「先の記事（245）」にも書いた通り、
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１２ （４） Ｑ １２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ３６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２）～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１２ （４） ～Ｐ １２ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～～Ｑ ２５ＲＡＡ
１ ３（７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８）Ｐ→Ｑ ３７ＣＰ
従って、
（ⅰ）（ⅱ）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ＝ＰであるならばＱである。
② ～Ｑ→～Ｐ＝ＱでないならばＰでない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
命題「ＰならばＱ」の真偽とその対偶「ＱでないならＰでない」の真偽とは必ず一致する(すなわち真理値が等しい）。
（ウィキペディア改）
従って、
（04）
① ∀ｘ｛ 象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
① は、② の「対偶」であるが故に、
② は、① の「対偶」であり、それ故、
①＝② である。
然るに、
（05）
「先の記事（245）」にも書いた通り、
（ⅱ）
３ （３） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ Ａ
３ （４） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４含意の定義
６ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３６ （７） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５６ＭＰＰ
３６ （８） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７量化子の関係
９（９） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） Ａ
９（ア） ～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ） ９含意の定義
９（イ） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） アＤＮ
９（ウ） ～鼻ｃａ＆～～長ｃ イ、ド・モルガンの法則
９（エ） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ ウＤＮ
９（オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） オＥＩ
３６ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８９オＥＥ
３ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ６カＣＰ
（ⅲ）
３ （３） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３４ＭＰＰ
６（６） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ Ａ
６（７） ～～（～鼻ｃａ＆ 長ｃ） ６ＤＮ
６（８） ～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ） ７ド・モルガンの法則
６（９） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ８含意の定義
６（ア） ∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ６ＥＩ
３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ５６ＥＥ
３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
従って、
（05）により、
（06）
② ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］
③ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
②［ ］を省略すると、
② ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）
③ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
② ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）
③ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）
に於いて、
②＝③ であるが故に、
② ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～象ｘ
③ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）→～象ｘ
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛ 象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（11）により、
（12）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
③ すべてのｘについて、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、あるｚがｘの鼻でなくて、ｚが長いならば、ｘは象ではない。
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（13）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふことは、要するに、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、「意味」である。
然るに、
（14）
③ すべてのｘについて、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、あるｚが、ｘの鼻でなくて、ｚも長いならば、ｘは象ではない。
といふことは、
③ あるｙがｘの鼻であって長いのであれば、ｙの次に、あるｚが、ｘの鼻ではなくて、長いのであれば、ｘは象ではない。
といふ、「意味」である。
然るに、
（15）
③ あるｙがｘの鼻であって長いのであれば、ｙの次に、あるｚが、ｘの鼻ではなくて、長いのであれば、ｘは象ではない。
といふことは、要するに、
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、「意味」である。
従って、
（11）～（15）により、
（16）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝③ である「理由」は、両方とも、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「意味」であるからである。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふのであれば、
① 象は、鼻が長い。
③ 象は、鼻が長い。
と言ふのであって、
① 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻は長い。
とは、言はない。
然るに、
（18）
④ ある兎は象であって、その兎は耳が長い。
とする。
然るに、
（19）
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、ことからすると、
④ ある兎は象であって、その兎は耳が長い。
と、いふのであれば、
④ 兎の耳は、鼻でなければ、ならない。
従って、
（19）により、
（20）
⑤ ある兎が、象であって、尚且つ、その兎の耳が長いにも拘らず、その兎の耳が、鼻ではない。
とするならば、「矛盾」する。
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
次のやうな、「述語計算（Predicate calculation）」が、成立する。
１ （１） ∀ｘ｛ 象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→ ～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝ １対偶（contraposition）
１ （３） ∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝ ２定理（11）
４ （４） ∀ｘ｛ 兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→ ～鼻ｚｘ）｝ Ａ
４ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳ならば、ｚはｘの鼻ではない。 Ａ
５ （５）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
５ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。といふわけではない。 Ａ
１ （６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
（７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ ３ＵＥ
４ （８） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）｝ ４ＵＥ
５ （９） ∃ｘ～（兎ｘ→～象ｘ） ５量化子の関係
ア （ア） ～（兎ａ→～象ａ） Ａ
ア （イ） ～（～兎ａ∨～象ａ） ア含意の定義
ア （ウ） ～～兎ａ＆～～象ａ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） 兎ａ＆象ａ ウＤＮ
ア （オ） 兎ａ エ＆Ｅ
４ ア （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ８オＭＰＰ
４ ア （キ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） カ＆Ｅ
ク（ク） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
ク（ケ） 耳ｂａ ク＆Ｅ
ク（コ） 長ｂ ケ＆Ｅ
４ ア （サ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） カ＆Ｅ
４ ア （シ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ サＵＥ
４ アク（ス） ～鼻ｂａ ケシＭＰＰ
４ アク（セ） ～鼻ｂａ＆長ｂ コス＆Ｉ
４ アク（ソ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｂ） セＥＩ
４ ア （タ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） キクソＥＥ
ア （チ） 象ａ エ＆Ｅ
１ ア （ツ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６チＭＰＰ
１ ア （テ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ツ＆Ｅ
１ ア （ト） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ ７テＭＰＰ
１４ ア （ナ） ～象ａ タトＭＰＰ
１４ ア （ニ） 象ａ＆～象ａ チナ＆Ｉ
１４５ （ヌ） 象ａ＆～象ａ ９アニＥＥ
１４ （ネ）～∃ｘ～（兎ｘ→～象ｘ） ９ヌＲＡＡ
１４ （ノ）∀ｘ～～（兎ｘ→～象ｘ） ネ量化子の関係
１４ （ハ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ノＤＮ
１４ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ノＤＮ
１４ （〃）兎は象ではない。
従って、
（10）（16）（17）（21）により、
（22）
① ∀ｘ｛ 象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝
といふ「述語論理式」は、三つとも、
① 象は、鼻が長い。
② 象は、鼻が長い。
③ 象は、鼻が長い。
といふ「意味」である（Ｑ．Ｅ．Ｄ）。
然るに、
（23）
学校文法は単純な英語文法からの輸入で、主語・述語関係を単純に当てはめたものだ。そのため、「象は、鼻が長い」という単純な文でさえ、どれが主語だか指摘できず、複数主語だとか、主語の入れ子だとか、奇矯な技を使う。これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）。また、「鼻が」は主格の補語にすぎなく、数ある補語と同じ格であるとする。基本文は述語である「長い」だけだ（三上文法！ : wrong, rogue and log）。
然るに、
（24）
① 象は、鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふことからすれば、
「これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する。」といふ「説明」は「正しい」。
然るに、
（25）
括弧は、論理演算子のスコープ（ｓｃｏｐｅ）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
然るに、
（26）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（ⅱ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、同じ変数を用いたいかなる他の量記号も含まないであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（23）～（26）により、
（27）
「象は、鼻が長い」という単純な文でさえ、どれが主語だか指摘できず、複数主語だとか、主語の入れ子だとか、奇矯な技を使う。
とは言ふものの、
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
は、「複数主語（ｘとｙとｚ）」による、
①｛ （ ）（ ） ｝
といふ「形」の、「入れ子」であって、ｘが、「全体の、主語」である。
（28）
思ふに、「日本語には主語があろうと、なかろう。」と、そんなことは、おそらくは、「どうでも良い」。
（01）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。
（３）ある兎は象である。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）
といふ「述語論理」、すなはち、
（１）すべてのｘについて、ｘが象であるならば、有るｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
（２）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、有るｙはｘの耳であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳ならば、ｚはｘの鼻ではない。
（３）あるｘは兎であって象である。
といふ「述語論理」に、翻訳される。
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ（コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ オ（サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ キサコＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
（３）ある兎は象である。
といふ「仮定（Assumptions）」により、
（ニ）兎は象ではない。
といふ『結論（Conclusion）』を得ることになる。
従って、
（03）により、
（04）
「象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、兎は象ではない。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
（05）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１２ （４） Ｑ １２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ３６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２）～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１２ （４） ～Ｐ １２ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～～Ｑ ２５ＲＡＡ
１ ３（７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８）Ｐ→Ｑ ３７ＣＰ
従って、
（ⅰ）（ⅱ）により、
（06）
① Ｐ→ Ｑ＝ＰであるならばＱである。
② ～Ｑ→～Ｐ＝ＱでないならばＰでない。
に於いて、
①＝② であるものの、
この「等式」を、「対偶（contraposition）」と言ふ。
ｃｆ.
命題「ＰならばＱ」の真偽とその対偶「ＱでないならＰでない」の真偽とは必ず一致する(すなわち真理値が等しい）。
（ウィキペディア改）
然るに、
（07）
① ∀ｘ｛ 象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝② は、「対偶（contraposition）」である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
３ （３） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ Ａ
３ （４） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４含意の定義
６ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３６ （７） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５６ＭＰＰ
３６ （８） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７量化子の関係
９（９） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） Ａ
９（ア） ～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ） ９含意の定義
９（イ） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） アＤＮ
９（ウ） ～鼻ｃａ＆～～長ｃ イ、ド・モルガンの法則
９（エ） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ ウＤＮ
９（オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） オＥＩ
３６ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８９オＥＥ
３ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ６カＣＰ
（ⅲ）
３ （３） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
４ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３４ （５） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３４ＭＰＰ
６（６） ～鼻ｃａ＆ 長ｃ Ａ
６（７） ～～（～鼻ｃａ＆ 長ｃ） ６ＤＮ
６（８） ～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ） ７ド・モルガンの法則
６（９） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ８含意の定義
６（ア） ∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ６ＥＩ
３４ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ５６ＥＥ
３４ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４ウＣＰ
３ （オ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ含意の定義
３ （カ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ オ、ド・モルガンの法則
従って、
（08）により、
（09）
② ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］
③ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
［規則］
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式におきかえることによって得られる式は同じく恒真式である。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（07）～（10）により、
（11）
① ∀ｘ｛ 象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（12）
② ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、
②＝③ であるものの、このことを、「含意の定義（12）」とする。
然るに、
（13）
１ （１） ∀ｘ｛ 象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→ ～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｘ｛～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→～象ｘ｝ １対偶（contraposition）
１ （３） ∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）→～象ｘ｝ ２含意の定義（12）
４ （４） ∀ｘ｛ 兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→ ～鼻ｚｘ）｝ ４
５ （５）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
５ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。といふわけではない。 Ａ
１ （６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
（７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ ３ＵＥ
４ （８） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）｝ ４ＵＥ
５ （９） ∃ｘ～（兎ｘ→～象ｘ） ５量化子の関係
ア （ア） ～（兎ａ→～象ａ） Ａ
ア （イ） ～（～兎ａ∨～象ａ） ア含意の定義
ア （ウ） ～～兎ａ＆～～象ａ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） 兎ａ＆象ａ ウＤＮ
ア （オ） 兎ａ エ＆Ｅ
４ ア （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ８オＭＰＰ
４ ア （キ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） カ＆Ｅ
ク（ク） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
ク（ケ） 耳ｂａ ク＆Ｅ
ク（コ） 長ｂ ケ＆Ｅ
４ ア （サ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） カ＆Ｅ
４ ア （シ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ サＵＥ
４ アク（ス） ～鼻ｂａ ケシＭＰＰ
４ アク（セ） ～鼻ｂａ＆長ｂ コス＆Ｉ
４ アク（ソ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｂ） セＥＩ
４ ア （タ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） キクソＥＥ
ア （チ） 象ａ エ＆Ｅ
１ ア （ツ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６チＭＰＰ
１ ア （テ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ツ＆Ｅ
１ ア （ト） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ ７テＭＰＰ
１４ ア （ナ） ～象ａ タトＭＰＰ
１４ ア （ニ） 象ａ＆～象ａ チナ＆Ｉ
１４５ （ヌ） 象ａ＆～象ａ ９アニＥＥ
１４ （ネ）～∃ｘ～（兎ｘ→～象ｘ） ９ヌＲＡＡ
１４ （ノ）∀ｘ～～（兎ｘ→～象ｘ） ネ量化子の関係
１４ （ハ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ノＤＮ
１４ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ノＤＮ
１４ （〃）兎は象ではない。 （14）
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆ 象ｘ） Ａ
２（２） 兎ａ＆ 象ａ Ａ
２（３） ～～（兎ａ＆ 象ａ） ２ＤＮ
２（４） ～（～兎ａ∨～象ａ） ３ド・モルガンの法則
２（５） ～（兎ａ→～象ａ） ４含意の定義
２（６）∃ｘ～（兎ｘ→～象ｘ） ２ＥＩ
１ （７）∃ｘ～（兎ｘ→～象ｘ） １２６ＥＥ
１ （８）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） 量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（兎ｘ→～象ｘ） １量化子の関係
３（３） ～（兎ａ→～象ａ） Ａ
３（４） ～（～兎ａ∨～象ａ） ３含意の定義
３（５） ～～兎ａ＆～～象ａ ４ド・モルガンの法則
３（６） 兎ａ＆ 象ａ ５ＤＮ
３（７） ∃ｘ（兎ｘ＆ 象ｘ） ６ＥＩ
１ （８） ∃ｘ（兎ｘ＆ 象ｘ） ２３７ＥＥ
従って、
（14）により、
（15）
③ ∃ｘ（兎ｘ＆ 象ｘ）＝ ある兎は象である。
④ ～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）＝すべての兎が象ではない。といふわけではない。
に於いて、
③＝④ である。
（01）（02）（13）（15）により、
（16）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。
（３）ある兎は象である＝すべての兎が象ではない。といふわけではない。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
といふ「述語論理」に相当し、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝～∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
といふ「仮定（Assumptions）」により、
（４）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
（〃）すべての兎は、象ではない。
といふ『結論（Conclusion）』を得ることになる。
従って、
（16）により、
（17）
「象は鼻が長い。然るに、兎は耳が長い。故に、兎は象ではない。」
といふ「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（18）
① 私はあなたが好きです。
② 私はあなたは好きです。
に於いて、
① であれば、「私はあなた以外は好きではない。」と言ってゐて、
② であれば、「私はあなた以外は好きではない。」とは、言ってはゐない。
従って、
（18）により、
（19）
① ＃は鼻が長い。
② ＃は鼻は長い。
に於いて、
① であれば、「＃は鼻以外は長くない。」と言ってゐて、
② であれば、「＃は鼻以外は長くない。」とは、言ってはゐない。
従って、
（20）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長い。
に於いて、
① であれば、「象は鼻以外は長くない。」と言ってゐて、
② であれば、「象は鼻以外は長くない。」とは、言ってはゐない。
然るに、
（21）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
① であれば、「象は鼻以外は長くない。」と言ってゐて、
② であれば、「象は鼻以外は長くない。」とは、言ってはゐない。
然るに、
（16）（21）により、
（22）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
ではなく、
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
であるならば、
「象は鼻が長い。然るに、兎は耳が長い。故に、兎は象ではない。」
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（23）
「象は鼻が長い。然るに、兎は耳が長い。故に、兎は象ではない。」
といふ「推論」は、「妥当」ではある。
従って、
（22）（23）により、
（24）
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
ではなく、
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
でなければ、ならない（Ｑ.Ｅ.Ｄ）。
然るに、
（25）
「象は鼻が長い」はどれが主辞がわからないから、このままでは非論理的な構造の文である、と言う人がもしあった（沢田『入門』二九ペ）とすれば、その人は旧『論理学』を知らない人であろう、これはこのままで、
象は 鼻が長い。
主辞 賓辞
とはっきりしている。速水式に簡単明リョウである。意味も、主辞賓辞の関係も小学生にもわかるはずの文である。これに文句をつけたり、それを取り次いだりするのは、人々が西洋文法に巻かれていることを語る以外の何物でもない。このまま定理扱いしてもよろしい。そしてこの定理の逆は真でないとして、鼻の長いもの例に、鞍馬山の天狗だの、池の尾の禅珍内供だのを上げるのも一興だろう。それでおしまいである（三上章、日本語の論理、1963年、１３・１４頁）。
然るに、
（26）
伝統的論理学を清水滉『論理学』（1916年）で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九冊の一冊で、なお引き続き刊行だろうから、前後かなり多くの読者をもつ論理学書と考えられる。新興の記号論理学は、沢田允茂『現代論理学入門』（1962年）を参照することにする（三上章、日本語の論理、1963年、４頁）。
といふ風に、書かれてゐる一方で、『三上章、日本語の論理、1963年』に目を通す限り、その時点での三上章先生に、「現代論理学（述語論理）」を学んでゐた、「形跡」は無い。