伝説の良問４

====1981年 同志社大 法学部====================================

1から12までの整数を6個ずつA組、B組の２組に分け、A組の数を
a1, a2, a3, a4, a5, a6とし、B組の数をb1, b2, b3, b4, b5, b6 とする。

b1, b2, b3, b4, b5, b6 のうちa1 より小さいものの個数をm1 とする。
同様に a2, a3, a4, a5, a6 より小さいものの個数をそれぞれ
m2, m3, m4, m5, m6 とするとき、
(a1+a2+a3+a4+a5+a6) －(m1+m2+m3+m4+m5+m6)
は A組、B組の２組に分ける分け方に関係せず一定であることを示せ。

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「伝説の良問」にある解答を紹介し、なぜ分からなかったかを検証する。
(数学記号が書けないので、一部変更しています。)

===(解答)=================================================================
A組の数をa1, a2, a3, a4, a5, a6 とし、この順に大きくなるとしても、一般性を失わない。
1 から ak のうちでak以下の数はak個あり、このうちk個はA組に、mk個はB組にある。
よって、ak=k+mk
したがって、ak-mk=k
(a1+a2+a3+a4+a5+a6) －(m1+m2+m3+m4+m5+m6)
=(a1-m1)+(a2-m2)+(a3-m3)+(a4-m4)+(a5-m5)
= 1+2+3+4+5+6
=21 (一定)
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分からなかった原因は、
「1 から ak のうちでak以下の数はak個あり、このうちk個はA組に、mk個はB組にある。
よって、ak=k+mk」

ここにあった。ここが説明不足だと思う。特に「mk個はB組にある」というところが
説明不足。mkの定義をはっきり確認させて記述したいものだ。

ここは以下のように表現した方が分かりやすいと思う。
(伝説の良問３に既出)

１からakまでの数はak個あり、数akが最大数である。
そのうち a1, a2, …, ak の k個はA組に属し残りはB組の数である。
このB組の各数は数akが最大であるから、すべてakより小さい。
よってB組に属する数の個数mkは ak-k に等しい。
すなわち、 mk=ak-k
これより　ak-mk=k を得る。

ともかく５年ほど分からなくて放っておいたが、時が経つと分かるものだと
思った。

おわり