ペルの方程式

　コマネチ大学数学科でのラマヌジャンの問題で、連分数が出てきたことに疑問を持ったがsukarabeさんがペル方程式のことを教えて下さった。
　ネットで調べた結果、「青空学園数学科」というサイトで「数論初歩」というページがあり、そこに詳しく述べられていた。
　目下、「数論初歩」のページをプリントアウトして読んでいるところ。
理科系の大学進学を目指している高校生は一読してみるとよい。私が高校生のころはこのような知識に出会うことがなかった。今は良い時代になったものだ。

※コマ大の問題の解法の補足 a^2=n(n+1)/2 でsukarabeさんの解説
　　n/2とn+1 がともに平方数であることから整数x,yで
　　n/2=y^2, n+1=x^2 とおくと、x^2-2y^2=1となる。これをペル方程式という。
　　この方程式の解からa, nが求まることになる。

　「青空学園数学科」でペル方程式の記述はこちら。
　　　　

タイトル変えました

　今までタイトルに本名がありましたが、本名を出すと、記事により差し障りが出てくる可能性があるので、タイトルを変えました。また変えるかも・・・。
　ブログ研修会でブログの作り方を習ったとき、タイトルに困ったので、本名を使ってタイトルにしてたのです。
　これから私はTakaPです。どうぞよろしく。

画像データが飛んだ

　また画像データが飛んだ。これで２度目？３度目？
　実はモンブラン観光をして、展望台に行った帰り、カメラでの保存の動作がおかしいなと思ったとたん、「このカードは使えません」というメッセージ。これには慣れていて、１つのデータがおかしくなるとき良く出てきた。これまで他のデータは大丈夫だったので気にもしなかった。ところが、カメラを操作して他のデータを読もうとしたとたんに、「画像データがありません」というメッセージが出てしまった。原因はカードの劣化。あとでゆっくりパソコンで読めば復活できるだろうと考えていたが、結局一つもデーターを読むことができなかった。
　ふとラ○ックスで「画像復活ソフト」に出会った。定価７０００円。これに賭けた。しかし・・・、ダメだった。大枚をはたいて旅行に行って撮ってきた画像も、一発で壊れる恐ろしさをあらためて知った。
　実は、わが家でもう一枚のカードをバックアップしてから、カメラを操作してみたら、また異常なメッセージが出て、このカードも使えなくなった。フォーマットしてもカードそのものに欠陥があるのでこれら２枚のカードは「危険カード」に指定し使わないことにしようと決めた。カードのマニュアルを見ると、「カードには寿命があります」とあった。デジカメは便利だが、カードの保守が大事だ。

　でも、もしかするとカメラの異常かも・・・。でも、カメラ会社はきっとカードのせいにするだろうな。

教訓
　デジカメのカードには寿命があるので注意。
　おかしなメッセージが出たら使わない。
　カードは新しいものを使う。
　早めにデータのバックアップを取る。撮りためるのは危険。
　面倒でも、大容量のカードは使わず、小容量のカードでこまめに小分けする。

　　　　　　　　　　　　以上

解答の不備が分かった

　コマネチ大学数学科の問題の解答で不備を感じていたが、コメントをしてくれた方がいたのでスッキリ。（この記事のコメントを見て下さい。）

解答の不備は　a^2=n(n+1)/2 から直ちに
(1) n/2, n+1 がともに平方数である。（nが偶数のとき）
(2) n, (n+1)/2 がともに平方数である。（nが奇数のとき）

と場合分けをしてしまったこと。

a^2=n(n+1)/2 からn, n+1が互いに素であることを言うと解答の不備がなくなる。
以下、コメントに多少の補足を入れてみました。

※n, n+1 は互いに素
　なぜなら素数の公約数pを持つとすると, n=kp, n+1=mp と書ける、
ところが mp-kp=(m-k)p=1 1が素数の倍数となり、矛盾。
したがってn, n+1 は互いに素である。

このことから、(1)または(2)が言えることを示す。

※　nが偶数の時、n/2, n+1も互いに素。
　なぜなら、nが偶数であるからn/2は整数になるが、n/2の素因数分解で表れる素数はnの素因数分解から素因数2をひとつ減らしたものである。
ところで、nの素因数分解で表れる素数とn+1の素因数分解で表れる素数に共通のものはないから、n/2とn+1の素因数分解で共通な素数はない。
したがって、n/2, n+1 は互いに素。


さて、
a^2=n(n+1)/2であるからa^2=n/2×(n+1)

n/2 ,n+1のどちらかが平方数でないとする。
今、n/2を平方数でないとして、その素因数分解を考えると、各素因数の指数で偶数でないものが１つは存在することがわかる。その素因数をpとしよう。
（すべての指数が偶数であれば平方数に他ならないから）

　ところで、a^2=n/2×(n+1)であるからa^2の素因数分解において、すべての素因数の指数は偶数であるから、n+1の素因数のなかにpの奇数乗が含まれなければならない。これはn/2, n+1が互いに素であることに反する。
　したがってn/2は平方数でなければならない。

　同様にして、n+1も平方数である。

以上から(1) n/2, n+1はともに平方数。（nが偶数の時）

nが奇数の時はn+1は偶数となるので、同様に
(2) n, (n+1)/2 はともに平方数である。


これで不備が解決。
　
コメントを寄せて下さったsukarabeさんに感謝申し上げます。

暑い！暑さのせいで・・・

　昨日、夕飯の支度でポテトサラダを作ることに。ジャガイモをゆでて、ざるに移し水切りをして、ボールに入れて、にんじんやピーマン、タマネギなどの千切りを混ぜる。最後にサラダ油や塩こしょう、それにマヨネーズを入れて混ぜる。ここで酢も入れる。
　ちょっと「黒酢」が目に入ったのがいけなかった。これを酢の代わりに入れた。味見をする。「あれっ酸っぱくないぞ」もう一度黒酢を入れる。塩気も足りないので塩も入れる。また味見。酸っぱくないのでまた黒酢を入れた。ふとイヤ～な予感が・・・。念のために黒酢を手にとってなめてみると、すっぱくない！単なる水に変わっていた。さては・・・。黒酢は腐っていたのだ。恐るべし地球温暖化・・・。黒酢も腐らす暑さだった。
　黒酢のビンの中味を出してみると今度は変な臭い。どぶ臭い臭いがする。どろっと濁ったものも出てきた。ウエー。
　あわててサラダの味見をしたり臭いをかいだりした。かすかに臭っているが、普通の酢を入れ、酢の臭いでごまかす。コショウも振り入れたら臭いも薄くなった。これで食卓に出した。
　何も知らずに「おいしいわ～」といって食べてくれたが、例えは悪いが毒を盛るときの気持ちってこんなのだろうか・・・。今朝になったがお腹が痛いと言うことはなかった。
　まあ、かすかにクサヤの臭いのするサラダだと思えばいいのだ。今はやりの食品偽装よりましかな。