こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
空模様は花曇りといった感じですが、気温は昨日より高く暖かい日になりました。桜もそろそろお仕舞いの頃に近づいたようです。
さて、今回は平成２３年度京大入試問題（前期、文系）です。
問題は、
「［１］辺ＡＢ、辺ＢＣ、辺ＣＡの長さがそれぞれ１２、１１、１０の三角形ＡＢＣを考える。
∠Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとするとき、線分ＡＤの長さを求めよ。
［２］箱の中に、１から９までの番号を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＸとする。これらのカードを箱に戻して、再び２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＹとする。Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。」
です。
一つの大問のなかに、図形と確率の小問が一つずつあって、何か中学や高校の入試問題のようですね。
まず、［１］から片付けましょう。
初めに問題の図を描きます。（図１）
▲図１．問題の図を描きました
三角形の３辺の長さが決まっていると、その三角形のすべての要素、例えば、面積や角の大きさなど、は、すべて決まります。つまり、この問題のような一つの頂点と対辺の中点を結んだ線分の長さも決まっていて、計算で求めることができます。
そこで、角の二等分線定理を利用すると、
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝１２：１０＝６：５
なので、図２のように、
ＢＤ＝６
ＤＣ＝５
になります。（線分ＡＤの長さをｘとしました）
▲図２．角の二等分線定理からＢＤ＝６、ＤＣ＝５です
ここで、高校で勉強する三角関数の余弦定理を使うと簡単ですが、まず、それを使わずに解きましょう。
まず図３のように、頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとし、線分ＡＨ、線分ＣＨの長さをそれぞれｈ、ｙとします。
▲図３．頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろしました
ここで、△ＡＢＨと△ＡＣＨに三平方の定理を適用すると、
ＡＢ^2＝ＢＨ^2＋ＡＨ^2
から
１４４＝（１１－ｙ）^2＋ｈ^2 （１）
が成り立ち、さらに、
ＡＣ^2＝ＣＨ^2＋ＡＨ^2
から
１００＝ｙ^2＋ｈ^2 （２）
が成り立ちます。
そこで、（１）－（２）から
４４＝（１１－ｙ）^2－ｙ^2
＝１２１－２２ｙ＋ｙ^2－ｙ^2
＝１２１－２２ｙ
２２ｙ＝７７
ｙ＝７/２
です。
これを（２）に代入して、
１００＝４９/４＋ｈ^2
から
ｈ^2＝３５１/４
です。
最後に、△ＡＤＨに三平方の定理を適用して、
ＡＤ^2＝ＤＨ^2＋ＡＨ^2
ｘ^2＝（５－ｙ）^2＋ｈ^2
＝（５－７/２）^2＋３５１/４
＝９/４＋３５１/４
＝３６０/４
＝９０
で、ｘ＞０から
ｘ＝３√１０
で、これが答えです。
次に三角関数を利用して解いてみましょう。
まず、△ＡＢＤに余弦定理を適用すると、
ｃｏｓ●＝（ＡＢ^2＋ＡＤ^2－ＢＤ^2）/（２ＡＢ・ＡＤ）
＝（１４４＋ｘ^2－３６）/（２・１２ｘ）
＝（１０８＋ｘ^2）/（２４ｘ）
で、さらに△ＡＣＤに余弦定理を適用して、
ｃｏｓ●＝（ＡＣ^2＋ＡＤ^2－ＤＣ^2）/（２ＡＣ／ＡＤ）
＝（１００＋ｘ^2－２５）/（２・１０ｘ）
＝（７５＋ｘ^2）/（２０ｘ）
になります。
これらから、
（１０８－ｘ^2）/（２４ｘ）＝（７５＋ｘ^2）/（２０ｘ）
が成り立つので、これを整理して、
ｘ^2＝９０
から
ｘ＝±３√１０
で、
ｘ＞０なので、
ｘ＝３√１０
と、先ほどの答えと一致しました。
続いて、［２］です。問題を再掲します。
「［２］箱の中に、１から９までの番号を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＸとする。これらのカードを箱に戻して、再び２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＹとする。Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。」
まず、下のような表を作りましょう。
▲表．２枚のカードに書かれている数とＸ（Ｙ）をまとめました
この表は、選んだ２枚のカードに書かれている数ａとｂと、ＸまたはＹの関係を表しています。
例えば、ａ＝４、ｂ＝６を選んだとすると、そのうちの小さい方がＸまたはＹになるので、Ｘ（Ｙ）＝４になります。
そこで、この表からＸ（Ｙ）がｎ（ｎ＝１，２，３・・・，９）になる確率を求めましょう。
９枚のカードから２枚を選ぶ場合の数は、
９×８＝７２（通り）
です。
一方、ｎ＝１，２，３，・・・、９になる場合の数は、表から、それぞれ、
ｎ＝１ １６（通り）
ｎ＝２ １４（通り）
ｎ＝３ １２（通り）
ｎ＝４ １０（通り）
ｎ＝５ ８（通り）
ｎ＝６ ６（通り）
ｎ＝７ ４（通り）
ｎ＝８ ２（通り）
ｎ＝９ ０（通り）
です。
したがって、ｎ＝１，２，３，・・・，９になる確率は、それぞれ、
ｎ＝１ １６/７２
ｎ＝２ １４/７２
ｎ＝３ １２/７２
ｎ＝４ １０/７２
ｎ＝５ ８/７２
ｎ＝６ ６/７２
ｎ＝７ ４/７２
ｎ＝８ ２/７２
ｎ＝９ ０/７２
になります。
そして、Ｘ＝Ｙとなるのは、ＸもＹも同じｎになるということなので、その確率Ｐは、
Ｐ＝（１６/７２）^2＋（１４/７２）^2＋（１２/７２）^2＋（１０/７２）^2＋（８/７２）^2＋（６/７２）^2＋（４/７２）^2＋（２/７２）^2＋（０/７２）^2
＝（８/３６）^2＋（７/３６）^2＋（６/３６）^2＋（５/３６）^2＋（４/３６）^2＋（３/３６）^2＋（２/３６）^2＋（１/３６）^2
＝（６４＋４９＋３６＋２５＋１６＋９＋４＋１）/３６^2
＝２０４/３６^2
＝１７/１０８
で、これが答えです。（２乗和の公式を使えば簡単に計算できます）
また、表を作らないのであれば、Ｘ（Ｙ）＝１，２，３，・・・，９になる確率を次のように計算できます。
つまり、Ｘ（Ｙ）＝１になる確率ｐ（１）は、２枚のカードのうち１枚が１で、もう１枚が２，３，４，・・・、９のときなので、
ｐ（１）＝１/９×８/８×２＝１６/７２
で、同様に、
ｐ（２）＝１/９×７/８×２＝１４/７２
ｐ（３）＝１/９×６/８×２＝１２/７２
・・・・・
ｐ（９）＝１/９×０/８×２＝ ０/７２
となり、先ほどの途中結果と同じになります。
どちらも簡単な問題でした。
空模様は花曇りといった感じですが、気温は昨日より高く暖かい日になりました。桜もそろそろお仕舞いの頃に近づいたようです。
さて、今回は平成２３年度京大入試問題（前期、文系）です。
問題は、
「［１］辺ＡＢ、辺ＢＣ、辺ＣＡの長さがそれぞれ１２、１１、１０の三角形ＡＢＣを考える。
∠Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとするとき、線分ＡＤの長さを求めよ。
［２］箱の中に、１から９までの番号を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＸとする。これらのカードを箱に戻して、再び２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＹとする。Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。」
です。
一つの大問のなかに、図形と確率の小問が一つずつあって、何か中学や高校の入試問題のようですね。
まず、［１］から片付けましょう。
初めに問題の図を描きます。（図１）
▲図１．問題の図を描きました
三角形の３辺の長さが決まっていると、その三角形のすべての要素、例えば、面積や角の大きさなど、は、すべて決まります。つまり、この問題のような一つの頂点と対辺の中点を結んだ線分の長さも決まっていて、計算で求めることができます。
そこで、角の二等分線定理を利用すると、
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝１２：１０＝６：５
なので、図２のように、
ＢＤ＝６
ＤＣ＝５
になります。（線分ＡＤの長さをｘとしました）
▲図２．角の二等分線定理からＢＤ＝６、ＤＣ＝５です
ここで、高校で勉強する三角関数の余弦定理を使うと簡単ですが、まず、それを使わずに解きましょう。
まず図３のように、頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとし、線分ＡＨ、線分ＣＨの長さをそれぞれｈ、ｙとします。
▲図３．頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろしました
ここで、△ＡＢＨと△ＡＣＨに三平方の定理を適用すると、
ＡＢ^2＝ＢＨ^2＋ＡＨ^2
から
１４４＝（１１－ｙ）^2＋ｈ^2 （１）
が成り立ち、さらに、
ＡＣ^2＝ＣＨ^2＋ＡＨ^2
から
１００＝ｙ^2＋ｈ^2 （２）
が成り立ちます。
そこで、（１）－（２）から
４４＝（１１－ｙ）^2－ｙ^2
＝１２１－２２ｙ＋ｙ^2－ｙ^2
＝１２１－２２ｙ
２２ｙ＝７７
ｙ＝７/２
です。
これを（２）に代入して、
１００＝４９/４＋ｈ^2
から
ｈ^2＝３５１/４
です。
最後に、△ＡＤＨに三平方の定理を適用して、
ＡＤ^2＝ＤＨ^2＋ＡＨ^2
ｘ^2＝（５－ｙ）^2＋ｈ^2
＝（５－７/２）^2＋３５１/４
＝９/４＋３５１/４
＝３６０/４
＝９０
で、ｘ＞０から
ｘ＝３√１０
で、これが答えです。
次に三角関数を利用して解いてみましょう。
まず、△ＡＢＤに余弦定理を適用すると、
ｃｏｓ●＝（ＡＢ^2＋ＡＤ^2－ＢＤ^2）/（２ＡＢ・ＡＤ）
＝（１４４＋ｘ^2－３６）/（２・１２ｘ）
＝（１０８＋ｘ^2）/（２４ｘ）
で、さらに△ＡＣＤに余弦定理を適用して、
ｃｏｓ●＝（ＡＣ^2＋ＡＤ^2－ＤＣ^2）/（２ＡＣ／ＡＤ）
＝（１００＋ｘ^2－２５）/（２・１０ｘ）
＝（７５＋ｘ^2）/（２０ｘ）
になります。
これらから、
（１０８－ｘ^2）/（２４ｘ）＝（７５＋ｘ^2）/（２０ｘ）
が成り立つので、これを整理して、
ｘ^2＝９０
から
ｘ＝±３√１０
で、
ｘ＞０なので、
ｘ＝３√１０
と、先ほどの答えと一致しました。
続いて、［２］です。問題を再掲します。
「［２］箱の中に、１から９までの番号を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＸとする。これらのカードを箱に戻して、再び２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＹとする。Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。」
まず、下のような表を作りましょう。
▲表．２枚のカードに書かれている数とＸ（Ｙ）をまとめました
この表は、選んだ２枚のカードに書かれている数ａとｂと、ＸまたはＹの関係を表しています。
例えば、ａ＝４、ｂ＝６を選んだとすると、そのうちの小さい方がＸまたはＹになるので、Ｘ（Ｙ）＝４になります。
そこで、この表からＸ（Ｙ）がｎ（ｎ＝１，２，３・・・，９）になる確率を求めましょう。
９枚のカードから２枚を選ぶ場合の数は、
９×８＝７２（通り）
です。
一方、ｎ＝１，２，３，・・・、９になる場合の数は、表から、それぞれ、
ｎ＝１ １６（通り）
ｎ＝２ １４（通り）
ｎ＝３ １２（通り）
ｎ＝４ １０（通り）
ｎ＝５ ８（通り）
ｎ＝６ ６（通り）
ｎ＝７ ４（通り）
ｎ＝８ ２（通り）
ｎ＝９ ０（通り）
です。
したがって、ｎ＝１，２，３，・・・，９になる確率は、それぞれ、
ｎ＝１ １６/７２
ｎ＝２ １４/７２
ｎ＝３ １２/７２
ｎ＝４ １０/７２
ｎ＝５ ８/７２
ｎ＝６ ６/７２
ｎ＝７ ４/７２
ｎ＝８ ２/７２
ｎ＝９ ０/７２
になります。
そして、Ｘ＝Ｙとなるのは、ＸもＹも同じｎになるということなので、その確率Ｐは、
Ｐ＝（１６/７２）^2＋（１４/７２）^2＋（１２/７２）^2＋（１０/７２）^2＋（８/７２）^2＋（６/７２）^2＋（４/７２）^2＋（２/７２）^2＋（０/７２）^2
＝（８/３６）^2＋（７/３６）^2＋（６/３６）^2＋（５/３６）^2＋（４/３６）^2＋（３/３６）^2＋（２/３６）^2＋（１/３６）^2
＝（６４＋４９＋３６＋２５＋１６＋９＋４＋１）/３６^2
＝２０４/３６^2
＝１７/１０８
で、これが答えです。（２乗和の公式を使えば簡単に計算できます）
また、表を作らないのであれば、Ｘ（Ｙ）＝１，２，３，・・・，９になる確率を次のように計算できます。
つまり、Ｘ（Ｙ）＝１になる確率ｐ（１）は、２枚のカードのうち１枚が１で、もう１枚が２，３，４，・・・、９のときなので、
ｐ（１）＝１/９×８/８×２＝１６/７２
で、同様に、
ｐ（２）＝１/９×７/８×２＝１４/７２
ｐ（３）＝１/９×６/８×２＝１２/７２
・・・・・
ｐ（９）＝１/９×０/８×２＝ ０/７２
となり、先ほどの途中結果と同じになります。
どちらも簡単な問題でした。