最大であること

はじめにかいた円O'が最大の円であることを示す。

円O''を円O'以外の半円の内接円でPAに接するものとします。
円O''の半径をs'とし，

円O''とPAとの接点をM'，O"OとPAとの交点をM''とします。

三角形OMM"でOM＜OM''より，NM=ON-OM>ON'-OM''=N'M''=N'O''+O''M'

ここで，三角形O''M'M''で，O''M''>O''M'より

2s=NM＞N'O''+O''M'>N'O''+O''M'=2s'

したがって，s>s'

PA>PB であるからPBの側にも内接円を作ったとしても円Oが最大である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）