして、
①   ∀x(象x→ 動物x)=  ( 象a→動物a)&( 象b→動物b)&( 象c→動物c)。
②   ∀x(~象x∨動物x)=  (~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)。
③ ~∃x(象x&~動物x)=~{(象a&~動物a)∨(象b&~動物b)∨(象c&~動物c)}。
といふ風に書くこと出来る。
然るに、
(09)
③ ~{(象a&~動物a)∨(象b&~動物b)&(象c&~動物c)}
③ ~(象a&~動物a)&~(象b&~動物b)&~(象c&~動物c)    ド・モルガンの法則
③ (~象a∨~~動物a)&(~象b∨~~動物b)&(~象c∨~~動物c) ド・モルガンの法則
③ (~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)       二重否定
従って、
(08)(09)により、
(10)
③ ~∃x(象x&~動物x)= (~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)
従って、
(08)(10)により、
(11)
①   ∀x(象x→ 動物x)=( 象a→動物a)&( 象b→動物b)&( 象c→動物c)。
②   ∀x(~象x∨動物x)=(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)。
③ ~∃x(象x&~動物x)=(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)。
従って、
(02)(11)により、
(13)
①   ∀x(象x→ 動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
②   ∀x(~象x∨動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
③ ~∃x(象x&~動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
然るに、
(14)
③ ~{(象a&~動物a)∨(象b&~動物b)∨(象c&~動物c)}=~∃x(象x&~動物x)。
の場合は、
③   (象a&~動物a)∨(象b&~動物b)∨(象c&~動物c)
の内の、「1つでも本当」であるならば、
③ ~{(象a&~動物a)∨(象b&~動物b)∨(象c&~動物c)}=~∃x(象x&~動物x)。
は、「全体」として、「偽(ウソ)」である。
従って、
(13)(14)により、
(15)
①   ∀x(象x→ 動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
②   ∀x(~象x∨動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
③ ~∃x(象x&~動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
の場合は、
③   (象a&~動物a)か、(象b&~動物b)か、(象c&~動物c)。
の内の、「1つでも本当(真)」であるならば、
①   ∀x(象x→ 動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
②   ∀x(~象x∨動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
③ ~∃x(象x&~動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
は、「全体」として、「偽(ウソ)」である。
従って、
(16)
①   ∀x(象x→ 動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
②   ∀x(~象x∨動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
③ ~∃x(象x&~動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
が「真(本当)」であるならば、
①(象a&~動物a)=aは象であるが、動物ではない。
②(象b&~動物b)=bは象であるが、動物ではない。
③(象c&~動物c)=cは象であるが、動物ではない。
といふ「それ」は、「3つ」とも、「偽(ウソ)」でなければ、ならない。
従って、
(16)により、
(17)
①   ∀x(象x→ 動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
②   ∀x(~象x∨動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
③ ~∃x(象x&~動物x)=(象a→動物a)&(象b→動物b)&(象c→動物c)。
が「真(本当)」であるならば、
①(象a&動物a)=aは象であって、動物である。
②(象b&動物b)=bは象であるが、動物である。
③(象c~動物c)=cは象であるが、動物である。
といふ「それ」が、「3つ」とも、「真(本当)」でなければ、ならない。
然るに、
(02)(04)(17)により、
(18)
①   ∀x(象x→ 動物x)=(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)。
②   ∀x(~象x∨動物x)=(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)。
③ ~∃x(象x&~動物x)=(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)。
の場合は、「先の記事」でも示した通り、
② ∀x(~象x)=すべてのxは象ではない(象は一頭もゐない)。
といふ「命題」が「真(本当)」であるならば、それだけで、「真(本当)」でなければ、ならない。
(19)
② aは象ではない=~象a。
が、「本当(真)」」であるならば、
② aは象ではないかaは動物である=~象a∨動物a
も、「本当(真)」である。
cf.
選言導入の規則(∨I)。
然るに、
(02)により、
(20)
① aが象であるならば、aは動物である= 象a→動物a
② aは象ではないかaは動物である  =~象a∨動物a
に於いて、
①=② である。
従って、
(19)(20)により、
(21)
② aは象ではない=~象a。
が、「本当(真)」であるならば、必然的に、
① aが象であるならば、aは動物である=象a→動物a
も、「本当(真)」である。
従って、
(07)(21)により、
(22)
{xの変域}={a、b、c} であるとして、
① aは象ではない=~象a。
② bは象ではない=~象b。
③ cは象ではない=~象c。
が、「本当(真)」であるならば、必然的に、
① ∀x( 象x→動物x)=すべての象は動物である。
② ∀x(~象x∨動物x)=すべての象は動物である。
といふ「命題」も、「本当(真)」である。
然るに、
(23)
{xの変域}={a、b、c} であるとして、
① aは象ではない=~象a。
② bは象ではない=~象b。
③ cは象ではない=~象c。
が、「本当(真)」であるといふことは、
① 象は一頭もゐない=∀x(象x)=すべてxは象ではない。
といふ、ことである。
従って、
(22)(23)により、
(24)
「先の記事(令和元年06月22日)」でも、示した通り、
① 象が一頭もゐないのであれば、すべての象は動物である。
といふ「命題」は、「本当(真)」である。


(272)「象が存在しない」ならば「すべての象は動物である。」といふ「命題」は「真」である(Ⅱ)。

2019-06-22 11:48:53 | 論理

(01)
(ⅰ)
1  (1)∀x(象x→ 動物x) A
1  (2)   象a→ 動物a  A
 3 (3)   象a&~動物a  A
 3 (4)   象a       3&E
 3 (5)      ~動物a  3&E
13 (6)       動物a  24MPP
13 (7)   ~動a&動物a  56&I
1  (8) ~(象a&~動物a)  37RAA
1  (9) ~象a∨~~動物a  8ド・モルガンの法則
1  (ア)   ~象a∨動物a  9DN
1  (イ)∀x(~象x∨動物x) アUI
(ⅱ)
1     (1)∀x(~象x∨ 動物x)  A
1     (2)   ~象a∨ 動物a   1UE
 3    (3)    象a&~動物a   A
  4   (4)   ~象a        A
 3    (5)    象a        3&E
 34   (6)   ~象a&象a     45&I
  4   (7)  ~(象a&~動物a)  36RAA
   8  (8)        動物a   A
 3    (9)       ~動物a   3&E
 3 8  (ア)   動物a&~動物a   89&I
   8  (イ)  ~(象a&~動物a)  3アRAA
1     (ウ)  ~(象a&~動物a)  2478イ∨E
    エ (エ)    象a        A
     オ(オ)       ~動物a   A
    エオ(カ)    象a&~動物a   エカ&I
1   エオ(キ)  ~(象a&~動物a)&
            (象a&~動物a)  ウカ&I
1   エ (ク)      ~~動物a   オキRAA
1   エ (ケ)        動物a   クDN
1     (コ)    象a→ 動物a   エケCP
1     (サ) ∀x(象x→ 動物x)  コUI
従って、
(01)により、
(02)
①   ∀x(象x→ 動物x)
②  ∀x(~象x∨動物x)
に於いて、
①=② である。
(03)
(ⅰ)
1  (1) ∀x(象x→ 動物x) A
 2 (2) ∃x(象x&~動物x) A
1  (3)    象a→ 動物a  1UE
  4(4)    象a&~動物a  A
  4(5)    象a       4&E
  4(6)       ~動物a  4&E
1 4(7)        動物a  35MPP
1 4(8)   ~動物a&動物a  67&I
12 (9)   ~動物a&動物a  248EE
1  (ア)~∃x(象x&~動物x) 29RAA
(ⅲ)
1  (1)~∃x(象x&~動物x) A
1  (2)∀x~(象x&~動物x) 1量化子の関係
1  (3)  ~(象a&~動物a) 2UE
1  (4)  ~象a∨~~動物a  3ド・モルガンの法則
1  (5)   ~象a∨ 動物a  4DN
1  (6)    象a→ 動物a  5含意の定義
1  (7) ∀x(象x→ 動物x) 6UI
従って、
(03)により、
(04)
①   ∀x(象x→ 動物x)
③ ~∃x(象x&~動物x)
に於いて、
①=③ である。
従って、
(02)(04)により。
(05)
①   ∀x(象x→ 動物x)=すべてのxについて、xが象ならば、xは動物である。
②  ∀x(~象x∨動物x)=すべてのxについて、xは象でなくて動物でないか、xは動物であって象であるか、xは象でなくて動物である。
③ ~∃x(象x&~動物x)=あるxが、象であって、動物でない。といふことはない。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(06)
① ∀x(象x→ 動物x)=すべてのxについて、xが象ならば、xは動物である。
といふことは、
① すべての象は動物である。
といふことである。
従って、
(05)(06)により、
(07)
①   ∀x(象x→ 動物x)=すべての象は動物である。
②  ∀x(~象x∨動物x)=すべての象は動物である。
③ ~∃x(象x&~動物x)=すべての象は動物である。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(08)
{xの変域}={a、b、c} であるとして、
② ∀x(~象x∨動物x)=すべての象は動物である。
といふ「等式」は、
②(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)=すべての象は動物である。
といふ「等式」に、「等しい」。
然るに、
(09)
②(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)=すべての象は動物である。
は「全体」としては、「連言」であるため、「それ」が「(本当)」であるためには、
②(      )&(      )&(      )
でなければ、ならない。
然るに、
(10)
②(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)
の場合は、「括弧の中」が、
②(  選 言  )&(  選 言   )&(  選 言  )
であるため、
②(~象aは、。)&(~象bは、。)&(~象cは、。)
であれば、それだけで、
②(      )&(      )&(      )
になり、それ故、
②(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)
は「全体」として「(本当)」である。
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
{xの変域}={a、b、c} であるとして、
② ~象a=aは象ではない。
② ~象b=bは象ではない。
② ~象c=cは象ではない。
といふ「3つ」が「本当(真)」であるならば、それだけで
②(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)=すべての象は動物である。
は「全体」として「(本当)」である。
然るに、
(12)
{xの変域}={a、b、c} であるとして、
② ~象a=aは象ではない
② ~象b=bは象ではない
② ~象c=cは象ではない
といふことは、
一頭もない
といふことに、他ならない。
従って、
(10)(11)(12)により、
(13)
② ∀x(~象x)=すべてのxは象ではない(象は一頭もゐない)。
といふ「命題」が「真(本当)」であるならば、それだけで、
②(~象a∨動物a)&(~象b∨動物b)&(~象c∨動物c)=すべての象は動物である
といふ「命題」は、「真(本当)」である。
従って、
(13)により、
(14)
一頭もゐないならば、すべての象は動物である。
といふ「命題」は、「真(本当)」である。
cf.
② ~象a ⇒ ~象a∨動物a
の「」は無いため、
② すべての象が動物であるならば、象は一頭もゐない。
といふことには、ならない
然るに、
(15)
常識」としては、
一頭もゐない。    ⇒ゐない
すべての象は動物である。 ⇒ ゐる
すべての人間は正直である。⇒ 人間ゐる
然るに、
(16)
要するに「すべて」という語も「人間」といふ語も、「存在する」ということとは無関係である。そこで「すべての人間は正直である」という文の論理的構造をしめす
 「すべてのxについて、もしxが人間ならばxは正直である」
は命題論理の法則の一つである
 (P→Q)=~(P&~Q)
をあてはめれば、「すべてのxについて、xが人間であってそして正直でないということではない」ということと等値である。
(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、122頁)
従って、
(15)(16)により、
(17)
「日常言語の、常識」としてではなく、
述語論理の、常識」として、
② 象は一頭もゐない。    ⇒ 象はゐない
② すべての象は動物である。 ⇒ 象はゐるとは、限らない
② すべての人間は正直である。⇒ 人間はゐるとは、限らない
然るに、
(14)により、
(18)
③ マンモスが絶滅したならば、マンモスは恐竜である。
といふ「命題」は、「(本当)」である。
然るに、
(19)
④ マンモスが絶滅したならば、
④ マンモスはゐないため、
恐竜であるマンモスもゐない。
従って、
(18)(19)により、
(20)
③ マンモスが絶滅したならば、マンモスは恐竜であるが、
④ マンモスが絶滅したならば、マンモスはゐないため、恐竜であるマンモスもゐない
といふ、ことになる。